方差

§18.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.07 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

3.8 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）数学期望③ 掌握后可解锁协方差与相关系数矩与协方差矩阵切比雪夫不等式大数定律中心极限定理估计量的评价标准（无偏、有效、一致）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 方差的定义： $D (X) = E [(X - E X)^{2}]$ ，计算式 $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ ，以及 $D (a X + b) = a^{2} D (X)$ ★★ 必会

① 定义：

D (X) = E [(X - E (X))^{2}] \geq 0,

它是偏离期望的平方的平均值，用来度量取值围绕中心的分散程度：方差越大，取值越分散；方差越小，取值越集中。称

σ (X) = D (X)

为标准差，它与

X

同量纲（方差的量纲是

X

的量纲的平方）。

② 计算式（实际计算中大多使用这一式）：

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} .

计算步骤是：先求

E (X)

，再求

E (X^{2})

（离散型为

\sum_{k} x_{k}^{2} p_{k}

，连续型为

\int x^{2} f (x) d x

，即在 LOTUS 公式中取

g (x) = x^{2}

），最后相减。它的变形

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2}

同样常用；凡遇到

E (X^{2})

，都可以用方差与期望的平方来代换。

③ 线性变换：

D (a X + b) σ (a X + b) = a^{2} D (X) = ∣ a ∣ σ (X)

即平移

b

不改变分散程度（常数项对方差没有影响），倍乘

a

则使方差按平方放大。特别地，

D (- X) = D (X)

，

D (c) = 0

。必须注意，右端的系数是 $a^{2}$ 而不是 $a$ ，这里是最常见的失分之处。

④ 和的方差：如果

X, Y

相互独立（事实上只要不相关），那么

D (X \pm Y) = D (X) + D (Y)

，不论求和还是求差，右端都取加号；一般情形则须补上协方差项

\pm 2 Cov (X, Y)

（

n

个变量的一般公式见本页关于多个变量之和的方差一条）。

常用分布的方差（应当熟记）：

0 - 1 (p) : p (1 - p)

；

B (n, p) : n p (1 - p)

；

P (λ) : λ

；

U (a, b) : \frac{( b - a ) ^{2}}{12}

；

E (λ) : \frac{1}{λ ^{2}}

；

N (μ, σ^{2}) : σ^{2}

。

证明 / 推导

证先推导计算式。记

μ = E (X)

，由期望的线性性得

D (X) = E [(X - μ)^{2}] = E [X^{2} - 2 μ X + μ^{2}] = E (X^{2}) - 2 μ E (X) + μ^{2} = E (X^{2}) - μ^{2} .

下面证明 $D (a X + b) = a^{2} D (X)$ 。由

E (a X + b) = a μ + b

得

D (a X + b) = E [(a X + b - a μ - b)^{2}] = E [a^{2} (X - μ)^{2}] = a^{2} D (X),

其中常数

b

在减去期望时已相互抵消。由此可见，平移不改变方差。

■

举例说明

2026·数一第 8 题（选择 5 分）：设随机变量

X \sim N (1, 2)

，令

f (t) = E [(X + t)^{2}]

，则

f (t)

的最小值点和最小值分别为（　　）

(A)

1, 2

.　(B)

1, 4

.　(C)

- 1, 2

.　(D)

- 1, 4

.

解.

N (1, 2)

中的第二个参数是方差，因此

E (X) = 1, D (X) = 2

，由变形式得

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2} = 2 + 1 = 3

。根据期望的线性性展开，

f (t) = E (X^{2}) + 2 tE (X) + t^{2} = t^{2} + 2 t + 3 = (t + 1)^{2} + 2,

这是开口向上的二次函数，故最小值点为

t = - 1

，最小值为

2

，应选 C。
验证与推广：

f (t) = E [(X - (- t))^{2}]

就是用常数

- t

预测

X

时的均方误差。根据本页关于最好常数预测的一条，它应在

- t = E (X) = 1

（即

t = - 1

）处取最小值，且最小值等于

D (X) = 2

，两条途径所得结果一致。必须注意：如果把

N (1, 2)

误当作

σ = 2

，就会得到

E (X^{2}) = 5

与最小值

4

，从而误选 D。

2. 方差是最好的常数预测所留下的残差： $min_{c} E [(X - c)^{2}] = D (X)$ 在 $c = E (X)$ 取得

下面换一个角度来看方差。设想用一个常数

c

去代表随机变量

X

，代表得好不好，用均方误差

E [(X - c)^{2}]

来衡量。那么哪一个

c

最好？答案是

c = E (X)

，而此时的最小误差恰好等于方差

D (X)

。由此可见两件事：(1) 期望是最优的常数预测，而方差就是这种预测无法消除的残差；(2) 使均方误差达到最小，这一思想就是最小二乘法与回归分析的出发点。因此方差不仅刻画离散程度，还表示用常数作预测时所能达到的精度的极限。

证明 / 推导

证对任意常数

c

，插入

\pm E (X)

后展开（记

μ = E (X)

）：

E [(X - c)^{2}] = E [((X - μ) + (μ - c))^{2}] = E [(X - μ)^{2}] + 2 (μ - c) = 0 E [X - μ] + (μ - c)^{2} .

交叉项因

E [X - μ] = 0

而消失，因此

E [(X - c)^{2}] = D (X) + (E (X) - c)^{2} \geq D (X),

且当且仅当

c = E (X)

时取等号。于是

min_{c} E [(X - c)^{2}] = D (X)

，最优常数为

E (X)

。证毕。

3. 多个变量之和的方差：一般公式 $D (\sum X_{i}) = \sum_{i} \sum_{j} Cov (X_{i}, X_{j})$ 与相依示性变量★★ 必会

把两个变量的公式

D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2 Cov (X, Y)

推广到

n

个变量，得

D (i = 1 \sum n X_{i}) = i = 1 \sum n D (X_{i}) + 2 1 \leq i < j \leq n \sum Cov (X_{i}, X_{j}) = i = 1 \sum n j = 1 \sum n Cov (X_{i}, X_{j}) .

如果各变量两两不相关，那么交叉项全部为零，方差便可加。如果把计数型变量拆成若干示性变量之和，这些示性变量往往是相依的，交叉的协方差就不能遗漏。这正说明了方差为什么比期望难算：期望的线性性不受相依性影响，方差却不然。

证明 / 推导

证记

μ_{i} = E (X_{i})

，

S = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

。由期望的线性性质得

E (S) = \sum_{i = 1}^{n} μ_{i}

，因此

S - E (S) = i = 1 \sum n (X_{i} - μ_{i}) .

把它代入方差的定义，并把平方写成两个相同和式的乘积，得

D (S) = E [(S - E (S))^{2}] = E [(i = 1 \sum n (X_{i} - μ_{i})) (j = 1 \sum n (X_{j} - μ_{j}))] = E [i = 1 \sum n j = 1 \sum n (X_{i} - μ_{i}) (X_{j} - μ_{j})] .

和式只有有限项，再用一次期望的线性性质，把

E

移到求和号之内，得

D (S) = i = 1 \sum n j = 1 \sum n E [(X_{i} - μ_{i}) (X_{j} - μ_{j})] = i = 1 \sum n j = 1 \sum n Cov (X_{i}, X_{j}) .

下面把这个双重和分成两部分。当

i = j

时

Cov (X_{i}, X_{i}) = E [(X_{i} - μ_{i})^{2}] = D (X_{i})

，这样的项共

n

个。当

i \neq = j

时，由协方差的对称性

Cov (X_{i}, X_{j}) = Cov (X_{j}, X_{i})

，故

(i, j)

与

(j, i)

两项相等，可以合并为

2 Cov (X_{i}, X_{j})

，其中

i < j

。于是

D (i = 1 \sum n X_{i}) = i = 1 \sum n D (X_{i}) + 2 1 \leq i < j \leq n \sum Cov (X_{i}, X_{j}) .

这就证明了所述的一般公式。

由证明还可看出结论成立的条件。交叉项全部为零只需要各变量两两不相关，并不需要相互独立。独立可以推出不相关，反过来不成立。所以在使用方差可加时，应当核对的是两两不相关这一条。证毕。

举例说明

配对问题中的方差。 设

n

人各写一张字条并随机抽回，抽中自己的人数为

X = \sum_{k = 1}^{n} I_{k}

，已知

E (X) = 1

。每个示性变量

I_{k}

服从

0

1

分布，

P (I_{k} = 1) = \frac{1}{n}

，因此

D (I_{k}) = \frac{1}{n} (1 - \frac{1}{n})

。当

i \neq = j

时，

P (I_{i} Cov (I_{i}, I_{j}) = 1, I_{j} = 1) = \frac{( n - 2 )!}{n !} = \frac{1}{n ( n - 1 )} = \frac{1}{n ( n - 1 )} - \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n ^{2} ( n - 1 )} .

代入上面的一般公式，得

D (X) = k \sum D (I_{k}) + 2 i < j \sum Cov (I_{i}, I_{j}) = n \cdot \frac{n - 1}{n ^{2}} + 2 (2 n) \cdot \frac{1}{n ^{2} ( n - 1 )} = \frac{n - 1}{n} + \frac{1}{n} = 1.

因此 $D (X) = 1$ ，它与

E (X) = 1

相等；事实上当

n \to \infty

时

X

的分布趋于

P (1)

。如果误把各

I_{k}

当作相互独立而漏掉协方差，结果就会出错。本例是处理相依示性变量的典型。

4. $D (X) = 0$ 当且仅当 $X$ 以概率 $1$ 为常数：方差为零就意味着不再随机★ 要懂

方差总是非负的，而

D (X) = 0

却是一个很强的结论：它等价于

X

几乎必然等于一个常数（这个常数就是

E (X)

），也就是说

X

实际上已不再随机。反之，常数的方差自然为

0

。这一结论常用来由某个组合的方差为零反推变量之间的确定关系。例如，由

D (X - aY - b) = 0 \Rightarrow X = aY + b

几乎处处成立，即知两者完全线性相关；它也是讨论

∣ ρ ∣ = 1

时的基本依据。

证明 / 推导

证一方面，若

X \equiv μ

为常数，则显然

D (X) = 0

。另一方面，设

D (X) = 0

，并记

μ = E (X)

。由切比雪夫不等式，对任意

ε > 0

有

P (∣ X - μ ∣ \geq ε) \leq \frac{D ( X )}{ε ^{2}} = 0,

因此

P (∣ X - μ ∣ \geq ε) = 0

。取

ε = \frac{1}{n}

并令

n \to \infty

，由概率的连续性得

P (∣ X - μ ∣ > 0) = P (n \geq 1 ⋃ {∣ X - μ ∣ \geq \frac{1}{n}}) \leq n \geq 1 \sum 0 = 0,

即

P (X = μ) = 1

。证毕。

5. 阶乘矩法：用 $E [X (X - 1)]$ 巧求离散分布的方差（以泊松为例）★ 要懂

对离散型分布直接计算

E (X^{2}) = \sum_{k} k^{2} p_{k}

时，常因

k^{2}

的求和不易而受阻。一个有效的办法是先求阶乘矩

E [X (X - 1)] = \sum_{k} k (k - 1) p_{k}

：因子

k (k - 1)

能与阶乘

k!

约去两项，求和往往立即可得。再由

E (X^{2}) = E [X (X - 1)] + E (X)

回到二阶原点矩，最后用

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

求出方差。二项分布、泊松分布与几何分布的方差都可以这样简捷地推出。

证明 / 推导

证以泊松分布

X \sim P (λ)

为例，此时

P (X = k) = \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{k !}

，

E (X) = λ

。先求阶乘矩。注意

k = 0, 1

两项为

0

，且

\frac{k ( k - 1 )}{k !} = \frac{1}{( k - 2 )!}

，于是

E [X (X - 1)] = k = 2 \sum \infty k (k - 1) \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{k !} = λ^{2} e^{- λ} k = 2 \sum \infty \frac{λ ^{k - 2}}{( k - 2 )!} = λ^{2} e^{- λ} e^{λ} = λ^{2} .

从而

E (X^{2}) D (X) = E [X (X - 1)] + E (X) = λ^{2} + λ = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = λ^{2} + λ - λ^{2} = λ .

这就证明了泊松分布的方差等于

λ

，与它的期望相等。这是泊松分布的一个标志性性质。

💡 小知识

用方差来度量风险，是 1952 年马科维茨投资组合理论的核心思想，他也因此获得了诺贝尔经济学奖。不要把鸡蛋放进同一个篮子，这句老话第一次被写成了数学式子

D (X_{1} + X_{2}) = D (X_{1}) + D (X_{2}) + 2 Cov

。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设离散型随机变量

X

的分布律为

X P - 1 \frac{1}{4} 0 \frac{1}{2} 1 \frac{1}{4}

求

D (X)

。难度 1

用计算公式 $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ 。
先求两个期望：

E (X) = (- 1) \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} = 0,

E (X^{2}) = (- 1)^{2} \cdot \frac{1}{4} + 0^{2} \cdot \frac{1}{2} + 1^{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} .

于是

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} .

小结：方差的标准流程是「先求

E (X)

与

E (X^{2})

，再相减」，几乎不用直接按定义算离差平方。

例 2 设连续型随机变量

X

的概率密度为

f (x) = 2 x (0 < x < 1)

，其余为

0

。求

D (X)

。难度 1

仍用 $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ 。

E (X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2 x d x = \int_{0}^{1} 2 x^{2} d x = \frac{2}{3},

E (X^{2}) = \int_{0}^{1} x^{2} \cdot 2 x d x = \int_{0}^{1} 2 x^{3} d x = \frac{1}{2} .

代入：

D (X) = \frac{1}{2} - (\frac{2}{3})^{2} = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{9}{18} - \frac{8}{18} = \frac{1}{18} .

小结：连续型同样先求

E (X), E (X^{2})

，注意积分限取支撑

(0, 1)

。

例 3 设

X, Y

相互独立，且

D (X) = 2

，

D (Y) = 3

。求

D (2 X - Y + 1)

。难度 2

用方差的运算性质。 常数项

+ 1

不影响方差；对系数用

D (a X) = a^{2} D (X)

；独立（或不相关）时和差的方差可加：

D (2 X - Y + 1) = D (2 X - Y) = D (2 X) + D (- Y) = 2^{2} D (X) + (- 1)^{2} D (Y) .

代入数值：

D (2 X - Y + 1) = 4 \times 2 + 1 \times 3 = 8 + 3 = 11.

小结：系数要平方、常数项消失；

D (X - Y)

独立时也是相加（因

(- 1)^{2} = 1

），这是高频易错点。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X \sim N (1, 2)

，令

f (t) = E [(X + t)^{2}]

，则

f (t)

的最小值点和最小值分别为（　　）

A $1, 2$
B $1, 4$
C $- 1, 2$
D $- 1, 4$

2026 年 · 数一 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设连续型随机变量

X

的分布函数为

F (x)

，随机变量

Y

的分布函数为

F (a y + b)

，

X

的数学期望为

μ

、方差为

σ^{2}

（

σ > 0

）。若

Y

的期望和方差分别为

0

和

1

，则（　　）

A $a = σ, b = μ$
B $a = σ, b = - μ$
C $a = \frac{1}{σ}, b = μ$
D $a = \frac{1}{σ}, b = - μ$

2025 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设二维随机变量

(X, Y)

服从正态分布

N (0, 0; 1, 1; ρ)

，其中

ρ \in (- 1, 1)

。若

a, b

为满足

a^{2} + b^{2} = 1

的任意实数，则

D (a X + bY)

的最大值为（　　）

A $1$ .
B $2$ .
C $1 + ∣ ρ ∣$ .
D $1 + ρ^{2}$ .

2022 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X \sim U (0, 3)

，随机变量

Y

服从参数为

2

的泊松分布，且

X

与

Y

的协方差为

- 1

，则

D (2 X - Y + 1) =

（　　）

A $1$ .
B $5$ .
C $9$ .
D $12$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X

的分布律为

P (X = - 1) = P (X = 1) = \frac{1}{2}

，则

D (X) =

（　）。

A $0$
B $\frac{1}{2}$
C $1$
D $2$

练习 2 · 填空题

已知

D (X) = 4

，则

D (2 X + 3) =

____。

练习 3 · 选择题

设

X, Y

相互独立，

D (X) = 1

，

D (Y) = 2

，则

D (X - Y) =

（　）。

A $1$
B $3$
C $3$
D $- 1$

练习 4 · 填空题

设

X \sim U (0, 1)

（

[0, 1]

上的均匀分布），则

D (X) =

____。

练习 5 · 选择题

设随机变量

X

满足

E (X) = 2

，

D (X) = 3

，则

E [(X - 1) (X - 3)] =

（　）。

A $- 1$
B $2$
C $3$
D $7$

练习 6 · 填空题

设

X \sim U (0, 2 π)

，令

Y = sin X

，则

D (Y) =

____。

练习 7 · 解答题

设连续型随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {a + b x, 0, 0 < x < 1, 其他,

且

E (X) = \frac{7}{12}

。
（1）求常数

a, b

；
（2）求

D (X)

；
（3）求

D (3 X + 2)

；
（4）设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{5}

是取自该分布的简单随机样本，

\overset{ˉ}{X}

为样本均值，求

D (\overset{ˉ}{X})

。

2014 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设连续型随机变量

X_{1}

与

X_{2}

相互独立且方差均存在，

X_{1}

与

X_{2}

的概率密度分别为

f_{1} (x)

与

f_{2} (x)

，随机变量

Y_{1}

的概率密度为

f_{Y_{1}} (y) = \frac{1}{2} [f_{1} (y) + f_{2} (y)]

，随机变量

Y_{2} = \frac{1}{2} (X_{1} + X_{2})

，则（　　）

A $E (Y_{1}) > E (Y_{2}), D (Y_{1}) > D (Y_{2})$
B $E (Y_{1}) = E (Y_{2}), D (Y_{1}) = D (Y_{2})$
C $E (Y_{1}) = E (Y_{2}), D (Y_{1}) < D (Y_{2})$
D $E (Y_{1}) = E (Y_{2}), D (Y_{1}) > D (Y_{2})$

2010 年 · 数一 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

设随机变量

X

的概率分布为

P {X = k} = \frac{C}{k !}

，

k = 0, 1, 2, \dots

，则

E (X^{2}) =

______.

方差

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 方差的定义：D(X)=E[(X−EX)2]，计算式 D(X)=E(X2)−[E(X)]2，以及 D(aX+b)=a2D(X)★★ 必会

2. 方差是最好的常数预测所留下的残差：minc​E[(X−c)2]=D(X) 在 c=E(X) 取得

3. 多个变量之和的方差：一般公式 D(∑Xi​)=∑i​∑j​Cov(Xi​,Xj​) 与相依示性变量★★ 必会

4. D(X)=0 当且仅当 X 以概率 1 为常数：方差为零就意味着不再随机★ 要懂

5. 阶乘矩法：用 E[X(X−1)] 巧求离散分布的方差（以泊松为例）★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 方差的定义： $D (X) = E [(X - E X)^{2}]$ ，计算式 $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ ，以及 $D (a X + b) = a^{2} D (X)$ ★★ 必会

2. 方差是最好的常数预测所留下的残差： $min_{c} E [(X - c)^{2}] = D (X)$ 在 $c = E (X)$ 取得

3. 多个变量之和的方差：一般公式 $D (\sum X_{i}) = \sum_{i} \sum_{j} Cov (X_{i}, X_{j})$ 与相依示性变量★★ 必会

4. $D (X) = 0$ 当且仅当 $X$ 以概率 $1$ 为常数：方差为零就意味着不再随机★ 要懂

5. 阶乘矩法：用 $E [X (X - 1)]$ 巧求离散分布的方差（以泊松为例）★ 要懂