切比雪夫不等式

概率论与数理统计 · 大数定律与中心极限定理

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 不等式本身：方差管住了偏离的概率

设

E (X) = μ

、

D (X) = σ^{2}

。对任意

ε > 0

，

P {∣ X - μ ∣ \geq ε} \leq \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}} .

取对立事件就是下界形式：

P {∣ X - μ ∣ < ε} \geq 1 - \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}} .

两种写法考哪个都可能，题面问「至少」「不小于」用下界，问「至多」用上界。

读法：方差越小，取值挤在期望附近的概率越大——这正是
「方差刻画离散程度」那句话的定量版本。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

在要估的那块区域上积分，把被积函数替换成一个更小的常数，再把剩下的积分认成概率设

X \geq 0

，

E (X)

存在。证明马尔可夫不等式：对任意

a > 0

，

P {X \geq a} \leq \frac{E ( X )}{a} .

照着刚才那条证明的样子，自己写一遍。

2. 它的本事和它的代价

切比雪夫不等式的特别之处只有一条：对一切分布都成立，
只要期望与方差存在，分布长什么样都不必知道。

代价是松。举个例子：

X \sim N (μ, σ^{2})

时取

ε = 2 σ

，

切比雪夫 正态真值 0.25 0.0455

差了五倍多。

所以它的用处不在算准，而在两个地方：
一是题目只给期望和方差、不给分布时；二是证明依概率收敛
（下一条的大数定律就是这么证的）。

3. 对样本均值用：方差被 $n$ 压下去

设

X_{1}, \dots, X_{n}

相互独立、同期望

μ

同方差

σ^{2}

，记

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i} .

由期望的线性性与方差的可加性（独立），

E (\overset{ˉ}{X}) = μ, D (\overset{ˉ}{X}) = \frac{σ ^{2}}{n} .

对

\overset{ˉ}{X}

用切比雪夫：

P {∣ \overset{ˉ}{X} - μ ∣ \geq ε} \leq \frac{σ ^{2}}{n ε ^{2}} .

关键在右边有个 $n$ ：样本越多，样本均值偏离

μ

的概率越小。
下一条的大数定律就是让

n \to \infty

。

4. 怎么答这类题

切比雪夫的题面有很固定的长相：只给期望和方差，不给分布，问某个概率的界。

认出来之后按三步走：

① 对准中心：把事件写成

∣ X - μ ∣ \geq ε

或

< ε

的样子。
题目给的区间若关于

μ

对称，

ε

就是半宽。

② 看问的是上界还是下界：问

\geq

用

\frac{σ ^{2}}{ε ^{2}}

，
问

<

用

1 - \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}}

。

③ 代数算完要体检：概率的界必须落在

[0, 1]

里。
若算出下界是负数，说明这个

ε

太小，切比雪夫给不出有用的信息
（结论是「

\geq

某个负数」，正确但没用）。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

代切比雪夫

第一步：从题面读出

μ = E (X)

与

σ^{2} = D (X)

。

第二步：把要求的事件写成以

μ

为中心的对称形式，读出

ε

。

第三步：问「偏离大」用上界

\frac{σ ^{2}}{ε ^{2}}

，
问「靠得近」用下界

1 - \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}}

。

第四步：检查结果落在

[0, 1]

内且有信息量（

ε > σ

）。

例例. 设

E (X) = 10

、

D (X) = 4

，估计

P (∣ X - 10∣ \geq 6)

与

P (4 < X < 16)

。

第一步，

μ = 10

、

σ^{2} = 4

。

第二步，第一个已是对称形式，

ε = 6

；第二个

4 < X < 16

就是

∣ X - 10∣ < 6

，同一个

ε

。

第三步，问「偏离大」用上界，问「靠得近」用下界：

P (∣ X - 10∣ \geq 6) \leq \frac{4}{36} = \frac{1}{9}, P (4 < X < 16) \geq 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} .

第四步，两个都在

[0, 1]

内 ✓ 且

ε = 6 > σ = 2

，界有信息量。

若

ε \leq σ

，上界

\frac{σ ^{2}}{ε ^{2}} \geq 1

——「概率不超过

1

」是废话，这时切比雪夫给不出任何信息。

对样本均值用

第一步：确认独立同分布，记下

μ

与

σ^{2}

。

第二步：算

E (\overset{ˉ}{X}) = μ

、

D (\overset{ˉ}{X}) = \frac{σ ^{2}}{n}

。

第三步：把

\frac{σ ^{2}}{n}

当作新的方差，代切比雪夫。

第四步：题目若问「

n

要多大」，把界设成题给的数解不等式。

例例.

X_{1}, \dots, X_{n}

独立同分布，

μ = 5

、

σ^{2} = 9

。要使

P (\overset{ˉ}{X} - 5 < 1) \geq 0.95

，

n

至少多大？

第一步，独立同分布 ✓ 记下

μ = 5

、

σ^{2} = 9

。

第二步，

E (\overset{ˉ}{X}) = 5

、

D (\overset{ˉ}{X}) = \frac{9}{n}

。

第三步，把

\frac{9}{n}

当作新的方差代切比雪夫：

P (\overset{ˉ}{X} - 5 < 1) \geq 1 - \frac{9/ n}{1 ^{2}} = 1 - \frac{9}{n} .

第四步，令

1 - \frac{9}{n} \geq 0.95

，得

n \geq 180

。

（用中心极限定理会得到小得多的

n

——切比雪夫不挑分布，代价就是界很松。）

区间不对称时

第一步：定出

μ

在区间的什么位置。

第二步：取以 $μ$ 为中心、含在原区间内的最大对称区间，半宽记作

ε

。

第三步：对这个子区间用下界形式。

第四步：声明一句「子集概率更小，故所得仍是原概率的下界」。

例例. 设

E (X) = 10

、

D (X) = 4

，估计

P (5 < X < 20)

的下界。

第一步，

μ = 10

不在区间

(5, 20)

的中点上（中点是

12.5

）。

第二步，取以

μ

为中心、含在原区间内的最大对称区间：左边到

5

只有

5

，右边到

20

有

10

，取小的，于是是

(5, 15)

，

ε = 5

。

第三步，对这个子区间用下界：

P (5 < X < 15) \geq 1 - \frac{4}{25} = 0.84.

第四步，声明一句：

(5, 15) \subset (5, 20)

，子集的概率更小，所以

P (5 < X < 20) \geq 0.84

仍然成立。

直接拿半宽

7.5

去算是错的——那对应的对称区间是

(2.5, 17.5)

，它伸到了原区间之外。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把 $ε^{2}$ 写成 $ε$

分母是偏差的平方，因为左边量的是平方偏差。

写成

\frac{σ ^{2}}{ε}

连量纲都不对。

自检：把

X

的单位换成另一种，不等式两边应当同时不变。

上界与下界的形式记混

P {∣ X - μ ∣ \geq ε} \leq \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}}

是上界；

P {∣ X - μ ∣ < ε} \geq 1 - \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}}

是下界。

一句话记法：偏离得远是小概率，所以给上界；靠得近是大概率，所以给下界。

对不对称的区间直接取半宽

切比雪夫左边是

∣ X - μ ∣

，中心只能是 $μ$ ，不是区间的中点。

区间不对称时要先缩成以

μ

为中心的子区间，再用下界形式。

缩完要说一句「子集概率更小」，否则这一步没有依据。

算出界比 $1$ 大还当成答案

ε \leq σ

时

\frac{σ ^{2}}{ε ^{2}} \geq 1

，这个上界是真的，但没有任何信息。

同理下界算成负数也等于什么都没说。

遇到这种结果，要么题目本意是让你发现「估不出来」，要么是

ε

读错了。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 代公式

练 1

设

E (X) = μ

、

D (X) = σ^{2}

，则

P {∣ X - μ ∣ \geq ε} \leq

________。

练 2

切比雪夫不等式成立的前提是（）。

A $X$ 服从正态分布
B $X$ 的期望与方差存在
C $X$ 是离散型
D $X$ 非负

练 3

设

E (X) = 10

、

D (X) = 4

，则

P {∣ X - 10∣ < 6} \geq

________。

练 4

设

X_{1}, \dots, X_{n}

独立同分布，方差为

σ^{2}

，则

D (\overset{ˉ}{X}) =

（）。

A $n σ^{2}$
B $σ^{2}$
C $\frac{σ ^{2}}{n ^{2}}$
D $\frac{σ ^{2}}{n}$

第二组 · 算一算

练 5

设

E (X) = 1000

、

D (X) = 2500

，则

P {900 < X < 1100} \geq

________。

练 6

独立同分布，

μ = 5

、

σ^{2} = 4

，

n = 100

，则

P {∣ \overset{ˉ}{X} - 5∣ \geq 1} \leq

________。

练 7

E (X) = 0

、

D (X) = 1

，用切比雪夫估计

P {∣ X ∣ \geq 0.5}

，所得上界（）。

A是 $4$ ，没有信息量
B是 $0.25$
C是 $0.5$
D不存在

练 8

独立同分布，

σ^{2} = 9

。要使

P {∣ \overset{ˉ}{X} - μ ∣ < 1} \geq 0.9

，由切比雪夫至少取

n =

________。

第三组 · 想清楚

练 9

已知

E (X) = 10

、

D (X) = 4

，要估计

P {5 < X < 30}

的下界，正确的做法是（）。

A缩成 ${∣ X - 10∣ < 5}$ 再用下界形式
B取区间中点 $17.5$ 作中心
C取半宽 $ε = 12.5$
D切比雪夫用不了

练 10

下列哪一条不是切比雪夫不等式的用途（）。

A分布未知时估概率的界
B证明大数定律
C精确算出正态分布的概率
D判断估计量的一致性

练 11

设

X \geq 0

且

E (X) = 2

，由马尔可夫不等式

P {X \geq 8} \leq

________。

练 12

切比雪夫不等式与马尔可夫不等式的关系是（）。

A对 $(X - μ)^{2}$ 用马尔可夫就得到切比雪夫
B两者互不相关
C马尔可夫是切比雪夫的特例
D两者等价

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

切比雪夫不等式

先打基础

1. 不等式本身：方差管住了偏离的概率

请你先证

2. 它的本事和它的代价

3. 对样本均值用：方差被 n 压下去

4. 怎么答这类题

常用结构

代切比雪夫

对样本均值用

区间不对称时

基础易错

把 ε2 写成 ε

上界与下界的形式记混

对不对称的区间直接取半宽

算出界比 1 大还当成答案

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

3. 对样本均值用：方差被 $n$ 压下去

把 $ε^{2}$ 写成 $ε$

算出界比 $1$ 大还当成答案