离散型随机变量及其分布律

§15.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.65 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

5.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）随机变量与分布函数③ 掌握后可解锁常见离散分布（二项、泊松、几何等）随机变量函数的分布数学期望

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 离散型随机变量与分布律的定义： $p_{k} \geq 0, \sum_{k} p_{k} = 1$ 是充要条件★★ 必会

① 定义：若随机变量

X

的一切可能取值为有限个或可列无穷个

x_{1}, x_{2}, \dots

，那么称

X

为离散型随机变量；称

P (X k = x_{k}) = p_{k} = 1, 2, \dots

为

X

的分布律（也称概率分布），通常写成两行的表格：上行是取值

x_{k}

，下行是概率

p_{k}

。

② 充要条件（判别分布律与确定参数的总依据）：数列

{p_{k}}

能作为某个离散型随机变量的分布律

⟺

(i) p_{k} \geq 0; (ii) k \sum p_{k} = 1 (归一性) .

如果分布律中含有未知常数，那么可由归一性 (ii) 解出，所需的级数求和方法见后面关于归一性的一条。

③ 由分布律求一切概率：任何事件的概率，就是把落在该事件内的各个取值的概率相加：

P (X \in D) = x_{k} \in D \sum p_{k},

特别地，分布函数

F (x) = P (X \leq x) = x_{k} \leq x \sum p_{k}

是右连续的阶梯函数，在每个

x_{k}

处上跳

p_{k}

，在两个取值点之间保持水平，互化的细节见后面关于阶梯分布函数的一条。

④ 与其他类型的比较：在三类随机变量中，离散型的概率集中在一个个点上；连续型的概率分布在密度上，单点概率为

0

；此外还有混合型。判别时只看

F

的形态：它是纯阶梯函数

⟺

该随机变量是离散型。

证明 / 推导

必要性：

p_{k} = P (X = x_{k}) \geq 0

由概率的非负性得出；而诸事件

{X = x_{k}}

两两互斥且并为

Ω

（

X

总要取某个值），由可列可加性得

\sum_{k} p_{k} = P (Ω) = 1

。充分性（用构造法）：给定满足 (i)(ii) 的

{p_{k}}

，把区间

[0, 1)

按长度

p_{1}, p_{2}, \dots

分成若干小段，在第

k

段上令

X = x_{k}

，并对

[0, 1)

上的均匀概率验证得

P (X = x_{k}) = p_{k}

。可见除这两条以外，分布律再没有别的限制。

■

举例说明

2026·数三选择：设随机变量

X

的概率分布为

P (X = k) = \frac{1}{2 ^{k + 1}} + \frac{1}{3 ^{k}} (k = 1, 2, \dots)

，则对正整数

m, n

有（　）(A)

P (X > m + n ∣ X > m) = P (X > m)

；(B)

= P (X > n)

；(C)

> P (X > m)

；(D)

> P (X > n)

。
解：先验证它确是分布律（这是 ② 的应用）：

p_{k} > 0

显然成立，而且

k = 1 \sum \infty \frac{1}{2 ^{k + 1}} k = 1 \sum \infty \frac{1}{3 ^{k}} = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1}{2} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1}{2}

总和恰为

1

。再由分布律计算尾概率（这是 ③ 的应用，用两个等比级数求和）：

P (X > j) = k > j \sum p_{k} = \frac{1}{2 ^{j + 1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 ^{j}} .

先排除 (A)、(C)：固定

m

，令

n \to \infty

，左端

\to 0

，而

P (X > m)

是一个正的定值。再比较 (B) 与 (D)：

P (X > m + n ∣ X > m) = \frac{P ( X > m + n )}{P ( X > m )}

与

P (X > n)

的大小，即比较

P (X > m + n)

与

P (X > m) P (X > n)

，代入尾概率的表达式展开化简，得

P (X > m + n) - P (X > m) P (X > n) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2 ^{m}} - \frac{1}{3 ^{m}}) (\frac{1}{2 ^{n}} - \frac{1}{3 ^{n}}) > 0,

故应选 D。说明：这个分布是两个几何分布（

p = \frac{1}{2}

与

p = \frac{2}{3}

）各按权

\frac{1}{2}

混合而成的。单个几何分布具有无记忆性，即 (B) 中的等号成立；混合以后，已经存活

m

步这一事实说明

X

更可能来自尾部较厚的那个分量，所以严格大于。

2. 利用归一性定参数时常用的级数：等比级数、指数级数与错位相减★ 要懂

用

\sum_{k} p_{k} = 1

确定参数时，能否求出相应的级数之和往往是解题的要点。下面三个式子必须掌握：

① 等比级数

k = 0 \sum \infty q^{k} = \frac{1}{1 - q} (∣ q ∣ < 1)

；
② 指数级数

k = 0 \sum \infty \frac{λ ^{k}}{k !} = e^{λ}

；
③ 用错位相减法或逐项求导法可得

k = 1 \sum \infty k q^{k - 1} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}}

，从而

k = 1 \sum \infty k q^{k} = \frac{q}{( 1 - q ) ^{2}}

。

判别分布律属于哪一类级数，是解这类题目的第一步。

证明 / 推导

证. 证明

k = 1 \sum \infty k q^{k - 1} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}} (∣ q ∣ < 1)

。

用逐项求导法：对

k = 0 \sum \infty q^{k} = \frac{1}{1 - q}

两边关于

q

求导（幂级数在收敛区间内可以逐项求导），左端

\frac{d}{d q} q^{k} = k q^{k - 1}

，右端

\frac{d}{d q} \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{( 1 - q ) ^{2}}

，即得所要的等式。再在两边乘以

q

，得

\sum_{k \geq 1} k q^{k} = \frac{q}{( 1 - q ) ^{2}}

。

举例说明

例. 设

P (X = k) = c k (1/3)^{k} (k = 1, 2, \dots)

，求

c

。由归一性得

k = 1 \sum \infty c k (\frac{1}{3})^{k} = c \cdot \frac{1/3}{( 1 - 1/3 ) ^{2}} = c \cdot \frac{1/3}{4/9} = c \cdot \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow c = \frac{4}{3} .

（这里用了

\sum_{k \geq 1} k q^{k} = \frac{q}{( 1 - q ) ^{2}}

，

q = \frac{1}{3}

。）能够看出它是

k q^{k}

型的级数，是解题的第一步。

3. 分布律与阶梯分布函数的双向互化

离散型的

F (x) = \sum_{x_{k} \leq x} p_{k}

是右连续的阶梯函数，在每个

x_{k}

处上跳

p_{k}

，其间保持水平。反过来，如果给定一个阶梯函数

F

，那么每个跳跃点处的跳跃高度就是该点的概率

p_{k} = F (x_{k}) - F (x_{k} - 0)

，没有跳跃之处概率为

0

。二者是一一对应的。注意

F

在取值点处取上一台阶的值（右连续），因此求

P (X = x_{k})

时要用该点的函数值减去它的左极限。

证明 / 推导

证. 设

X

的可能取值按大小排成

x_{1} < x_{2} < \dots

，且

P (X = x_{k}) = p_{k}

。

由分布律作出 $F$ . 事件

{X \leq x}

是那些满足

x_{k} \leq x

的事件

{X = x_{k}}

之并。这些事件两两互斥。由可列可加性得

F (x) = P (X \leq x) = x_{k} \leq x \sum p_{k} .

如果

x

与

x^{'}

都落在

[x_{k}, x_{k + 1})

内，那么求和的范围一样，故

F (x) = F (x^{'})

。这说明

F

在相邻两个取值点之间取常数值，并且在

x_{k}

处右连续。又由

F (x_{k}) F (x_{k} - 0) = i \leq k \sum p_{i} = i \leq k - 1 \sum p_{i}

相减，得

x_{k}

处的跳跃高度为

p_{k}

。这就证明了

F

是右连续的阶梯函数，且跳跃高度即分布律。

由 $F$ 反求分布律. 设

F

是分布函数。又设它只在至多可列个点

x_{1} < x_{2} < \dots

处跳跃，在其余各处取常数值。令

p_{k} = F (x_{k}) - F (x_{k} - 0)

。由

F (x) = P (X \leq x)

与

F (x - 0) = P (X < x)

相减，得

p_{k} = P (X = x_{k})

，故

p_{k} \geq 0

。又

F

在两个跳跃点之间没有增量。它从

F (- \infty) = 0

增到

F (+ \infty) = 1

，全部增量都来自跳跃，故

\sum_{k} p_{k} = 1

。于是

P (X \in {x_{1}, x_{2}, \dots}) = 1

，即

X

是离散型的，

{p_{k}}

就是它的分布律。两个方向合起来，即得二者一一对应。

反求时的前提. 上面用到了

F

的增量全部来自跳跃这一条件。如果

F

除跳跃外还有连续上升的部分，那么各跳跃高度之和小于

1

。此时

X

不是离散型的。按跳跃点写出的

{p_{k}}

不满足归一性，它只是混合型分布中的离散部分。

■

举例说明

例. 已知

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 0.2, 0.5, 1, x < - 1 - 1 \leq x < 1 1 \leq x < 2 x \geq 2.

求

X

的分布律及

P (X < 2), P (0 < X \leq 2)

。

解. 跳跃点为

- 1, 1, 2

，跳跃高度依次为

0.2 - 0 = 0.2

、

0.5 - 0.2 = 0.3

、

1 - 0.5 = 0.5

。所以

X

取

- 1, 1, 2

，相应的概率为

0.2, 0.3, 0.5

（和为

1

，检验无误）。

P (X < 2) = F (2 - 0) = 0.5

；

P (0 < X \leq 2) = F (2) - F (0) = 1 - 0.2 = 0.8

（其中包含

X = 1

的

0.3

与

X = 2

的

0.5

）。

4. 常用分布的归一性就是已经学过的级数恒等式

三种常用的离散分布之所以能作为概率分布，正是因为它们的概率之和恰为

1

，而这一点来自高等数学中的级数恒等式。弄清它的来历，就不必强记：

- 二项分布：

k = 0 \sum n (k n) p^{k} q^{n - k} = (p + q)^{n} = 1^{n} = 1

（二项式定理）；
- 泊松分布：

k = 0 \sum \infty \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ} = e^{- λ} e^{λ} = 1

（指数级数）；
- 几何分布：

k = 1 \sum \infty q^{k - 1} p = p \cdot \frac{1}{1 - q} = \frac{p}{p} = 1

（等比级数，

q = 1 - p

）。

从这一角度看，概率论中的分布与高等数学中的级数是相通的，参数的取值范围也由此得到解释（例如

∣ q ∣ < 1

保证几何级数收敛）。

证明 / 推导

以泊松分布为例作一说明。指数函数的麦克劳林展开式

e^{λ} = k = 0 \sum \infty \frac{λ ^{k}}{k !}

对一切

λ

收敛，因此

k = 0 \sum \infty P (X = k) = e^{- λ} k = 0 \sum \infty \frac{λ ^{k}}{k !} = e^{- λ} \cdot e^{λ} = 1.

这同时说明，对任意

λ > 0

，泊松分布都有意义，不需要另加归一化常数。

5. 函数 $Y = g (X)$ 的分布律：先逐个求出函数值，再把相同的值合并★★ 必会

求离散型随机变量的函数

Y = g (X)

的分布律，办法是把每个

x_{k}

代入

g

得

y = g (x_{k})

，再把落到同一个 $y$ 的那些

x_{k}

的概率相加。当

g

单调时，两者的取值一一对应，概率原样搬过来；当

g

不单调（例如

X^{2}, ∣ X ∣, (X - c)^{2}

）时，会有多个

x_{k}

映到同一个

y

，这时必须把概率合并。这一步最容易遗漏。

举例说明

例. 设

X

的分布律为

P (X = - 1) = 0.2, P (X = 0) = 0.3, P (X = 1) = 0.3, P (X = 2) = 0.2

。求

Y = (X - 1)^{2}

的分布律。

解. 逐个代入，得

X = - 1 \to Y = 4

；

X = 0 \to Y = 1

；

X = 1 \to Y = 0

；

X = 2 \to Y = 1

。

Y

的取值为

0, 1, 4

，其中

Y = 1

是由

X = 0

与

X = 2

两种情形合并而来的：

P (Y = 1) = 0.3 + 0.2 = 0.5

。所以

P (Y P (Y P (Y = 0) = 0.3 = 1) = 0.5 = 4) = 0.2

（和为

1

，检验无误）。如果忘记把

X = 0, 2

合并，那么

Y = 1

的概率就会算错。

💡 小知识

离散型随机变量的分布律像一份概率的账本：每一行记下一个可能结果和它分到的概率，全部加起来必须精确等于

1

。解题时反解分布中的未知参数，用的往往就是这条归一性。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设离散型随机变量

X

只取

1, 2, 3

，其分布律为

P (X = k) = c k (k = 1, 2, 3)

。求

(1)

常数

c

；

(2) P (X \geq 2)

。难度 1

核心约束：归一性 $\sum p_{k} = 1$ ，用它定常数。

(1)

由归一性

k = 1 \sum 3 c k = c (1 + 2 + 3) = 6 c = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{6} .

(2)

P (X \geq 2) = P (X = 2) + P (X = 3) = 2 c + 3 c = 5 c = \frac{5}{6}

。

例 2 掷两枚均匀硬币，记

X

为出现正面的枚数。求

X

的分布律，并求

P (X \geq 1)

。难度 1

先列出 $X$ 的所有取值及各自概率，再相加。

两枚硬币的等可能结果为

{

正正, 正反, 反正, 反反

}

，各占

\frac{1}{4}

。正面枚数

X

取

0, 1, 2

：

P (X = 0) = \frac{1}{4}, P (X = 1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, P (X = 2) = \frac{1}{4} .

分布律：

X P 0 1/4 1 1/2 2 1/4

P (X \geq 1) = P (X = 1) + P (X = 2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} .

例 3 设离散型随机变量

X

的分布律为

P (X = k) = c (\frac{2}{3})^{k} (k = 1, 2, 3, \dots)

。求

(1)

常数

c

；

(2) P (X = 2)

。难度 2

含无穷多项时，用等比级数求和 $\sum_{k = 1}^{\infty} q^{k} = \frac{q}{1 - q}$ 。

(1)

归一性：

k = 1 \sum \infty c (\frac{2}{3})^{k} = c \cdot \frac{2/3}{1 - 2/3} = c \cdot \frac{2/3}{1/3} = 2 c = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{2} .

(2)

P (X = 2) = \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{9}

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X

的概率分布为

P {X = k} = \frac{1}{2 ^{k + 1}} + \frac{1}{3 ^{k}}

（

k = 1, 2, \dots

），则对于正整数

m, n

，有（　　）。

A $P {X > m + n ∣ X > m} = P {X > m}$
B $P {X > m + n ∣ X > m} = P {X > n}$
C $P {X > m + n ∣ X > m} > P {X > m}$
D $P {X > m + n ∣ X > m} > P {X > n}$

2025 年 · 数三 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{20}

是来自总体

B (1, 0.1)

的简单随机样本，令

T = i = 1 \sum 20 X_{i}

，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得

P {T \leq 1} \approx

（　　）。

A $\frac{1}{e ^{2}}$
B $\frac{2}{e ^{2}}$
C $\frac{3}{e ^{2}}$
D $\frac{4}{e ^{2}}$

2021 年 · 数三 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设总体

X

的概率分布为

P {X = 1} = \frac{1 - θ}{2}

，

P {X = 2} = P {X = 3} = \frac{1 + θ}{4}

，利用来自总体的样本值

1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2

，可得

θ

的最大似然估计值为（　　）。

A $\frac{1}{4}$ 。
B $\frac{3}{8}$ 。
C $\frac{1}{2}$ 。
D $\frac{5}{8}$ 。

2017 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

设随机变量

X

的概率分布为

P {X = - 2} = \frac{1}{2}, P {X = 1} = a, P {X = 3} = b

，若

E (X) = 0

，则

D (X) =

______。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设离散型随机变量

X

的分布律为

P (X = k) = c k (k = 1, 2, 3, 4)

，则

c =

（　）。

A $\frac{1}{10}$
B $\frac{1}{4}$
C $\frac{1}{16}$
D $\frac{1}{6}$

练习 2 · 填空题

设

X

的分布律为

X P 0 0.5 1 0.3 2 0.2

，则

P (X \geq 1) =

____。

练习 3 · 选择题

设离散型随机变量

X

的分布律为

P (X = k) = \frac{A}{2 ^{k}} (k = 0, 1, 2, \dots)

，则常数

A =

（　）。

A $\frac{1}{2}$
B $1$
C $\frac{1}{3}$
D $2$

练习 4 · 填空题

掷一颗均匀骰子，记

X

为出现的点数，则

P (X 为偶数) =

____。

练习 5 · 选择题

设

X

的分布律为

X P 1 0.2 2 0.5 3 0.3

，则其分布函数值

F (2) = P (X \leq 2) =

（　）。

A $0.7$
B $0.5$
C $0.2$
D $1$

练习 6 · 选择题

设随机变量

X

的分布函数为

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 0.3, 0.7, 1, x < - 1, - 1 \leq x < 1, 1 \leq x < 2, x \geq 2,

则

P (X \geq 1) =

（　　）

A $0.3$
B $0.4$
C $0.7$
D $1$

练习 7 · 填空题

设离散型随机变量

X

的分布律为

P (X = k) = \frac{c}{k ( k + 1 )} (k = 1, 2, 3, \dots)

，则

P (X \geq 3) =

____

练习 8 · 解答题

袋中有

3

个白球与

2

个红球，从中不放回地逐个取球，直到取到红球为止。记

X

为取球的次数。

(1) 求

X

的分布律；

(2) 写出

X

的分布函数

F (x)

；

(3) 求

P (X \geq 3)

与

E (X)

。

2015 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {2^{- x} ln 2, 0, x > 0, x \leq 0.

对

X

进行独立重复的观测，直到第

2

个大于

3

的观测值出现时停止，记

Y

为观测次数。

（Ⅰ）求

Y

的概率分布；

（Ⅱ）求

E (Y)

。

2010 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X

的分布函数

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{2}, 1 - e^{- x}, x < 0, 0 \leq x < 1, x \geq 1,

则

P {X = 1} =

（　　）

A $0$
B $\frac{1}{2}$
C $\frac{1}{2} - e^{- 1}$
D $1 - e^{- 1}$

离散型随机变量及其分布律

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 离散型随机变量与分布律的定义：pk​≥0, ∑k​pk​=1 是充要条件★★ 必会

2. 利用归一性定参数时常用的级数：等比级数、指数级数与错位相减★ 要懂

3. 分布律与阶梯分布函数的双向互化

4. 常用分布的归一性就是已经学过的级数恒等式

5. 函数 Y=g(X) 的分布律：先逐个求出函数值，再把相同的值合并★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 离散型随机变量与分布律的定义： $p_{k} \geq 0, \sum_{k} p_{k} = 1$ 是充要条件★★ 必会

5. 函数 $Y = g (X)$ 的分布律：先逐个求出函数值，再把相同的值合并★★ 必会