数学期望

概率论与数理统计 · 随机变量的数字特征

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 数学期望：以概率为权重的加权平均

离散型：

E (X) = k \sum x_{k} p_{k};

连续型：

E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x .

两式说的是同一件事：把每个取值按它的概率加权平均。
物理上就是概率分布这根「质量棒」的重心。

两式都要求绝对收敛（级数绝对收敛、积分绝对收敛），否则期望不存在。

为什么要这么严？因为条件收敛的和会随求和次序改变（交错级数那一节证过），
而期望是分布的属性，不能依赖于你按什么顺序去加。

2. 函数的期望：不必先求它的分布

要算

E [g (X)]

，不必先求出 $Y = g (X)$ 的分布。直接用：

E [g (X)] = k \sum g (x_{k}) p_{k},

E [g (X)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (x) f (x) d x .

二维也一样：

E [g (X, Y)] = \iint g f d σ

（离散型换成双重求和）。

这条定理省掉一整步。比如求

E (X^{2})

：按定义本该先求

X^{2}

的分布
（上一章那套换元、分支合并的活），再加权平均；
有了它，直接把

x^{2}

乘上去积分就行。

下一节的方差公式

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

全靠它才算得动。

3. 线性永远成立，可乘要独立

期望最有用的两条性质，条件差别很大：

① 线性性（无条件成立）：

E (a X + bY + c) = a E (X) + b E (Y) + c .

X

与

Y

不必独立，甚至可以互相完全决定。

② 可乘性（要求独立）：

X, Y

独立时

E (X Y) = E (X) E (Y) .

不独立时一般不成立，两者之差正是下一节要讲的协方差。

考点就在这个差别上：

E (X + Y)

随便拆，

E (X Y)

必须先确认独立。

4. 常见分布的期望：记住这张表

0 - 1 分布 B (n, p) P (λ) U (a, b) E (λ) N (μ, σ^{2}) p n p λ \frac{a + b}{2} \frac{1}{λ} μ

几条都合乎直觉：均匀分布的重心在区间中点；正态分布的重心就是对称中心

μ

；
泊松分布的

λ

本来就是「平均次数」。

二项分布的 $n p$ 最好记也最好用：

n

次试验、每次成功率

p

，
平均成功

n p

次。它可以由线性性一步得到——把

X

写成

n

个

0

1

分布之和，
每个的期望是

p

，相加即得（这一步不需要独立）。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

按定义算期望

第一步：认清类型——离散用求和，连续用积分。

第二步：写出

\sum x_{k} p_{k}

或

\int x f (x) d x

，积分限由密度的支撑定。

第三步：算出来；必要时说明绝对收敛。

第四步：检查结果是否落在取值范围内（重心不会跑到区间外面）。

例例.

X

取

1, 2, 3

，概率

0.3, 0.5, 0.2

；

Y

的密度

f (y) = 2 y

（

0 < y < 1

）。分别求期望。

第一步，

X

离散用求和，

Y

连续用积分。

第二步，

E (X) = 1 \times 0.3 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.2 = 1.9;

E (Y) = \int_{0}^{1} y \cdot 2 y d y = \frac{2}{3} .

积分限由密度的支撑定，不是

(- \infty, + \infty)

。

第三步，有限和与收敛积分 ✓

第四步，检查：

1.9 \in [1, 3]

✓

\frac{2}{3} \in [0, 1]

✓

期望是重心，不会跑到取值范围外面——算出

3.5

或

- 0.2

就一定错了。

算 $E [g (X)]$ 与 $E [g (X, Y)]$

第一步：不要先求

g (X)

的分布。

第二步：直接把

g (x)

乘进定义式：

\sum g (x_{k}) p_{k}

或

\int g (x) f (x) d x

。

第三步：二维时用联合分布做双重求和或二重积分。

第四步：常用的

g

是

x^{2}

（为方差作准备）与

x y

（为协方差作准备）。

例例. 接上题，求

E (X^{2})

与

E (e^{Y})

。

第一步，不要先去求

X^{2}

或

e^{Y}

的分布——那是绕远路。

第二步，直接把

g

乘进定义式：

E (X^{2}) = 1 \times 0.3 + 4 \times 0.5 + 9 \times 0.2 = 4.1;

E (e^{Y}) = \int_{0}^{1} e^{y} \cdot 2 y d y = 2 [y e^{y} - e^{y}]_{0}^{1} = 2.

第三步，二维时同理，用联合分布做双重求和或二重积分。

第四步，最常用的两个

g

：

x^{2}

（为方差作准备）与

x y

（为协方差作准备）。

顺带：

E (X^{2}) = 4.1

而

[E (X)]^{2} = 3.61

，两者不相等——差的

0.49

正是方差。

用线性性拆开算

第一步：看能不能把

X

写成若干个简单变量之和（尤其是

0

1

指示变量）。

第二步：分别算每一项的期望。

第三步：相加——这一步不需要独立。

第四步：遇到

E (X Y)

才要停下来确认独立，否则不能拆成乘积。

例例. 抛一枚均匀硬币

10

次，求正面次数

X

的期望。

第一步，把

X

写成

0

1

指示变量之和：

X = X_{1} + \dots + X_{10}

，

X_{i} = 1

表示第

i

次正面。

第二步，每一项

E (X_{i}) = 1 \times 0.5 + 0 \times 0.5 = 0.5

。

第三步，相加：

E (X) = 10 \times 0.5 = 5

。这一步不需要独立——期望的线性性对任何随机变量都成立。

第四步，所以即便各次之间有某种关联，只要每次正面概率还是

0.5

，期望仍是

5

。

但

E (X Y) = E (X) E (Y)

要独立，拆乘积之前必须停下来确认——这和线性性是两件事。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

算 $E [g (X)]$ 时先去求 $g (X)$ 的分布

不必。直接

\int g (x) f (x) d x

就是答案。

先求分布不算错，但多走一大步（还要处理不单调、分支合并那些麻烦）。

看到 $E (X^{2})$ 、 $E (X Y)$ ，直接把它乘进定义式。

把 $E (X Y)$ 拆成 $E (X) E (Y)$ 而不验独立

可乘性要求独立；线性性才是无条件的。

Y = X

时

E (X Y) = E (X^{2})

，一般不等于

[E (X)]^{2}

。

读题时「独立」二字决定了能不能拆——没有它就老实用联合分布积分。

以为 $E [g (X)] = g (E (X))$

一般不成立。上例里

E (X^{2}) = \frac{1}{3}

，而

[E (X)]^{2} = \frac{1}{4}

。

只有

g

是线性函数时才相等（

E (a X + b) = a E (X) + b

）。

两者之差恰好是方差（

g = x^{2}

时），所以这个错会直接吃掉下一节的内容。

不检查期望是否存在

要求绝对收敛。柯西分布

f (x) = \frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )}

的期望不存在。

这类题一旦出现，答「不存在」才是对的，硬算出

0

是错的
（那是把条件收敛的和按对称次序凑出来的）。

考研里出现得不多，但判断题会问。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

离散型随机变量的期望：

E (X) =

________。

练 2

连续型随机变量的期望：

E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}

________

d x

。

练 3

掷一枚均匀骰子，点数的期望是（）。

A $3.5$
B $3$
C $4$
D $6$

练 4

下列无条件成立的是（）。

A $E (X Y) = E (X) E (Y)$
B $E [g (X)] = g (E (X))$
C $E (X^{2}) = [E (X)]^{2}$
D $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$

第二组 · 算期望

练 5

设

X \sim U (0, 1)

，则

E (X) =

________。

练 6

设

X \sim U (0, 1)

，则

E (X^{2}) =

________。

练 7

设

X \sim B (5, 0.8)

，则

E (X) =

________。

练 8

要算

E (X^{2})

，正确的做法是（）。

A先求 $X^{2}$ 的分布，再按定义加权平均
B直接算 $\int x^{2} f (x) d x$
C先算 $E (X)$ 再平方
D无法计算

第三组 · 性质与常见分布

练 9

设

X \sim E (λ)

（指数分布），则

E (X) =

________。

练 10

设

Y = X

且

X \sim U (0, 1)

，则

E (X Y)

与

E (X) E (Y)

（）。

A必相等
B不等，因为两者不独立
C都不存在
D相等，因为 $X = Y$

练 11

设

X \sim P (λ)

（泊松分布），则

E (X) =

________。

练 12

把

X \sim B (n, p)

拆成

n

个

0

1

变量之和来求期望，这一步依据的是（）。

A各次试验相互独立
B期望的可乘性
C组合恒等式
D期望的线性性（不需要独立）

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

数学期望

先打基础

1. 数学期望：以概率为权重的加权平均

2. 函数的期望：不必先求它的分布

3. 线性永远成立，可乘要独立

4. 常见分布的期望：记住这张表

常用结构

按定义算期望

算 E[g(X)] 与 E[g(X,Y)]

用线性性拆开算

基础易错

算 E[g(X)] 时先去求 g(X) 的分布

把 E(XY) 拆成 E(X)E(Y) 而不验独立

以为 E[g(X)]=g(E(X))

不检查期望是否存在

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

算 $E [g (X)]$ 与 $E [g (X, Y)]$

算 $E [g (X)]$ 时先去求 $g (X)$ 的分布

把 $E (X Y)$ 拆成 $E (X) E (Y)$ 而不验独立

以为 $E [g (X)] = g (E (X))$