协方差与相关系数

§18.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

3.17 分/卷近 11 年平均

10/11 年出现年份

3.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）数学期望方差二维随机变量与联合分布③ 掌握后可解锁矩与协方差矩阵

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 协方差与相关系数的定义： $Cov (X, Y) = E [(X - E X) (Y - E Y)] = E (X Y) - E X \cdot E Y$ ， $ρ_{X Y} = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )}$ ★★ 必会

定义（协方差）：设各期望存在，称

Cov (X, Y) = E [(X - E X) (Y - E Y)]

为

X

与

Y

的协方差。如果两个偏差多数同号，那么协方差为正；如果多数反号，那么协方差为负。将上式展开，即得常用的计算公式

Cov (X, Y) = E (X Y) - E X \cdot E Y .

定义（相关系数）：当

D (X) > 0, D (Y) > 0

时，

ρ_{X Y} = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )} .

它等于先把两者各自标准化，再求协方差，即

ρ_{X Y} = Cov (\frac{X - E X}{D ( X )}, \frac{Y - E Y}{D ( Y )})

。相关系数是无量纲的量，用来度量线性关联的方向与强弱（关于

∣ ρ ∣ \leq 1

以及

∣ ρ ∣ = 1 ⟺

完全线性，见下一条）。若

ρ_{X Y} = 0

，即

Cov (X, Y) = 0

，也就是

E (X Y) = E X \cdot E Y

，则称

X

与

Y

不相关。

基本性质：① 对称性：

Cov (X, Y) = Cov (Y, X)

；② 与方差的关系：

Cov (X, X) = D (X)

，可见协方差是方差在两个变量情形下的推广；③ 双线性：

Cov (a X_{1} + b X_{2}, Y) = a Cov (X_{1}, Y) + b Cov (X_{2}, Y)

（对另一个位置同样成立），且

Cov (X, c) = 0

，即常数与任何随机变量的协方差都为零；④ 方差的展开式：

D (X \pm Y) = D (X) + D (Y) \pm 2 Cov (X, Y)

；⑤ 独立 $\Rightarrow$ 不相关（

Cov = 0

），但反之不然。

证明 / 推导

证先证计算公式。把

E X, E Y

看作常数，由期望的线性性展开，得

E [(X - E X) (Y - E Y)] = E (X Y) - E Y \cdot E (X) - E X \cdot E (Y) + E X \cdot E Y = E (X Y) - E X \cdot E Y .

性质②：取

Y = X

，则

Cov (X, X) = E [(X - E X)^{2}] = D (X)

。
性质③：中心化不改变线性组合的形式，即

(a X_{1} + b X_{2}) - E (a X_{1} + b X_{2}) = a (X_{1} - E X_{1}) + b (X_{2} - E X_{2})

；两边乘

(Y - E Y)

后取期望，逐项拆开即得。又当

X \equiv c

时

X - E X \equiv 0

，因此

Cov (X, c) = 0

。
性质④：由

D (X \pm Y) = E [((X - E X) \pm (Y - E Y))^{2}]

，把平方展开，其中的交叉项恰为

\pm 2 E [(X - E X) (Y - E Y)] = \pm 2 Cov (X, Y)

。

■

举例说明

2001·数一第 10 题（选择 3 分）：将一枚硬币重复掷

n

次，以

X

和

Y

分别表示正面向上和反面向上的次数，则

X

与

Y

的相关系数

ρ_{X Y}

等于（　　）

(A)

- 1

.　(B)

0

.　(C)

\frac{1}{2}

.　(D)

1

.

解. 注意到

X + Y = n

是常数，即

Y = n - X

。由性质③（双线性以及常数的协方差为零）与性质②得

Cov (X, Y) = Cov (X, n - X) = Cov (X, n) - Cov (X, X) = 0 - D (X) = - D (X),

又

D (Y) = D (n - X) = D (X)

，其中

X \sim B (n, \frac{1}{2})

，

D (X) = \frac{n}{4} > 0

。代入相关系数的定义，得

ρ_{X Y} = \frac{- D ( X )}{D ( X ) D ( X )} = - 1,

故应选 A。注意一：这里不必求联合分布。只要看出

Y

是

X

的线性函数、斜率

- 1 < 0

，就可以由完全线性关系

⟺ ∣ ρ ∣ = 1

直接写出

ρ = - 1

。注意二：

Cov (X, n) = 0

而不是

n

；漏掉负号，或者把常数项也算进协方差，都是常见的笔误。

2. $∣ ρ ∣ \leq 1$ 与 $∣ ρ ∣ = 1 \Leftrightarrow$ 完全线性：用一个二次三项式的判别式统一证明★★ 必会

关于相关系数有两个基本结论：柯西–施瓦茨不等式

∣ Cov (X, Y) ∣ \leq D (X) D (Y)

（由它得出

∣ ρ ∣ \leq 1

），以及

∣ ρ ∣ = 1 ⟺ Y = a X + b

。事实上，这两个结论可以用同一个证明一并得到：把

D (Y - tX)

看作参数

t

的二次三项式，它恒

\geq 0

，因此判别式

\leq 0

，这就是柯西–施瓦茨不等式；而判别式

= 0

，即

∣ ρ ∣ = 1

，意味着存在某个

t

使方差为

0

，从而

Y - tX

退化为常数，这就是完全线性关系。

证明 / 推导

证视

t

为实参数（设

D (X) > 0

），则

φ (t) = D (Y - tX) = D (X) t^{2} - 2 Cov (X, Y) t + D (Y) \geq 0 (\forall t) .

这个开口向上的二次三项式恒为非负，因此判别式

\leq 0

，即

[2 Cov (X, Y)]^{2} - 4 D (X) D (Y) \leq 0 ⟹ Cov (X, Y)^{2} \leq D (X) D (Y),

也就是

∣ ρ ∣ \leq 1

。而等号成立的条件是

∣ ρ ∣ = 1 ⟺

判别式

= 0 ⟺

存在唯一的

t_{0} = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X )}

，使

φ (t_{0}) = D (Y - t_{0} X) = 0

。又由方差为零

⟺

以概率

1

为常数，可知

Y - t_{0} X \equiv b

，即

Y = t_{0} X + b

，两者完全线性相关（

ρ = + 1

对应

t_{0} > 0

，

ρ = - 1

对应

t_{0} < 0

）。证毕。

3. 相关系数的进一步含义： $ρ^{2}$ 是能由 $X$ 线性解释的那部分方差所占的比例★ 要懂

ρ

不仅是线性相关强弱的一个抽象尺度，它还有明确的预测意义。如果用

X

的线性函数

a + b X

去预测

Y

，那么在均方误差最小的意义下，最优预测所留下的残差方差恰为

D (Y) (1 - ρ^{2})

。于是

ρ^{2} = 1 - \frac{残差方差}{D ( Y )} = 被 X 线性解释掉的方差占比

这个比值在统计学中称为决定系数。

ρ^{2}

越接近

1

，用

X

对

Y

作线性预测就越准确；当

ρ = 0

时，线性预测没有任何帮助，最优预测退化为常数

E (Y)

。由此可见，取值于

[- 1, 1]

的

ρ

所刻画的就是线性预测的能力。

证明 / 推导

证求最优的线性预测，就是使

Q (a, b) = E [(Y - a - b X)^{2}]

达到最小。先固定

b

。因为最优的常数就是期望，所以最优的

a = E (Y) - b E (X)

，此时

Q = D (Y - b X) = D (Y) - 2 b Cov (X, Y) + b^{2} D (X) .

对

b

求导并令其等于零，得

b^{*} = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X )}

。代回上式，得最小的残差方差

Q_{m i n} = D (Y) - \frac{Cov ( X , Y ) ^{2}}{D ( X )} = D (Y) (1 - \frac{Cov ( X , Y ) ^{2}}{D ( X ) D ( Y )}) = D (Y) (1 - ρ^{2}) .

由

Q_{m i n} \geq 0

再一次得到

ρ^{2} \leq 1

。又

ρ^{2}

越大，残差就越小，因此

ρ^{2}

度量的就是能由线性关系解释的那部分方差所占的比例。证毕。

4. 线性变换下 $ρ$ 只改变符号而不改变大小； $Cov (X + Y, X - Y) = D (X) - D (Y)$ 及其应用★★ 必会

下面两个计算结论很常用。(1) 设

U = a X + b, V = c Y + d

，则

ρ_{U V} = sgn (a c) ρ_{X Y}

。可见线性变换不改变相关系数的绝对值，只当

a c < 0

时改变它的符号；这正说明

ρ

是一个无量纲的相关性度量。(2) 利用双线性性可以很快求出组合变量的协方差，其中最值得注意的是

Cov (X + Y, X - Y) = D (X) - D (Y)

。由此可见，如果

D (X) = D (Y)

，那么和与差不相关。这是用正交变换把坐标旋到主轴上、从而消去相关性的最简单情形。

证明 / 推导

证 (1) 由

Cov (a X + b, c Y + d) = a c Cov (X, Y)

、

D (a X + b) = ∣ a ∣ D (X)

、

D (c Y + d) = ∣ c ∣ D (Y)

得

ρ_{U V} = \frac{a c Cov ( X , Y )}{∣ a ∣ ∣ c ∣ D ( X ) D ( Y )} = \frac{a c}{∣ a c ∣} ρ_{X Y} = sgn (a c) ρ_{X Y} .

(2) 由双线性性得

Cov (X + Y, X - Y) = Cov (X, X) - Cov (X, Y) + Cov (Y, X) - Cov (Y, Y) = D (X) - D (Y),

其中中间两项相消。证毕。

举例说明

设

X, Y

不相关且

D (X) = D (Y) = σ^{2}

，令

U = X + Y, V = X - Y

。则

Cov (U, V) = D (X) - D (Y) = σ^{2} - σ^{2} = 0,

即

U, V

不相关。可见当两个变量的方差相等时，旋转

4 5^{\circ}

恰好使这两个方向互不相关。这也说明了主成分分析与正交变换为什么能消去相关性：只要选取适当的方向组合，交叉的协方差就化为零。

5. 由联合分布律求 $Cov$ 与 $ρ$ ：离散型综合题的一般步骤★★ 必会

在离散型场合求相关系数是常见的题型，一般按下面五步进行：① 由联合分布律求出两个边缘分布；② 求

E (X), E (Y)

；③ 求

E (X Y) = \sum_{i} \sum_{j} x_{i} y_{j} p_{ij}

；④ 求

Cov = E (X Y) - E (X) E (Y)

与

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

，

D (Y)

的求法相同；⑤ 求

ρ = \frac{Cov}{D ( X ) D ( Y )}

。此外，还可以由

p_{ij} \neq = p_{i \cdot} p_{\cdot j}

判定两者不独立。

举例说明

设

(X, Y)

的联合分布律为

P (0, 0) = 0.4, P (0, 1) = 0.1, P (1, 0) = 0.2, P (1, 1) = 0.3.

① 求边缘分布：

P (X = 0) = 0.5, P (X = 1) = 0.5

；

P (Y = 0) = 0.6, P (Y = 1) = 0.4

。②

E (X) = 0.5, E (Y) = 0.4

。③ 只有在

(1, 1)

处

x y \neq = 0

，因此

E (X Y) = 1 \cdot 1 \cdot 0.3 = 0.3

。④

Cov (X, Y) D (X) D (Y) = 0.3 - 0.5 \times 0.4 = 0.1 = 0.5 - 0.25 = 0.25 = 0.4 - 0.16 = 0.24.

⑤

ρ = \frac{0.1}{0.25 \times 0.24} = \frac{0.1}{0.06} = \frac{1}{6} \approx 0.408.

又因

P (X = 0, Y = 0) = 0.4 \neq = P (X = 0) P (Y = 0) = 0.5 \times 0.6 = 0.3

，所以

X, Y

不独立，这与

ρ \neq = 0

是一致的。

💡 小知识

相关与回归这两个词都出自达尔文的表弟高尔顿。他发现高个父母的子女平均身高没有那么高，把这种现象称为向平庸回归。深受他影响的皮尔逊把这一观察写成了公式

ρ

，相关系数从此成为统计学里流传最广的符号之一。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

(X, Y)

的联合分布律为

X \ Y 01 0 0.3 0.1 1 0.2 0.4

求

Cov (X, Y)

。难度 1

用计算公式 $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ 。
先求边缘期望：

P (X = 1) = 0.1 + 0.4 = 0.5

，故

E (X) = 0.5

；

P (Y = 1) = 0.2 + 0.4 = 0.6

，故

E (Y) = 0.6

。
求

E (X Y)

：只有

x, y

都非零的格子有贡献，即

(X, Y) = (1, 1)

：

E (X Y) = 1 \cdot 1 \cdot P (1, 1) = 1 \cdot 0.4 = 0.4.

于是

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 0.4 - 0.5 \times 0.6 = 0.4 - 0.3 = 0.1.

Cov > 0

，说明

X, Y

正相关。小结：

E (X Y)

用二维 LOTUS 逐格加权

x_{i} y_{j} p_{ij}

。

例 2 已知

D (X) = 9

，

D (Y) = 4

，

Cov (X, Y) = - 3

。求相关系数

ρ_{X Y}

。难度 2

相关系数是协方差的无量纲化：

ρ_{X Y} = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )}

。
代入：

ρ_{X Y} = \frac{- 3}{9 \cdot 4} = \frac{- 3}{3 \times 2} = \frac{- 3}{6} = - \frac{1}{2} .

ρ_{X Y} = - \frac{1}{2} < 0

，说明

X, Y

负相关，且

∣ ρ ∣ = \frac{1}{2} \leq 1

符合相关系数的取值范围。小结：先由方差开平方得标准差，再作商。

例 3 设

D (X) = D (Y) = 1

，

Cov (X, Y) = 0.5

。利用协方差的双线性性求

Cov (2 X + Y, X - Y)

。难度 2

协方差对每个位置都是线性的（双线性），像多项式一样逐项展开：

Cov (2 X + Y, X - Y) = 2 Cov (X, X) - 2 Cov (X, Y) + Cov (Y, X) - Cov (Y, Y) .

注意

Cov (X, X) = D (X)

，

Cov (Y, Y) = D (Y)

，

Cov (Y, X) = Cov (X, Y)

。代入：

= 2 \times 1 - 2 \times 0.5 + 0.5 - 1 = 2 - 1 + 0.5 - 1 = 0.5.

故

Cov (2 X + Y, X - Y) = 0.5

。小结：把线性组合当作多项式展开，再用

Cov (X, X) = D (X)

、对称性化简。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设随机变量

X

服从参数为

1

的泊松分布，随机变量

Y

服从参数为

3

的泊松分布，

X

与

Y - X

相互独立，则

E (X Y) =

___.

2025 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设二维随机变量

(X, Y)

服从正态分布

N (0, 0; 1, 1; ρ)

，其中

ρ \in (- 1, 1)

。若

a, b

为满足

a^{2} + b^{2} = 1

的任意实数，则

D (a X + bY)

的最大值为（　　）

A $1$ .
B $2$ .
C $1 + ∣ ρ ∣$ .
D $1 + ρ^{2}$ .

2024 年 · 数一 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {2 (1 - x), 0, 0 < x < 1, 其他,

在

X = x (0 < x < 1)

的条件下，随机变量

Y

服从区间

(x, 1)

上的均匀分布，则

Cov (X, Y) =

（　　）

A $- \frac{1}{36}$ .
B $- \frac{1}{72}$ .
C $\frac{1}{72}$ .
D $\frac{1}{36}$ .

2023 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{π} (x^{2} + y^{2}), 0, x^{2} + y^{2} \leq 1, 其他 .

（Ⅰ）求

X

与

Y

的协方差；

（Ⅱ）

X

与

Y

是否相互独立？

（Ⅲ）求

Z = X^{2} + Y^{2}

的概率密度。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

已知

E (X Y) = 5

，

E (X) = 2

，

E (Y) = 2

，则

Cov (X, Y) =

（　）。

A $1$
B $5$
C $9$
D $- 1$

练习 2 · 填空题

已知

Cov (X, Y) = - 3

，

D (X) = 9

，

D (Y) = 4

，则相关系数

ρ_{X Y} =

____。

练习 3 · 选择题

已知

D (X) = 1

，

D (Y) = 2

，

Cov (X, Y) = 1

，则

D (X + Y) =

（　）。

A $3$
B $5$
C $7$
D $1$

练习 4 · 填空题

设

X \sim U (- 1, 1)

，令

Y = X^{2}

，则相关系数

ρ_{X Y} =

____。

练习 5 · 选择题

设随机变量

X, Y

的方差都存在且均不为零，记

U = X + Y

，

V = X - Y

。则「

U

与

V

不相关」的充分必要条件是（　）。

A $X$ 与 $Y$ 相互独立
B $X$ 与 $Y$ 不相关
C $D (X) = D (Y)$
D $E (X) = E (Y)$

练习 6 · 填空题

设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {8 x y, 0, 0 < y < x < 1, 其他,

则

Cov (X, Y) =

____。

练习 7 · 解答题

设有

n

（

n \geq 2

）个人，每人相互独立地从编号为

1, 2, \dots, m

（

m \geq 2

）的

m

个房间中等可能地选一间进入。记

X

为进入

1

号房间的人数，

Y

为进入

2

号房间的人数。
（1）写出

X

服从的分布，并求

E (X)

与

D (X)

；
（2）求

Cov (X, Y)

；
（3）求相关系数

ρ_{X Y}

，并说明它与人数

n

的关系。

2022 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X \sim U (0, 3)

，随机变量

Y

服从参数为

2

的泊松分布，且

X

与

Y

的协方差为

- 1

，则

D (2 X - Y + 1) =

（　　）

A $1$ .
B $5$ .
C $9$ .
D $12$ .

2022 年 · 数一 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X \sim N (0, 1)

，在

X = x

的条件下，随机变量

Y \sim N (x, 1)

，则

X

与

Y

的相关系数为（　　）

A $\frac{1}{4}$ .
B $\frac{1}{2}$ .
C $\frac{3}{3}$ .
D $\frac{2}{2}$ .

协方差与相关系数

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 协方差与相关系数的定义：Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)]=E(XY)−EX⋅EY，ρXY​=D(X)​D(Y)​Cov(X,Y)​★★ 必会

2. ∣ρ∣≤1 与∣ρ∣=1⇔ 完全线性：用一个二次三项式的判别式统一证明★★ 必会

3. 相关系数的进一步含义：ρ2 是能由 X 线性解释的那部分方差所占的比例★ 要懂

4. 线性变换下 ρ 只改变符号而不改变大小；Cov(X+Y,X−Y)=D(X)−D(Y) 及其应用★★ 必会

5. 由联合分布律求 Cov 与 ρ：离散型综合题的一般步骤★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 协方差与相关系数的定义： $Cov (X, Y) = E [(X - E X) (Y - E Y)] = E (X Y) - E X \cdot E Y$ ， $ρ_{X Y} = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )}$ ★★ 必会

2. $∣ ρ ∣ \leq 1$ 与 $∣ ρ ∣ = 1 \Leftrightarrow$ 完全线性：用一个二次三项式的判别式统一证明★★ 必会

3. 相关系数的进一步含义： $ρ^{2}$ 是能由 $X$ 线性解释的那部分方差所占的比例★ 要懂

4. 线性变换下 $ρ$ 只改变符号而不改变大小； $Cov (X + Y, X - Y) = D (X) - D (Y)$ 及其应用★★ 必会

5. 由联合分布律求 $Cov$ 与 $ρ$ ：离散型综合题的一般步骤★★ 必会