切比雪夫不等式

§19.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.32 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

0.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）数学期望方差③ 掌握后可解锁大数定律

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 马尔可夫不等式与切比雪夫不等式：后者是前者用到二阶矩时的特例★★ 必会

切比雪夫不等式常被当作一条孤立的公式来记，其实它来自一个更基本的结论，即马尔可夫不等式：如果

Y \geq 0

，那么对任意

a > 0

有

P {Y \geq a} \leq \frac{E ( Y )}{a}

。在其中取非负随机变量

Y = (X - μ)^{2}

，取阈值

a = ε^{2}

，并注意

{∣ X - μ ∣ \geq ε} = {(X - μ)^{2} \geq ε^{2}}

以及

E [(X - μ)^{2}] = σ^{2}

，立即得到切比雪夫不等式。可见切比雪夫不等式只是马尔可夫不等式用到二阶矩时的一个特例。

认清这一层关系，就便于作进一步的推广：对任意

k > 0

有

P {∣ X - μ ∣ \geq ε} = P {∣ X - μ ∣^{k} \geq ε^{k}} \leq \frac{E ∣ X - μ ∣ ^{k}}{ε ^{k}}

。

k

越大，若相应的高阶矩越小，则尾部随

ε

衰减得越快。沿着这条思路，把幂次的矩换成指数矩

E (e^{tX})

，便得到更精细的切尔诺夫（Chernoff）界。因此切比雪夫不等式（

k = 2

）不过是这一族不等式中最简单的一个。

证明 / 推导

证 先证马尔可夫不等式（连续型）。 设

Y \geq 0

的密度为

f (y)

（在

y < 0

处为

0

），且

a > 0

。则

E (Y) = \int_{0}^{+ \infty} y f (y) d y \geq \int_{a}^{+ \infty} y f (y) d y \geq \int_{a}^{+ \infty} a f (y) d y = a P {Y \geq a},

其中第一个不等号舍去了

[0, a)

上的非负部分，第二个不等号用到在积分区域上

y \geq a

。两边除以

a

，即得

P {Y \geq a} \leq \frac{E ( Y )}{a}

。

再由它导出切比雪夫不等式。 取

Y = (X - μ)^{2} \geq 0

，

a = ε^{2} > 0

：

P {∣ X - μ ∣ \geq ε} = P {(X - μ)^{2} \geq ε^{2}} \leq \frac{E [( X - μ ) ^{2} ]}{ε ^{2}} = \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}} . ■

2. $1/ k^{2}$ 这个界是紧的：存在分布使它恰好取等号

在正态分布下

P {∣ X - μ ∣ \geq 2 σ} \approx 0.045

，而切比雪夫不等式只给出

0.25

，因此常有人认为这个不等式过于粗糙。但应当追问一句：这个 $1/ k^{2}$ 能否再改小，而仍对一切分布成立？ 答案是不能，因为存在具体的分布使等号成立。所以在只知道期望与方差的条件下，

1/ k^{2}

已经是不可改进的最优界。

原因在于：切比雪夫不等式要对一切方差为

σ^{2}

的分布都成立，就必须照顾到最极端的那一个，即把概率尽量集中在

\pm ε

两点处的分布。对正态分布它显得松，只是因为正态分布并不极端；一旦换成下面的三点分布，这个界就恰好被取到。由此可见，它虽然粗糙却不可替代，两者并不矛盾。

证明 / 推导

证 构造使等号成立的分布。 固定

ε \geq σ > 0

，令

X

是只取三个值的离散型随机变量：

P {X = - ε} = P {X = ε} = p, P {X = 0} = 1 - 2 p 其中 p = \frac{σ ^{2}}{2 ε ^{2}} .

因

ε \geq σ

，故

p \leq \frac{1}{2}

，这样规定的概率是合理的。于是

E (X) = (- ε) p + 0 \cdot (1 - 2 p) + ε p = 0 = μ,

D (X) = E (X^{2}) = ε^{2} p + 0 + ε^{2} p = 2 p ε^{2} = 2 \cdot \frac{σ ^{2}}{2 ε ^{2}} \cdot ε^{2} = σ^{2} .

可见它的期望与方差恰为

μ = 0, σ^{2}

。而

P {∣ X - μ ∣ \geq ε} = P {X = - ε} + P {X = ε} = 2 p = \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}},

恰好等于切比雪夫不等式给出的上界。这就说明，在只知道

μ, σ^{2}

的前提下，这个界不能再降低。

■

3. 一个重要推论：方差为零等价于随机变量几乎必然取常数值

由切比雪夫不等式可以得到一个叙述简单而十分重要的推论：如果 $D (X) = 0$ ，那么 $X$ 以概率 $1$ 等于它的期望 $μ$ ，即

P {X = μ} = 1

。直观上说，方差是偏离期望的平方的平均值，方差为零就意味着几乎不可能偏离；切比雪夫不等式把这一直观化成了严格的命题。

这一推论在许多理论推导中起着基础的作用：例如说明方差趋于

0

的估计量最终收敛到真值，或者论证退化分布的性质，用到的都是它。反之，常数的方差显然为

0

，因此

D (X) = 0 ⟺ X

几乎必然为常数。

证明 / 推导

证下面证明

D (X) = 0 \Rightarrow P {X = μ} = 1

。对任意正整数

k

，由切比雪夫不等式（取

ε = \frac{1}{k}

）得

P {∣ X - μ ∣ \geq \frac{1}{k}} \leq \frac{D ( X )}{( 1/ k ) ^{2}} = k^{2} \cdot 0 = 0,

因此

P {∣ X - μ ∣ \geq \frac{1}{k}} = 0

对每个

k

都成立。注意事件列

A_{k} = {∣ X - μ ∣ \geq \frac{1}{k}}

随

k

的增大而递增，且

⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k} = {∣ X - μ ∣ > 0} = {X \neq = μ}

。由概率的连续性得

P {X \neq = μ} = P (k = 1 ⋃ \infty A_{k}) = k \to \infty lim P (A_{k}) = 0,

所以

P {X = μ} = 1

。

■

4. 分布未知时的估计：用切比雪夫不等式界定概率，再与精确值比较★ 要懂

切比雪夫不等式最常用的场合，是对分布一无所知而只知道期望与方差时，给出一个可靠的概率估计。使用时可取两个等价形式之一：估计尾部用上界

P {∣ X - μ ∣ \geq ε} \leq \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}}

，估计中心部分用下界

P {∣ X - μ ∣ < ε} \geq 1 - \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}}

。所得到的始终是界而不是精确值；缺少分布的信息，代价就是只能给出范围。下面的例题把切比雪夫界与精确概率并列算出，以便比较二者的差距，并说明它为什么仍然有用。

举例说明

例。设随机变量

X

满足

E (X) = 10

，

D (X) = 0.1

。
（1）仅根据这两个数字，估计

P {∣ X - 10∣ \geq 0.5}

；
（2）若进一步已知

X \sim N (10, 0.1)

，求该概率的精确值，并与（1）比较。（已知

Φ (1.58) = 0.9429

。）

解.（1）由切比雪夫不等式（其中

μ = 10, ε = 0.5

）得

P {∣ X - 10∣ \geq 0.5} \leq \frac{D ( X )}{0. 5 ^{2}} = \frac{0.1}{0.25} = 0.4.

（2）当

X \sim N (10, 0.1)

时

σ = 0.1 \approx 0.316

，作标准化

Z = \frac{X - 10}{0.316} \sim N (0, 1)

，则

P {∣ X - 10∣ \geq 0.5} = P {∣ Z ∣ \geq \frac{0.5}{0.316}} = P {∣ Z ∣ \geq 1.58} = 2 (1 - Φ (1.58)) = 2 (1 - 0.9429) = 0.1142.

比较：切比雪夫不等式给出的上界

0.4

约为精确值

0.114

的

3.5

倍，确实相当粗糙。但在（1）中完全没有用到总体服从正态分布这一信息，仅凭期望与方差就把概率限定在一定的范围内。因此，当分布未知时，

0.4

就是所能给出的唯一保证。

■

💡 小知识

切比雪夫不等式以俄国数学家帕夫努季·切比雪夫命名，他借助这个不等式第一次严格证明了大数定律。这个估计相当粗糙，给出的界往往比真实概率大出许多，却因为对一切分布都成立而无可替代。在对分布一无所知的时候，概率论能给出的保底承诺就是它。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设随机变量

X

的期望

E (X) = 10

、方差

D (X) = 4

。试用切比雪夫不等式估计概率

P {∣ X - 10∣ < 6}

的下界。难度 1

切比雪夫不等式的下界形式为

P {∣ X - μ ∣ < ε} \geq 1 - \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}}

。

这里

μ = E (X) = 10

，

σ^{2} = D (X) = 4

，偏差

ε = 6

。代入：

P {∣ X - 10∣ < 6} \geq 1 - \frac{4}{6 ^{2}} = 1 - \frac{4}{36} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} .

所以

P {∣ X - 10∣ < 6} \geq \frac{8}{9} \approx 0.889

。注意这只是一个「保底」下界，真实概率通常更大。

例 2 某型号元件的寿命

X

（单位：小时）的期望

E (X) = 1000

、方差

D (X) = 2500

。试用切比雪夫不等式估计

P {900 < X < 1100}

的下界。难度 1

先把区间写成「以期望为中心」的形式：区间

(900, 1100)

关于

μ = E (X) = 1000

对称，半径为

ε = 100

，即

{900 < X < 1100} = {∣ X - 1000∣ < 100} .

由切比雪夫不等式下界形式（

σ^{2} = D (X) = 2500

，

ε = 100

）：

P {∣ X - 1000∣ < 100} \geq 1 - \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}} = 1 - \frac{2500}{10 0 ^{2}} = 1 - \frac{2500}{10000} = 1 - 0.25 = 0.75.

故

P {900 < X < 1100} \geq 0.75

。

例 3 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

相互独立且同分布，期望

E (X_{i}) = μ

、方差

D (X_{i}) = 4

，记样本均值

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

。问

n

至少取多大，才能用切比雪夫不等式保证

P {∣ \overset{ˉ}{X} - μ ∣ < 0.5} \geq 0.95

？难度 2

第一步，求

\overset{ˉ}{X}

的期望与方差：

E (\overset{ˉ}{X}) = μ, D (\overset{ˉ}{X}) = \frac{D ( X _{i} )}{n} = \frac{4}{n} .

第二步，对

\overset{ˉ}{X}

用切比雪夫不等式（

ε = 0.5

）：

P {∣ \overset{ˉ}{X} - μ ∣ \geq 0.5} \leq \frac{D ( X ˉ )}{0. 5 ^{2}} = \frac{4/ n}{0.25} = \frac{16}{n} .

第三步，要求

P {∣ \overset{ˉ}{X} - μ ∣ < 0.5} \geq 0.95

，等价于对立事件

P {∣ \overset{ˉ}{X} - μ ∣ \geq 0.5} \leq 0.05

。只需让上界满足

\frac{16}{n} \leq 0.05 ⟹ n \geq \frac{16}{0.05} = 320.

故

n

至少取

320

。

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2022 年 · 数一 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

独立同分布，且

X_{1}

的

4

阶矩存在。记

μ_{k} = E (X_{1}^{k}) (k = 1, 2, 3, 4),

则由切比雪夫不等式，对任意

ε > 0

，有

P {\frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2} - μ_{2} \geq ε} \leq

（　　）

A $\frac{μ _{4} - μ _{2}^{2}}{n ε ^{2}}$ .
B $\frac{μ _{4} - μ _{2}^{2}}{n ε ^{2}}$ .
C $\frac{μ _{2} - μ _{1}^{2}}{n ε ^{2}}$ .
D $\frac{μ _{2} - μ _{1}^{2}}{n ε ^{2}}$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设随机变量

X

的方差

σ^{2} = D (X)

存在，

μ = E (X)

。由切比雪夫不等式，

P {∣ X - μ ∣ \geq 3 σ}

的一个上界是（　）。

A $\frac{1}{3}$
B $\frac{1}{9}$
C $\frac{1}{6}$
D $\frac{8}{9}$

练习 2 · 填空题

设随机变量

X

满足

E (X) = 5

，

D (X) = 1

。由切比雪夫不等式，

P {∣ X - 5∣ < 5} \geq

____。

练习 3 · 选择题

关于切比雪夫不等式

P {∣ X - E (X) ∣ \geq ε} \leq \frac{D ( X )}{ε ^{2}}

，下列说法正确的是（　）。

A只有当 $X$ 服从正态分布时才成立
B只要 $X$ 的方差存在，对任意分布都成立
C它给出的是 $P {∣ X - E (X) ∣ \geq ε}$ 的精确值
D方差越大， $X$ 越集中在期望附近

练习 4 · 填空题

设

X_{1}, \dots, X_{n}

独立同分布，

E (X_{i}) = μ

，

D (X_{i}) = 2

，

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

。要用切比雪夫不等式保证

P {∣ \overset{ˉ}{X} - μ ∣ < 0.1} \geq 0.98

，则

n

至少取 ____。

练习 5 · 填空题

设

X \sim B (100, 0.5)

，则

E (X) = 50

，

D (X) = 25

。由切比雪夫不等式，

P {∣ X - 50∣ < 10} \geq

____。

2001 年 · 数一 · 第 5 题 · 填空题 · 3 分

设随机变量

X

的方差为

2

，则根据切比雪夫（Chebyshev）不等式有估计

P {∣ X - E (X) ∣ \geq 2} \leq

___.

切比雪夫不等式

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 马尔可夫不等式与切比雪夫不等式：后者是前者用到二阶矩时的特例★★ 必会

2. 1/k2 这个界是紧的：存在分布使它恰好取等号

3. 一个重要推论：方差为零等价于随机变量几乎必然取常数值

4. 分布未知时的估计：用切比雪夫不等式界定概率，再与精确值比较★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

2. $1/ k^{2}$ 这个界是紧的：存在分布使它恰好取等号