数学期望

§17.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

2.11 分/卷近 11 年平均

10/11 年出现年份

7.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度③ 掌握后可解锁方差协方差与相关系数矩与协方差矩阵切比雪夫不等式大数定律中心极限定理总体、样本与统计量矩估计估计量的评价标准（无偏、有效、一致）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 期望的定义：离散型 $E (X) = \sum_{k} x_{k} p_{k}$ ，连续型 $E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x$ （绝对收敛时才存在），以及期望的线性性★★ 必会

定义（分布的加权平均，即重心）：
① 离散型：设

X

取值

x_{k}

的概率为

p_{k}

，若级数绝对收敛，即

\sum_{k} ∣ x_{k} ∣ p_{k} < \infty

，则定义

E (X) = k \sum x_{k} p_{k};

② 连续型：设

X

的密度为

f (x)

，若

\int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ x ∣ f (x) d x < \infty

，则定义

E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x;

③ 若绝对收敛不成立，则称期望不存在（典型的例子是柯西分布）。从直观上看，把概率看作质量，

E (X)

就是分布的质心所在的位置。

线性性（最常用的性质，并不需要独立）：

E (a X + bY) E (a X + b) E (c) = a E (X) + b E (Y) = a E (X) + b = c

一般地，可以推广到任意有限个：

E (\sum_{i} a_{i} X_{i}) = \sum_{i} a_{i} E (X_{i})

，它与

X_{i}

是否独立、是否同分布都没有关系。用示性变量拆分求期望等方法，依据的就是这一性质。

乘积只有在独立时才能拆开：当

X, Y

相互独立时

E (X Y) = E (X) E (Y)

，反过来并不成立；不独立时，乘积的期望必须回到联合分布去计算。

常用分布的期望（应当熟记）：

0 - 1 (p) : p

；

B (n, p) : n p

；

P (λ) : λ

；

U (a, b) : \frac{a + b}{2}

；

E (λ) : \frac{1}{λ}

；

N (μ, σ^{2}) : μ

。

证明 / 推导

为什么必须绝对收敛：条件收敛的级数经过重排可以收敛到任意指定的值（黎曼重排定理），而

X

的取值按什么次序枚举，本不应影响平均值，故必须用

\sum_{k} ∣ x_{k} ∣ p_{k} < \infty

来保证求和与次序无关；连续型同理要求

\int ∣ x ∣ f d x < \infty

。

线性性的推导（以二维离散型为例）：设

(X, Y)

的联合分布律为

p_{ij}

，则

E (a X + bY) = i \sum j \sum (a x_{i} + b y_{j}) p_{ij} = a i \sum x_{i} = p_{i \cdot} j \sum p_{ij} + b j \sum y_{j} = p_{\cdot j} i \sum p_{ij} = a E (X) + b E (Y) .

全部推导只用到把联合分布对一个指标求和得到边缘分布，并没有用到独立性。

■

举例说明

数三 2020·填空：设

X

的分布律为

P {X = k} = \frac{1}{2 ^{k}} (k = 1, 2, 3, \dots)

，

Y

表示

X

被

3

除所得的余数，求

E (Y)

。
解：

Y = X mod 3 \in {0, 1, 2}

，先求

Y

的分布，再用离散型的定义

E (Y) = \sum_{k} y_{k} P (Y = y_{k})

。按

X

被

3

除所得的余数把取值分类，每一类都是公比为

\frac{1}{8}

的等比级数，而

\sum_{i \geq 0} (\frac{1}{8})^{i} = \frac{1}{1 - 1/8} = \frac{8}{7}

，于是

P (Y P (Y P (Y = 0) = i \geq 0 \sum \frac{1}{2 ^{3 i + 3}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{7} = \frac{1}{7} = 1) = i \geq 0 \sum \frac{1}{2 ^{3 i + 1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{7} = \frac{4}{7} = 2) = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{7} = \frac{2}{7} .

代入定义（即以概率为权的加权平均），得

E (Y) = 0 \cdot \frac{1}{7} + 1 \cdot \frac{4}{7} + 2 \cdot \frac{2}{7} = \frac{4 + 4}{7} = \frac{8}{7} .

容易出错的地方：

Y = X mod 3

是

X

的函数，但求

E (Y)

时必须先把

X

的取值按 $Y$ 的三个值归并，得到

Y

的分布，然后再按定义加权；漏项或等比级数求和出错是主要的失分原因。答案为

E (Y) = \frac{8}{7}

。

2. 无意识统计学家公式（LOTUS）为什么成立：不必先求 $g (X)$ 的分布★★ 必会

LOTUS 是指

E (g (X)) = \sum_{k} g (x_{k}) p_{k}

（连续型为

\int g (x) f (x) d x

），即用

g

直接对原分布加权，而不必先求出

Y = g (X)

的分布。它为什么成立呢？按定义，

E (Y) = \sum_{j} y_{j} P (Y = y_{j})

是按 $Y$ 的值分组求和，而 LOTUS 是按 $X$ 的值分组求和；二者只是把同一批乘积

g (x_{k}) p_{k}

按不同方式归类相加，结果自然相等。明白了这一点，就不会怀疑可否直接用

g

去加权。

证明 / 推导

证. 先看离散情形。设

Y = g (X)

，

Y

的可能取值为

{y_{j}}

。对每个

y_{j}

，它的概率是所有映到它的

x_{k}

的概率之和：

P (Y = y_{j}) = k : g (x_{k}) = y_{j} \sum p_{k} .

于是

E (Y) = j \sum y_{j} P (Y = y_{j}) = j \sum y_{j} k : g (x_{k}) = y_{j} \sum p_{k} = j \sum k : g (x_{k}) = y_{j} \sum g (x_{k}) p_{k},

最后一步用到在内层求和中

g (x_{k}) = y_{j}

。各组

{k : g (x_{k}) = y_{j}}

合并起来正好遍历所有的

k

，故

E (Y) = k \sum g (x_{k}) p_{k} .

这就是 LOTUS，它把重新求

Y

的分布这一步完全省去了。

3. 尾和公式 $E (X) = \int_{0}^{\infty} P (X > x) d x$ ：不用密度也能求期望

对非负随机变量，期望等于生存函数的积分或求和。连续型时

E (X) = \int_{0}^{\infty} P (X > x) d x = \int_{0}^{\infty} [1 - F (x)] d x,

非负整值离散型时

E (X) = k = 1 \sum \infty P (X \geq k)

。这个公式把

x

乘密度再积分这一步，换成直接累加尾概率；在只知道分布函数或尾概率、以及

X = max (\dots)

这类密度不易求出的场合，用它特别方便。

证明 / 推导

证. 先看连续非负的情形，交换积分次序（把

P (X > x)

写成积分，积分区域为

0 \leq x \leq t

），得

\int_{0}^{\infty} P (X > x) d x = \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty} f (t) d t d x = \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{t} d x) f (t) d t = \int_{0}^{\infty} t f (t) d t = E (X) .

离散情形同理，交换求和次序，得

k = 1 \sum \infty P (X \geq k) = k = 1 \sum \infty n \geq k \sum P (X = n) = n = 1 \sum \infty k = 1 \sum n P (X = n) = n = 1 \sum \infty n P (X = n) = E (X) .

举例说明

设

X

服从几何分布（取值为

1, 2, \dots

，成功率为

p

），前

k - 1

次全部失败，给出

P (X \geq k) = (1 - p)^{k - 1}

。由尾和公式得

E (X) = k = 1 \sum \infty (1 - p)^{k - 1} = \frac{1}{1 - ( 1 - p )} = \frac{1}{p},

一步即可求出，比按定义计算

\sum_{k} k (1 - p)^{k - 1} p

（需要对级数求导）快得多。凡是求最小等待时间或最大值的期望，用尾和公式往往最为简便。

4. Jensen 不等式：对凸函数有 $E (g (X)) \geq g (E (X))$ ，非线性函数不能与求期望交换次序★ 要懂

常见的错误是把期望移到非线性函数的里面。正确的方向由 Jensen 不等式给出：若

g

是凸函数，则

E (g (X)) \geq g (E (X))

；若

g

是凹函数，则不等号反向。等号一般要求

g

在有关范围内是线性的，或者

X

退化为常数。由它可以统一说明

E (X^{2}) \geq [E (X)]^{2}

（两者之差就是方差）、

E (1/ X) \geq 1/ E (X)

（这里

X > 0

）、

E (ln X) \leq ln E (X)

等一系列结论，只须注意凸函数朝上、凹函数朝下即可，不必逐条记忆。

证明 / 推导

证. 设

g

是凸函数且可导，记

μ = E (X)

。凸函数的图形恒在它的任一条切线之上，即对一切

x

有

g (x) \geq g (μ) + g^{'} (μ) (x - μ) (切线支撑性质) .

在两边取期望（取期望保持不等号的方向），得

E (g (X)) \geq g (μ) + g^{'} (μ) E (X - μ) = g (μ) + g^{'} (μ) \cdot 0 = g (μ) = g (E (X)) .

对凹函数只需把不等号整体反向。证毕。

举例说明

取

g (x) = x^{2}

，它是凸函数，于是

E (X^{2}) \geq [E (X)]^{2}

，而两者之差

E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = D (X) \geq 0

这就是方差非负这一结论，可见 Jensen 不等式在这里给出了方差。再取

g (x) = \frac{1}{x} (x > 0)

，它也是凸函数，于是

E (\frac{1}{X}) \geq \frac{1}{E ( X )}

。例如把一批阻值随机的正电阻并联时，倒数的平均值不小于平均值的倒数，依据的就是这个不等式。

5. 用对称性求期望：密度关于 $a$ 对称时 $E (X) = a$ ，不必积分（但须先验证期望存在）★★ 必会

若

X

的密度关于

x = a

对称，即

f (a + t) = f (a - t)

，且期望存在，则

E (X) = a

，根本不必积分。从直观上看，把概率质量看成一根对称的杆，其质心必在对称轴上。由对称性

\Rightarrow

期望等于对称中心，用这一方法可以对正态分布、均匀分布以及各种人为构造的对称密度迅速求出期望。但必须注意，它的前提是期望存在；对于对称而积分发散的分布（如柯西型），期望并不存在，不能套用这一结论。

证明 / 推导

证. 设

f (a + t) = f (a - t)

，且

\int ∣ x ∣ f (x) d x < \infty

。考察

E (X - a)

，作换元

t = x - a

，得

E (X - a) = \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - a) f (x) d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} t f (a + t) d t .

被积函数中

t

是奇函数，而

f (a + t)

关于

t

是偶函数，故乘积是奇函数，它在对称区间

(- \infty, + \infty)

上的积分为

0

（绝对可积保证这一步合法）。故

E (X - a) = 0

，即

E (X) = a

。

举例说明

(1) 设

X

的密度为

f (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x - 3∣}

（拉普拉斯分布，它关于

3

对称且绝对可积），立即得

E (X) = 3

，无须积分。
(2) 必须注意：

f (x) = \frac{1}{π [ 1 + ( x - 3 ) ^{2} ]}

虽然也关于

3

对称，但

\int ∣ x ∣ f d x = \infty

，期望不存在，因而不能写

E (X) = 3

。结论：由对称性得出

E (X) = a

的前提是期望先存在，存在性必须先行验证。

💡 小知识

圣彼得堡悖论由尼古拉·伯努利在 1713 年提出：有一个不断翻倍的赌局，它的数学期望是无穷大，可现实中没有人肯为入场券出高价。期望无穷而身价有限，这个矛盾催生了效用的概念。1738 年丹尼尔·伯努利在圣彼得堡科学院发表论文，正是用效用给出了解答，悖论也因此得名，后世的决策论与经济学都以此为一个起点。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设离散型随机变量

X

的分布律为

X P - 1 0.3 0 0.5 2 0.2

求：（1）

E (X)

；（2）

E (2 X + 1)

。难度 1

（1） 按定义

E (X) = \sum_{k} x_{k} p_{k}

，即「取值

\times

概率」再求和：

E (X) = (- 1) (0.3) + 0 \cdot (0.5) + 2 \cdot (0.2) = - 0.3 + 0 + 0.4 = 0.1.

（2） 用期望的线性性

E (a X + b) = a E (X) + b

：

E (2 X + 1) = 2 E (X) + 1 = 2 \times 0.1 + 1 = 1.2.

小结：离散期望是「以概率为权重的加权平均」；线性变换直接套

E (a X + b) = a E (X) + b

，无需重新求分布。

例 2 设连续型随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {2 x, 0, 0 < x < 1, 其他 .

求

E (X)

。难度 1

连续型期望

E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

，只在密度非零区间

(0, 1)

上积分：

E (X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2 x d x = \int_{0}^{1} 2 x^{2} d x = [\frac{2}{3} x^{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} .

小结：务必把积分限取成密度的支撑

(0, 1)

，不要写成整个实轴。

例 3 设离散型随机变量

X

的分布律为

X P - 1 0.2 0 0.5 1 0.3

用无意识统计学家公式（LOTUS）求

E (X^{2})

，并比较它与

[E (X)]^{2}

。难度 2

LOTUS：求 $E (g (X))$ 不必先求 $g (X)$ 的分布，直接用 $g$ 与原分布加权。 这里

g (x) = x^{2}

：

E (X^{2}) = (- 1)^{2} (0.2) + 0^{2} (0.5) + 1^{2} (0.3) = 0.2 + 0 + 0.3 = 0.5.

另一方面

E (X) = (- 1) (0.2) + 0 + 1 (0.3) = 0.1

，故

[E (X)]^{2} = 0.01

。
可见

E (X^{2}) = 0.5 \neq = [E (X)]^{2} = 0.01,

二者之差

0.5 - 0.01 = 0.49

恰为方差

D (X)

。小结：一般

E (g (X)) \neq = g (E (X))

；LOTUS 让我们绕开

X^{2}

的分布直接计算。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X \sim N (0, 1)

，随机变量

Y \sim B (2, \frac{1}{2})

，且

X

与

Y

独立，则

X Y

与

X + Y

的相关系数为（　　）。

A $\frac{6}{3}$
B $\frac{2}{2}$
C $\frac{2}{3}$
D $\frac{1}{2}$

2026 年 · 数三 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设随机变量

X

服从参数为

1

的泊松分布，随机变量

Y

服从参数为

3

的泊松分布，

X

与

Y - X

相互独立，则

E (X Y) =

______。

2025 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额

Y

与投保人的损失额

X

的关系为

Y = {0, X - 100, X \leq 100 X > 100

，设损失事件发生时，投保人的损失额

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 \times 10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{3}}, 0, x > 0 x \leq 0

。

（Ⅰ）求

P {Y > 0}

及

E (Y)

；

（Ⅱ）这种损失事件在一年内发生的次数记为

N

，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为

M

。假设

N

服从参数为

8

的泊松分布，在

N = n (n \geq 1)

的条件下，

M

服从二项分布

B (n, p)

，其中

p = P {Y > 0}

，求

M

的概率分布。

2024 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {6 x (1 - x), 0, 0 < x < 1 其他

，则

X

的三阶中心矩

E {[X - E (X)]^{3}} =

（　　）。

A $- \frac{1}{32}$
B $0$
C $\frac{1}{16}$
D $\frac{1}{2}$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X

的分布律为

P (X = 1) = 0.2, P (X = 2) = 0.3, P (X = 3) = 0.5

，则

E (X) =

（　）。

A $2$
B $2.3$
C $2.5$
D $3$

练习 2 · 填空题

设

X

的概率密度为

f (x) = 2 x (0 < x < 1)

，其余为

0

，则

E (X) =

____。

练习 3 · 选择题

已知

E (X) = 3

，则

E (2 X - 1) =

（　）。

A $3$
B $5$
C $6$
D $7$

练习 4 · 填空题

设

X \sim U (0, 1)

（

[0, 1]

上的均匀分布），则

E (X^{2}) =

____。

练习 5 · 选择题

某种农产品的日需求量

X

（单位：吨）服从区间

[0, 3]

上的均匀分布。某批发商每天固定备货

2

吨，则当日的实际售出量为

Y = min {X, 2}

，

E (Y) =

（　）

A $\frac{7}{6}$
B $\frac{3}{2}$
C $\frac{4}{3}$
D $\frac{5}{3}$

练习 6 · 填空题

设二维随机变量

(X, Y)

在区域

D = {(x, y) ∣ 0 < x < 1, 0 < y < x}

上服从均匀分布，则

E (X Y) =

____。

练习 7 · 解答题

某商店经销一种时令商品，每售出

1

吨可获利

3

千元；当天售不出去的部分作降价处理，每吨亏损

1

千元。已知该商品的日需求量

X

（单位：吨）服从区间

[10, 30]

上的均匀分布。设商店当天的进货量为

a

吨（

10 \leq a \leq 30

），当天的利润为

Y

（单位：千元）。

(1) 写出

Y

用

X

表示的表达式；

(2) 求

E (Y)

（结果用

a

表示）；

(3) 求使

E (Y)

达到最大的进货量

a

，并求最大期望利润。

2023 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X

服从参数为

1

的泊松分布，则

E [∣ X - E (X) ∣] =

（　　）。

A $\frac{1}{e}$
B $\frac{1}{2}$
C $\frac{2}{e}$
D $1$

2023 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = \frac{e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}}, - \infty < x < + \infty

，令

Y = e^{X}

。（Ⅰ）求

X

的分布函数；（Ⅱ）求

Y

的概率密度；（Ⅲ）

Y

的数学期望是否存在？

数学期望

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 期望的定义：离散型 E(X)=∑k​xk​pk​，连续型 E(X)=∫−∞+∞​xf(x)dx（绝对收敛时才存在），以及期望的线性性★★ 必会

2. 无意识统计学家公式（LOTUS）为什么成立：不必先求 g(X) 的分布★★ 必会

3. 尾和公式 E(X)=∫0∞​P(X>x)dx：不用密度也能求期望

4. Jensen 不等式：对凸函数有 E(g(X))≥g(E(X))，非线性函数不能与求期望交换次序★ 要懂

5. 用对称性求期望：密度关于 a 对称时 E(X)=a，不必积分（但须先验证期望存在）★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 期望的定义：离散型 $E (X) = \sum_{k} x_{k} p_{k}$ ，连续型 $E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x$ （绝对收敛时才存在），以及期望的线性性★★ 必会

2. 无意识统计学家公式（LOTUS）为什么成立：不必先求 $g (X)$ 的分布★★ 必会

3. 尾和公式 $E (X) = \int_{0}^{\infty} P (X > x) d x$ ：不用密度也能求期望

4. Jensen 不等式：对凸函数有 $E (g (X)) \geq g (E (X))$ ，非线性函数不能与求期望交换次序★ 要懂

5. 用对称性求期望：密度关于 $a$ 对称时 $E (X) = a$ ，不必积分（但须先验证期望存在）★★ 必会