方差

§17.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.03 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

3.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）数学期望③ 掌握后可解锁协方差与相关系数矩与协方差矩阵切比雪夫不等式大数定律中心极限定理估计量的评价标准（无偏、有效、一致）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 方差的定义： $D (X) = E [(X - E X)^{2}]$ ，计算式 $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ ，以及 $D (a X + b) = a^{2} D (X)$ ★★ 必会

① 定义：

D (X) = E [(X - E (X))^{2}] \geq 0,

它是偏离期望的平方的平均值，用来度量取值围绕中心的分散程度：方差越大，取值越分散；方差越小，取值越集中。标准差

σ (X) = D (X)

，它与

X

有相同的量纲（方差的量纲则是

X

的量纲的平方）。

② 计算公式（实际计算多用此式）：

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} .

步骤是：先求

E (X)

，再求

E (X^{2})

（离散型为

\sum_{k} x_{k}^{2} p_{k}

，连续型为

\int x^{2} f (x) d x

，即在随机变量函数的期望公式中取

g (x) = x^{2}

），然后相减。它的反向形式

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2}

也很常用；凡遇到

E (X^{2})

，都可以用方差与期望的平方之和来代换。

③ 线性变换：

D (a X + b) σ (a X + b) = a^{2} D (X) = ∣ a ∣ σ (X)

平移

b

不改变分散程度（常数不影响方差），而乘以

a

时方差按平方放大；特别地有

D (- X) = D (X)

、

D (c) = 0

。注意这里是 $a^{2}$ 而不是 $a$ ，这是最常见的错误。

④ 和的方差：当

X, Y

相互独立（其实只需不相关）时，

D (X \pm Y) = D (X) + D (Y)

，无论相加还是相减，右端都取加号；一般情形还须加上协方差项

\pm 2 Cov (X, Y)

（

n

个变量的一般公式见本页关于多个变量之和的方差一条）。

常用分布的方差（必须记熟）：

0 - 1 (p) : p (1 - p)

；

B (n, p) : n p (1 - p)

；

P (λ) : λ

；

U (a, b) : \frac{( b - a ) ^{2}}{12}

；

E (λ) : \frac{1}{λ ^{2}}

；

N (μ, σ^{2}) : σ^{2}

。

证明 / 推导

计算公式的推导（记

μ = E (X)

，并用期望的线性性质）：

D (X) = E [(X - μ)^{2}] = E [X^{2} - 2 μ X + μ^{2}] = E (X^{2}) - 2 μ E (X) + μ^{2} = E (X^{2}) - μ^{2} .

$D (a X + b) = a^{2} D (X)$ ：由

E (a X + b) = a μ + b

，得

D (a X + b) = E [(a X + b - a μ - b)^{2}] = E [a^{2} (X - μ)^{2}] = a^{2} D (X),

常数

b

在减去期望时被消去，这就是平移不改变方差的原因。

■

举例说明

数三 2022 第 8 题（选择 5 分）：设

X \sim N (0, 4)

，

Y \sim B (3, \frac{1}{3})

，且

X

与

Y

不相关，则

D (X - 3 Y + 1) =

（　　）

(A)

2

.　(B)

4

.　(C)

6

.　(D)

10

.

解：用线性组合的方差的一般公式

D (a X + bY + c) = a^{2} D (X) + b^{2} D (Y) + 2 ab Cov (X, Y)

，其中常数项

+ 1

不影响方差。
-

X \sim N (0, 4)

：正态分布

N (μ, σ^{2})

的第二个参数就是方差，故

D (X) = 4

；
-

Y \sim B (3, \frac{1}{3})

：

D (Y) = n p (1 - p) = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

；
- 由不相关得

\Rightarrow Cov (X, Y) = 0

。
于是

D (X - 3 Y + 1) = D (X) + (- 3)^{2} D (Y) + 0 = 4 + 9 \cdot \frac{2}{3} = 4 + 6 = 10,

应选 D。三处易错：(1) 系数

- 3

要平方成

9

（是

a^{2}

而不是

a

）；(2) 常数

+ 1

不改变方差；(3)

N (0, 4)

的方差是

4

，不是

2

。答案为

D (X - 3 Y + 1) = 10

。

2. 方差是用最好的常数作预测时的最小均方误差： $min_{c} E [(X - c)^{2}] = D (X)$ 在 $c = E (X)$ 处取得

方差还可以从另一个角度来看：设想用一个常数

c

去代表随机变量

X

，并用均方误差

E [(X - c)^{2}]

来衡量代表得好不好。那么取哪个

c

最好呢？答案是

c = E (X)

，而此时的最小误差恰好就是方差

D (X)

。这说明两点：(1) 期望是最好的常数预测，而方差就是这种预测所无法消除的误差；(2) 使均方误差最小的这一想法，就是最小二乘法与回归分析的出发点。可见方差不仅是分散程度的度量，也是用常数作预测时所能达到的最高精度。

证明 / 推导

对任意常数

c

，插入

\pm E (X)

后展开（记

μ = E (X)

）：

E [(X - c)^{2}] = E [((X - μ) + (μ - c))^{2}] = E [(X - μ)^{2}] + 2 (μ - c) = 0 E [X - μ] + (μ - c)^{2} .

其中的交叉项因

E [X - μ] = 0

而为零，故

E [(X - c)^{2}] = D (X) + (E (X) - c)^{2} \geq D (X),

且等号成立当且仅当

c = E (X)

。于是

min_{c} E [(X - c)^{2}] = D (X)

，即最好的常数为

E (X)

。证毕。

3. 多个变量之和的方差：一般公式 $D (\sum X_{i}) = \sum_{i} \sum_{j} Cov (X_{i}, X_{j})$ 与相依的示性变量★★ 必会

把两个变量的

D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2 Cov (X, Y)

推广到

n

个变量，得

D (i = 1 \sum n X_{i}) = i = 1 \sum n D (X_{i}) + 2 1 \leq i < j \leq n \sum Cov (X_{i}, X_{j}) = i = 1 \sum n j = 1 \sum n Cov (X_{i}, X_{j}) .

如果各变量两两不相关，那么交叉项全部为零，方差便具有可加性。把计数型的变量拆成若干示性变量之和时，这些示性变量往往是相依的，其交叉的协方差绝不能遗漏。这就是方差比期望难算的原因：期望的线性性质与变量是否相依无关，方差却不然。

证明 / 推导

一般公式的推导. 记

μ_{i} = E (X_{i})

，

S = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

。由期望的线性性质得

E (S) = \sum_{i = 1}^{n} μ_{i}

，故

S - E (S) = i = 1 \sum n (X_{i} - μ_{i}) .

代入方差的定义，并把平方写成两个相同和式的乘积，得

D (S) = E [(S - E (S))^{2}] = E [(i = 1 \sum n (X_{i} - μ_{i})) (j = 1 \sum n (X_{j} - μ_{j}))] = E [i = 1 \sum n j = 1 \sum n (X_{i} - μ_{i}) (X_{j} - μ_{j})] .

和式只有有限项，再用一次期望的线性性质，把

E

移到求和号之内，得

D (S) = i = 1 \sum n j = 1 \sum n E [(X_{i} - μ_{i}) (X_{j} - μ_{j})] = i = 1 \sum n j = 1 \sum n Cov (X_{i}, X_{j}) .

下面把这个双重和分成两部分。当

i = j

时

Cov (X_{i}, X_{i}) = E [(X_{i} - μ_{i})^{2}] = D (X_{i})

，这样的项共

n

个。当

i \neq = j

时，由协方差的对称性

Cov (X_{i}, X_{j}) = Cov (X_{j}, X_{i})

，故

(i, j)

与

(j, i)

两项相等，可以合并为

2 Cov (X_{i}, X_{j})

，其中

i < j

。于是

D (i = 1 \sum n X_{i}) = i = 1 \sum n D (X_{i}) + 2 1 \leq i < j \leq n \sum Cov (X_{i}, X_{j}) .

这就证明了所述的一般公式。

由推导还可看出结论成立的条件。交叉项全部为零只需要各变量两两不相关，并不需要相互独立。独立可以推出不相关，反过来不成立。所以在使用方差的可加性时，应当核对的是两两不相关这一条。证毕。

举例说明

配对问题的方差. 设

n

人各写一张字条，再随机抽回，抽中自己的人数为

X = \sum_{k = 1}^{n} I_{k}

，已知

E (X) = 1

。各示性变量

I_{k}

服从

0

1

分布，且

P (I_{k} = 1) = \frac{1}{n}

，故

D (I_{k}) = \frac{1}{n} (1 - \frac{1}{n})

。对

i \neq = j

，有

P (I_{i} Cov (I_{i}, I_{j}) = 1, I_{j} = 1) = \frac{( n - 2 )!}{n !} = \frac{1}{n ( n - 1 )} = \frac{1}{n ( n - 1 )} - \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n ^{2} ( n - 1 )} .

代入一般公式，得

D (X) = k \sum D (I_{k}) + 2 i < j \sum Cov (I_{i}, I_{j}) = n \cdot \frac{n - 1}{n ^{2}} + 2 (2 n) \cdot \frac{1}{n ^{2} ( n - 1 )} = \frac{n - 1}{n} + \frac{1}{n} = 1.

故 $D (X) = 1$ （它与

E (X) = 1

相等；当

n \to \infty

时

X

趋于

P (1)

）。若误认为各

I_{k}

相互独立而漏掉协方差项，结果就会出错。这是相依示性变量的典型例子。

4. $D (X) = 0$ 当且仅当 $X$ 以概率 $1$ 等于常数：方差为零意味着它不再随机★ 要懂

方差总是非负的，而

D (X) = 0

是一个很强的结论：它等价于

X

几乎必然等于一个常数（这个常数就是

E (X)

），也就是说

X

实际上并不随机。反过来，常数的方差当然是

0

。这一结论常用来由某个组合的方差为零反过来推出变量之间的确定关系，例如

D (X - aY - b) = 0 \Rightarrow X = aY + b

几乎处处成立，即二者完全线性相关；讨论

∣ ρ ∣ = 1

的情形就是以此为依据。

证明 / 推导

一方面，若

X \equiv μ

，即它是常数，则显然

D (X) = 0

。另一方面，设

D (X) = 0

，并记

μ = E (X)

。由切比雪夫不等式，对任意

ε > 0

有

P (∣ X - μ ∣ \geq ε) \leq \frac{D ( X )}{ε ^{2}} = 0,

故

P (∣ X - μ ∣ \geq ε) = 0

。取

ε = \frac{1}{n}

，并令

n \to \infty

，由概率的连续性得

P (∣ X - μ ∣ > 0) = P (n \geq 1 ⋃ {∣ X - μ ∣ \geq \frac{1}{n}}) \leq n \geq 1 \sum 0 = 0,

即

P (X = μ) = 1

。证毕。

5. 阶乘矩法：用 $E [X (X - 1)]$ 求离散型分布的方差（以泊松分布为例）

对离散型分布，直接计算

E (X^{2}) = \sum_{k} k^{2} p_{k}

时，常因含

k^{2}

的级数不易求和而难以进行。这时可以先求阶乘矩

E [X (X - 1)] = \sum_{k} k (k - 1) p_{k}

：因子

k (k - 1)

能与阶乘

k!

约去两项，级数往往立即可以求出；再由

E (X^{2}) = E [X (X - 1)] + E (X)

回到二阶原点矩，最后用

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

求出方差。二项分布、泊松分布与几何分布的方差都可以用此法简洁地推出。

证明 / 推导

以泊松分布

X \sim P (λ)

为例（

P (X = k) = \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{k !}

，

E (X) = λ

）。求阶乘矩，注意其中

k = 0, 1

两项为

0

，且

\frac{k ( k - 1 )}{k !} = \frac{1}{( k - 2 )!}

，得

E [X (X - 1)] = k = 2 \sum \infty k (k - 1) \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{k !} = λ^{2} e^{- λ} k = 2 \sum \infty \frac{λ ^{k - 2}}{( k - 2 )!} = λ^{2} e^{- λ} e^{λ} = λ^{2} .

于是

E (X^{2}) D (X) = E [X (X - 1)] + E (X) = λ^{2} + λ = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = λ^{2} + λ - λ^{2} = λ .

这就证明了泊松分布的方差等于

λ

，与它的期望相等，这是泊松分布的一个显著性质。

💡 小知识

用方差来度量风险，是 1952 年马科维茨投资组合理论的核心想法，他也因此获得诺贝尔经济学奖。不要把鸡蛋放在同一个篮子里这句老话，第一次被写成了数学式子

D (X_{1} + X_{2}) = D (X_{1}) + D (X_{2}) + 2 Cov

。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设离散型随机变量

X

的分布律为

X P - 1 \frac{1}{4} 0 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{4}

求

D (X)

。难度 1

用计算公式 $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ 。
先求两个期望：

E (X) = (- 1) \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} = 0,

E (X^{2}) = (- 1)^{2} \cdot \frac{1}{4} + 0^{2} \cdot \frac{1}{2} + 1^{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} .

于是

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} .

小结：方差的标准流程是「先求

E (X)

与

E (X^{2})

，再相减」，几乎不用直接按定义算离差平方。

例 2 设连续型随机变量

X

的概率密度为

f (x) = 2 x (0 < x < 1)

，其余为

0

。求

D (X)

。难度 1

仍用 $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ 。

E (X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2 x d x = \int_{0}^{1} 2 x^{2} d x = \frac{2}{3},

E (X^{2}) = \int_{0}^{1} x^{2} \cdot 2 x d x = \int_{0}^{1} 2 x^{3} d x = \frac{1}{2} .

代入：

D (X) = \frac{1}{2} - (\frac{2}{3})^{2} = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{9}{18} - \frac{8}{18} = \frac{1}{18} .

小结：连续型同样先求

E (X), E (X^{2})

，注意积分限取支撑

(0, 1)

。

例 3 设

X, Y

相互独立，且

D (X) = 2

，

D (Y) = 3

。求

D (2 X - Y + 1)

。难度 2

用方差的运算性质。 常数项

+ 1

不影响方差；对系数用

D (a X) = a^{2} D (X)

；独立（或不相关）时和差的方差可加：

D (2 X - Y + 1) = D (2 X - Y) = D (2 X) + D (- Y) = 2^{2} D (X) + (- 1)^{2} D (Y) .

代入数值：

D (2 X - Y + 1) = 4 \times 2 + 1 \times 3 = 8 + 3 = 11.

小结：系数要平方、常数项消失；

D (X - Y)

独立时也是相加（因

(- 1)^{2} = 1

），这是高频易错点。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X

服从正态分布

N (- 1, 1)

，

Y

服从正态分布

N (1, 2)

，若

X

与

X + 2 Y

不相关，则

X

与

X - Y

的相关系数为（　　）。

A $\frac{1}{3}$
B $\frac{1}{2}$
C $\frac{2}{3}$
D $\frac{3}{4}$

2025 年 · 数三 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设总体

X

的分布函数为

F (x)

，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本，样本的经验分布函数为

F_{n} (x)

，对于给定的

x (0 < F (x) < 1)

，

D [F_{n} (x)] =

（　　）。

A $F (x) [1 - F (x)]$
B $[F (x)]^{2}$
C $\frac{1}{n} F (x) [1 - F (x)]$
D $\frac{1}{n} [F (x)]^{2}$

2022 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X \sim N (0, 4)

，随机变量

Y \sim B (3, \frac{1}{3})

，且

X

与

Y

不相关，则

D (X - 3 Y + 1) =

（　　）

A $2$
B $4$
C $6$
D $10$

2017 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

设随机变量

X

的概率分布为

P {X = - 2} = \frac{1}{2}, P {X = 1} = a, P {X = 3} = b

，若

E (X) = 0

，则

D (X) =

______。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X

的分布律为

P (X = - 1) = P (X = 1) = \frac{1}{2}

，则

D (X) =

（　）。

A $0$
B $\frac{1}{2}$
C $1$
D $2$

练习 2 · 填空题

已知

D (X) = 4

，则

D (2 X + 3) =

____。

练习 3 · 选择题

设

X, Y

相互独立，

D (X) = 1

，

D (Y) = 2

，则

D (X - Y) =

（　）。

A $1$
B $3$
C $3$
D $- 1$

练习 4 · 填空题

设

X \sim U (0, 1)

（

[0, 1]

上的均匀分布），则

D (X) =

____。

练习 5 · 选择题

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

（

n \geq 2

）独立同分布，

D (X_{i}) = σ^{2} > 0

，记

\overline{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

，则

D (X_{1} - \overline{X}) =

（　）。

A $\frac{σ ^{2}}{n}$
B $\frac{( n - 1 ) σ ^{2}}{n}$
C $\frac{( n + 1 ) σ ^{2}}{n}$
D $(1 - \frac{1}{n ^{2}}) σ^{2}$

练习 6 · 填空题

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣} (- \infty < x < + \infty)

，则

D (X) =

____。

练习 7 · 解答题

设

X \sim N (0, σ^{2})

（

σ > 0

），记

Y = ∣ X ∣

。

(1) 求

E (Y)

与

D (Y)

；

(2) 求

Cov (X, Y)

与相关系数

ρ_{X Y}

；

(3) 判断

X

与

Y

是否相互独立，并说明理由。

2016 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X

与

Y

相互独立，且

X \sim N (1, 2), Y \sim N (1, 4)

，则

D (X Y) =

（　）

A $6$ .
B $8$ .
C $14$ .
D $15$ .

2011 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设总体

X

服从参数为

λ (λ > 0)

的泊松分布，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n \geq 2)

为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量

T_{1} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

和

T_{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n - 1 X_{i} + \frac{1}{n} X_{n}

，有（　　）

A $E (T_{1}) > E (T_{2}), D (T_{1}) > D (T_{2})$
B $E (T_{1}) > E (T_{2}), D (T_{1}) < D (T_{2})$
C $E (T_{1}) < E (T_{2}), D (T_{1}) > D (T_{2})$
D $E (T_{1}) < E (T_{2}), D (T_{1}) < D (T_{2})$

方差

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 方差的定义：D(X)=E[(X−EX)2]，计算式 D(X)=E(X2)−[E(X)]2，以及 D(aX+b)=a2D(X)★★ 必会

2. 方差是用最好的常数作预测时的最小均方误差：minc​E[(X−c)2]=D(X) 在 c=E(X) 处取得

3. 多个变量之和的方差：一般公式 D(∑Xi​)=∑i​∑j​Cov(Xi​,Xj​) 与相依的示性变量★★ 必会

4. D(X)=0 当且仅当 X 以概率 1 等于常数：方差为零意味着它不再随机★ 要懂

5. 阶乘矩法：用 E[X(X−1)] 求离散型分布的方差（以泊松分布为例）

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 方差的定义： $D (X) = E [(X - E X)^{2}]$ ，计算式 $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ ，以及 $D (a X + b) = a^{2} D (X)$ ★★ 必会

2. 方差是用最好的常数作预测时的最小均方误差： $min_{c} E [(X - c)^{2}] = D (X)$ 在 $c = E (X)$ 处取得

3. 多个变量之和的方差：一般公式 $D (\sum X_{i}) = \sum_{i} \sum_{j} Cov (X_{i}, X_{j})$ 与相依的示性变量★★ 必会

4. $D (X) = 0$ 当且仅当 $X$ 以概率 $1$ 等于常数：方差为零意味着它不再随机★ 要懂

5. 阶乘矩法：用 $E [X (X - 1)]$ 求离散型分布的方差（以泊松分布为例）