方差

概率论与数理统计 · 随机变量的数字特征

这一条要先会：数学期望

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 方差：偏离重心有多远

期望给出重心，方差衡量围着重心散得有多开：

D (X) = E [(X - E (X))^{2}] .

开方得到标准差

σ (X) = D (X)

，它和

X

同量纲，所以更好解释。

为什么取平方而不取绝对值？两个理由：平方处处可导、好算；
而且平方把「偏得远」放大，更能反映风险。

两条基本性质：

D (X) \geq 0;

D (X) = 0

当且仅当

X

几乎必然等于一个常数（根本不随机）。

2. 计算公式： $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$

按定义算方差要先求出

E (X)

，再算

(X - E (X))^{2}

的期望，两趟。
实际做题几乎都用这条：

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} .

好处是只需要两个数：二阶原点矩

E (X^{2})

与期望

E (X)

，
而两者都能用上一节那条「不必先求分布」直接积出来。

由它还能立刻读出一条常用的不等式：

E (X^{2}) \geq [E (X)]^{2},

因为左减右等于方差，而方差非负。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

上面那条证明的手法是：把方差定义式里的平方展开，再用期望的线性性逐项拆开，
其中期望值是常数、可以提到期望外面。设

a, b

是常数，证明

D (a X + b) = a^{2} D (X) .

照着刚才那条证明的样子，自己写一遍，并说明

b

为什么会消失。

3. 性质：平移不变，伸缩平方，独立可加

三条常用性质：

① 常数：

D (c) = 0

。

② 线性变换：

D (a X + b) = a^{2} D (X)

——

b

不起作用，

a

要平方。

③ 和与差：

D (X \pm Y) = D (X) + D (Y) \pm 2 Cov (X, Y) .

X, Y

独立时协方差为零，于是

D (X \pm Y) = D (X) + D (Y) .

注意减法那里也是「加」：

D (X - Y) = D (X) + D (Y)

。
两个独立的随机量相减，不确定性只会更大，不会抵消——这是本节最反直觉的一条。

4. 常见分布的方差：记住这张表

0 - 1 分布 B (n, p) P (λ) U (a, b) E (λ) N (μ, σ^{2}) p (1 - p) n p (1 - p) λ \frac{( b - a ) ^{2}}{12} \frac{1}{λ ^{2}} σ^{2}

几条值得留意：

泊松分布的期望与方差相等（都是

λ

），这是它的标志；

正态分布的参数直接就是期望与方差，所以

N (10, 4)

的标准差是

2

不是

4

；

二项分布的 $n p (1 - p)$ 在 $p = \frac{1}{2}$ 时最大——结果最不确定的时候，正是五五开。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

算方差：先两个期望

第一步：算

E (X)

。

第二步：算

E (X^{2})

——把

x^{2}

直接乘进定义式，不必先求

X^{2}

的分布。

第三步：代

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

。

第四步：验算——方差必须非负；要标准差就再开方。

例例. 接前面那个

X

（取

1, 2, 3

，概率

0.3, 0.5, 0.2

），求

D (X)

与标准差。

第一步，

E (X) = 1.9

（已算）。

第二步，

E (X^{2}) = 4.1

——把

x^{2}

直接乘进定义式，没求

X^{2}

的分布。

第三步，

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = 4.1 - 3.61 = 0.49.

第四步，非负 ✓ 标准差

0.49 = 0.7

。

用定义式

\sum (x_{k} - μ)^{2} p_{k}

算也得

0.49

✓ 但要算三个平方差，比这条路慢。

带系数与常数的方差

第一步：把常数项直接丢掉（

D (X + b) = D (X)

）。

第二步：系数提出来要平方：

D (a X) = a^{2} D (X)

。

第三步：和与差都按

D (X) + D (Y) \pm 2 Cov

展开。

第四步：独立时协方差为零，和差一律相加。

例例. 设

D (X) = 4

、

D (Y) = 9

，求

D (2 X + 3)

，以及

D (X - Y)

在两种情形下的值。

第一步，常数项直接丢掉：

D (2 X + 3) = D (2 X)

。

第二步，系数提出来要平方：

D (2 X) = 2^{2} \times 4 = 16

。

（和期望不同：

E (2 X + 3) = 2 E (X) + 3

，常数不丢、系数不平方。）

第三步，和与差都按

D (X \pm Y) = D (X) + D (Y) \pm 2 Cov (X, Y)

展开。若

Cov = - 2

：

D (X - Y) = 4 + 9 - 2 \times (- 2) = 17

。

第四步，独立时协方差为零，和差一律相加：

D (X - Y) = 4 + 9 = 13

。

差也是加——这条最反直觉，记住系数

- 1

平方之后是

+ 1

就不会错。

查表法

第一步：认出这是哪个常见分布，读出参数。

第二步：直接查期望与方差的表。

第三步：

N (μ, σ^{2})

的第二个参数就是方差，开方才是标准差。

第四步：题目若给的是期望与方差反求参数，就把表倒过来用。

例例.

X \sim B (10, 0.3)

、

Y \sim N (2, 9)

、

Z \sim E (λ)

且

E (Z) = 5

。求各自的期望与方差。

第一步，认分布读参数：二项

n = 10, p = 0.3

；正态

μ = 2

、第二个参数

9

；指数的

λ

待定。

第二步，查表：

E (X) = n p = 3

，

D (X) = n p (1 - p) = 2.1

。

第三步，

N (μ, σ^{2})

的第二个参数就是方差：

E (Y) = 2

、

D (Y) = 9

，标准差

3

（开方才是）。

第四步，把表倒过来用：

E (Z) = \frac{1}{λ} = 5

给

λ = 0.2

，于是

D (Z) = \frac{1}{λ ^{2}} = 25

。

题目给期望方差、反求参数的，全部是这一步。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

$D (a X + b)$ 里系数忘了平方或把 $b$ 算进去

正确的是

a^{2} D (X)

：系数平方，常数项毫无影响。

常见错：写成

a D (X)

，或者加上一个

b

。

记法：平移不改变散开程度；伸缩

a

倍时方差变

a^{2}

倍、标准差变

∣ a ∣

倍。

$D (X - Y)$ 写成 $D (X) - D (Y)$

独立时是

D (X) + D (Y)

——减法也是加。

若真能相减，方差还可能算出负数，一眼就知道不对。

直观理由：两份独立的抖动不会互相抵消，只会叠加。

把 $N (μ, σ^{2})$ 的第二个参数当成标准差

N (10, 4)

的方差是

4

、标准差是

2

。

标准化时除的是标准差，所以这个混淆会让正态计算全错。

读题时先把 $σ$ 算出来写在旁边。

用 $E (X^{2}) = [E (X)]^{2}$

两者之差正是方差，一般不为零。

事实上恒有

E (X^{2}) \geq [E (X)]^{2}

，等号只在

X

几乎必然为常数时成立。

这个错会直接把方差算成 $0$ ，是本节最致命的一个。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

方差的定义：

D (X) = E [(

________

)^{2}]

。

练 2

方差的计算公式：

D (X) = E (X^{2}) -

________。

练 3

D (c)

（

c

为常数）等于（）。

A $0$
B $c$
C $c^{2}$
D $1$

练 4

D (a X + b) =

（）。

A $a D (X) + b$
B $a^{2} D (X)$
C $a D (X)$
D $a^{2} D (X) + b^{2}$

第二组 · 算方差

练 5

设

X \sim U (0, 1)

，则

D (X) =

________。

练 6

设

X \sim B (100, 0.5)

，则

D (X) =

________。

练 7

设

X, Y

独立，

D (X) = 2

、

D (Y) = 3

，则

D (X - Y) =

________。

练 8

设

X \sim N (10, 4)

，则它的标准差是（）。

A $4$
B $10$
C $2$
D $16$

第三组 · 性质与综合

练 9

设

X, Y

独立，

D (X) = 2

、

D (Y) = 3

，则

D (2 X - 3 Y + 5) =

________。

练 10

对任意随机变量，

E (X^{2})

与

[E (X)]^{2}

的关系是（）。

A必相等
B $E (X^{2}) \leq [E (X)]^{2}$
C $E (X^{2}) \geq [E (X)]^{2}$
D没有确定的大小关系

练 11

设

X \sim P (λ)

，则

E (X)

与

D (X)

分别是 ________（用

λ

表示，写成一个值即可）。

练 12

二项分布

B (n, p)

的方差在

p

取何值时最大（）。

A $p = 0$
B $p = \frac{1}{2}$
C $p = 1$
D与 $p$ 无关

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

方差

先打基础

1. 方差：偏离重心有多远

2. 计算公式：D(X)=E(X2)−[E(X)]2

请你先证

3. 性质：平移不变，伸缩平方，独立可加

4. 常见分布的方差：记住这张表

常用结构

算方差：先两个期望

带系数与常数的方差

查表法

基础易错

D(aX+b) 里系数忘了平方或把 b 算进去

D(X−Y) 写成 D(X)−D(Y)

把 N(μ,σ2) 的第二个参数当成标准差

用 E(X2)=[E(X)]2

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 计算公式： $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$

$D (a X + b)$ 里系数忘了平方或把 $b$ 算进去

$D (X - Y)$ 写成 $D (X) - D (Y)$

把 $N (μ, σ^{2})$ 的第二个参数当成标准差

用 $E (X^{2}) = [E (X)]^{2}$