乐思数学通 › 先打基础 › 离散型随机变量及其分布律

离散型随机变量及其分布律

概率论与数理统计 · 随机变量及其分布

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 分布律：非负，而且加起来等于 $1$

若

X

只取有限个或可列个值

x_{1}, x_{2}, \dots

，记

p_{k} = P (X = x_{k}),

这一串数就叫

X

的分布律（也叫概率分布）。

它必须满足两条：

p_{k} \geq 0, k \sum p_{k} = 1.

第二条是考得最多的：题目给一个带待定常数的分布律，
那个常数只能靠「加起来等于

1

」定出来。

三种写法都常见：列成两行的表、写成通项公式

P (X = k) = \dots

、或者直接逐个列举。

2. 分布律与分布函数：一个是表，一个是阶梯

由分布律写分布函数，就是从左往右累加：

F (x) = P (X \leq x) = x_{k} \leq x \sum p_{k} .

画出来是阶梯函数：在每个取值点

x_{k}

跳一下，跳的高度正好是

p_{k}

；
两个取值点之间是水平的。

反过来，从

F

读回分布律：

跳的位置就是取值

x_{k}

，跳的高度就是

p_{k}

：

p_{k} = F (x_{k}) - F (x_{k} - 0) .

两者携带的信息完全一样，只是一个写成表、一个画成阶梯。
题目给哪个都能换到另一个。

3. 求分布律的三步：先定取值，再算概率，最后验和

① 定出 $X$ 的全部取值。 这一步最容易漏，而漏了之后症状是「和不等于

1

」。

② 逐个算 $P (X = x_{k})$ 。 工具就是前面几节：古典概型数数、乘法公式、独立性。

③ 验 $\sum p_{k} = 1$ 。

第三步不只是查算术，更是查第一步有没有漏取值——
这是它真正的用处。

写答案时把分布律列成表（上行取值、下行概率），比散着写清楚得多。

4. 用分布律算事件：把事件翻译成取值的集合

任何关于

X

的事件，都是「

X

落在某个集合里」：

P (X \in A) = x_{k} \in A \sum p_{k} .

所以算法永远是挑出符合条件的那几个取值，把它们的概率加起来。

常用的翻译：

「至少一个」

\to X \geq 1

；「至多两个」

\to X \leq 2

；「恰好一个」

\to X = 1

。

「至少」照旧走对立：

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0),

一项代替一串。

离散型里 $>$ 和 $\geq$ 差着一整块概率（差

P (X = k)

），这和连续型完全不同。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求分布律：定取值、算概率、验和

第一步：把

X

可能取的值全部列出来，特别留意最小与最大的那个。

第二步：对每个取值算概率（古典概型、乘法公式、独立性，看题目结构）。

第三步：列成表：上行取值，下行概率。

第四步：验

\sum p_{k} = 1

；不等于

1

时先回去查取值有没有漏。

例例. 盒里

3

红

2

白，不放回取

2

个，

X

为取到的红球数。求分布律。

第一步，把取值全部列出来：最少

0

个红（两个都白），最多

2

个。所以

X = 0, 1, 2

。

第二步，古典概型，

∣Ω∣ = C_{5}^{2} = 10

：

P (X = 0) = \frac{C _{2}^{2}}{10} = 0.1, P (X = 1) = \frac{C _{3}^{1} C _{2}^{1}}{10} = 0.6, P (X = 2) = \frac{C _{3}^{2}}{10} = 0.3.

第三步，列成表：上行取值

0, 1, 2

，下行概率

0.1, 0.6, 0.3

。

第四步，验

0.1 + 0.6 + 0.3 = 1

✓

不等于 $1$ 时先回去查取值有没有漏——十有八九是最小或最大那个忘了列，而不是某个概率算错。

分布律与 $F$ 互换

第一步：由分布律写

F

——从左往右累加，区间左闭右开。

第二步：检查

F

的最后一段是不是

1

。

第三步：由

F

读分布律——跳的位置是取值，跳的高度是概率。

第四步：核对台阶高度之和为

1

。

例例. 接上题，写出

F

，再从

F

读回分布律。

第一步，从左往右累加，左闭右开：

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 0.1, 0.7, 1, x < 0 0 \leq x < 1 1 \leq x < 2 x \geq 2

第二步，最后一段是

1

✓

第三步，反过来读：跳的位置是取值（

0, 1, 2

），跳的高度是概率——

0.1

、

0.7 - 0.1 = 0.6

、

1 - 0.7 = 0.3

✓ 与原分布律一致。

第四步，台阶高度之和

= 1

✓

两个方向都走一遍，是检查自己有没有把「累加」和「作差」做反的最快办法。

算事件的概率

第一步：把事件翻译成「

X

落在哪些取值上」。

第二步：把这些取值的概率加起来。

第三步：项数多时走对立事件（「至少一个」尤其如此）。

第四步：核对等号——

\geq

与

>

在离散型里差一整项。

例例. 接上题，求

P (X \geq 1)

与

P (X > 1)

。

第一步，翻译：

X \geq 1

是落在

{1, 2}

上；

X > 1

只有

{2}

。

第二步，

P (X \geq 1) = 0.6 + 0.3 = 0.9

；

P (X > 1) = 0.3

。

第三步，项数多时走对立：这里也可以写

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 0.9

✓ 取值一多（比如

X

能取

0

到

10

），对立事件就是唯一划算的路。

第四步，核对等号：

0.9

与

0.3

差了整整一项

P (X = 1) = 0.6

。

离散型里

\geq

和

>

差一整项——这和连续型完全不同，那边两者相等。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

漏掉一个取值

最常漏的是边界上那个（

X = 0

或

X = n

）。

症状：

\sum p_{k} \neq = 1

。

和不对时先查取值范围，再查组合数——顺序反了会白费很多时间。

只验非负、不验和为 $1$

求待定常数靠的是「和为

1

」；非负性只用来舍去不合理的解。

漏了验和，参数就定不出来；只验和不验非负，可能留下让某个

p_{k}

为负的解。

两条都要过，而且顺序是先用和定出参数，再用非负性筛。

把 $F$ 写成左连续或漏掉最后一段

分段区间要写成左闭右开（

0 \leq x < 1

），且最大取值之后

F \equiv 1

。

漏写最后一段，

F (+ \infty) = 1

这条性质就不成立了。

画个草图最稳：从 $0$ 一级一级升到 $1$ 。

把连续型的「等号无所谓」搬到离散型

离散型里

P (X \geq 1)

与

P (X > 1)

相差

P (X = 1)

，不能混用。

同样，

P (X \leq a)

与

P (X < a)

也差一项。

读题时把不等号连同等号一起圈出来，再去对取值。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认分布律

练 1

分布律的两条要求是

p_{k} \geq 0

与 ________。

练 2

设

P (X = k) = \frac{c}{2 ^{k}}

（

k = 1, 2, 3

），则

c =

（）。

A $1$
B $\frac{7}{8}$
C $\frac{8}{7}$
D $2$

练 3

掷两枚硬币，

X

为正面个数，则

P (X = 0) =

________。

练 4

离散型随机变量的分布函数是（）。

A连续函数
B阶梯函数
C线性函数
D处处可导的函数

第二组 · 求分布律

练 5

袋中

3

白

2

黑，任取

2

个，

X

为白球数，则

P (X = 1) =

________。

练 6

承上题，

P (X = 2) =

________。

练 7

从分布函数

F

读分布律时，

p_{k}

等于（）。

A $F (x_{k})$
B $F^{'} (x_{k})$
C $F (x_{k}) + F (x_{k} - 0)$
D $F$ 在 $x_{k}$ 处的跳跃高度

练 8

承前（

3

白

2

黑取

2

个），

P (X \geq 1) =

________。

第三组 · 等号与综合

练 9

对离散型随机变量，

P (X > 1)

与

P (X \geq 1)

（）。

A相差 $P (X = 1)$
B一定相等
C相差 $1$
D没有确定关系

练 10

设

P (X = k) = \frac{c}{k ( k + 1 )}

（

k = 1, 2, 3

），则

c =

________。

练 11

某离散型随机变量的分布函数在

x = 2

处跳了

0.3

，则

P (X = 2) =

________。

练 12

求离散型随机变量分布律的第一步应当是（）。

A逐个算概率
B写出分布函数
C定出 $X$ 的全部取值
D验证概率之和为 $1$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

离散型随机变量及其分布律

先打基础

1. 分布律：非负，而且加起来等于 1

2. 分布律与分布函数：一个是表，一个是阶梯

3. 求分布律的三步：先定取值，再算概率，最后验和

4. 用分布律算事件：把事件翻译成取值的集合

常用结构

求分布律：定取值、算概率、验和

分布律与 F 互换

算事件的概率

基础易错

漏掉一个取值

只验非负、不验和为 1

把 F 写成左连续或漏掉最后一段

把连续型的「等号无所谓」搬到离散型

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 分布律：非负，而且加起来等于 $1$

分布律与 $F$ 互换

只验非负、不验和为 $1$

把 $F$ 写成左连续或漏掉最后一段