二维随机变量与联合分布

§17.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.92 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

5.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）随机变量与分布函数连续型随机变量及其概率密度③ 掌握后可解锁边缘分布与条件分布随机变量的独立性二维随机变量函数的分布协方差与相关系数

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 判定二维分布函数：矩形不等式是单调性与右连续性之外的第四个条件

一维分布函数只需满足三个条件：单调不减、右连续、两端的极限分别为

0

和

1

。如果把这一套照搬到二维，以为只要对

x

、对

y

分别单调不减、右连续，且四个角上的极限正确就够了，那就错了。二维情形还必须另外满足矩形不等式

F (x_{2}, y_{2}) - F (x_{1}, y_{2}) - F (x_{2}, y_{1}) + F (x_{1}, y_{1}) \geq 0 (x_{1} < x_{2}, y_{1} < y_{2}) .

这是因为上式左端这四项的组合恰好是随机点落在矩形

(x_{1}, x_{2}] \times (y_{1}, y_{2}]

内的概率，它必须非负；而分别关于每个变量单调，只控制沿单个坐标轴方向的增量，控制不住矩形这样的二维增量。因此判断一个

F (x, y)

能否作为联合分布函数时，除前三条以外必须单独检验矩形不等式。

证明 / 推导

证下面给出一个反例，它满足前三类条件，却违反矩形不等式。令

F (x, y) = {1, 0, x + y \geq 0, x + y < 0.

逐条检查如下。固定

y

，当

x

增大时，

F

在

x = - y

处由

0

跳到

1

，故单调不减且右连续，因为在跳跃点处取到

1

；对

y

同理。又

F (+ \infty, + \infty) = 1

，

F (x, - \infty) = F (- \infty, y) = 0

。这样看来前三条都已满足。但取矩形

(- 1, 1] \times (- 1, 1]

，则有

F (1, 1) - F (- 1, 1) - F (1, - 1) + F (- 1, - 1) = 1 - 1 - 1 + 0 = - 1 < 0,

这就得到了负的概率，出现矛盾。故此

F

不是任何二维随机变量的分布函数。只检查单调性与右连续性是发现不了这个问题的，只有矩形不等式才能把它排除。这就证明了矩形不等式是一条独立的必要条件。

2. 二维正态分布的完整讨论：五个参数各有其作用，边缘分布与条件分布都是正态★ 要懂

二维正态

N (μ_{1}, μ_{2}; σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}; ρ)

的密度为

f (x, y) = \frac{1}{2 π σ _{1} σ _{2} 1 - ρ ^{2}} exp {- \frac{1}{2 ( 1 - ρ ^{2} )} [\frac{( x - μ _{1} ) ^{2}}{σ _{1}^{2}} - \frac{2 ρ ( x - μ _{1} ) ( y - μ _{2} )}{σ _{1} σ _{2}} + \frac{( y - μ _{2} ) ^{2}}{σ _{2}^{2}}]} .

其中

μ_{1}, μ_{2}

确定中心，

σ_{1}, σ_{2}

确定各自的散布程度，

ρ \in (- 1, 1)

确定图形的倾斜程度与两个变量的联动关系。以下三个事实要反复用到：(i) 两个边缘分布分别是

N (μ_{1}, σ_{1}^{2})

与

N (μ_{2}, σ_{2}^{2})

，与 $ρ$ 无关，这最有力地说明了边缘分布丢失了联合分布中的相关信息；(ii) 条件分布

Y ∣ X = x \sim N (μ_{2} + ρ \frac{σ _{2}}{σ _{1}} (x - μ_{1}), σ_{2}^{2} (1 - ρ^{2}))

，其条件均值是

x

的线性函数，即回归直线；(iii)

ρ = 0 ⟺ X, Y

相互独立，这是正态分布特有的性质。

证明 / 推导

证先证边缘分布为正态。不妨取标准情形

μ_{1} = μ_{2} = 0, σ_{1} = σ_{2} = 1

，一般情形只需作平移与伸缩即可。此时

f (x, y) = \frac{1}{2 π 1 - ρ ^{2}} exp {- \frac{x ^{2} - 2 ρ x y + y ^{2}}{2 ( 1 - ρ ^{2} )}} .

把分子关于

y

配方，得

x^{2} - 2 ρ x y + y^{2} = (y - ρ x)^{2} + (1 - ρ^{2}) x^{2}

。代入后拆成两个因子，得

f (x, y) = 只含 x \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2} \cdot 关于 y 的 N (ρ x, 1 - ρ^{2}) 密度 \frac{1}{2 π ( 1 - ρ ^{2} )} exp {- \frac{( y - ρ x ) ^{2}}{2 ( 1 - ρ ^{2} )}} .

第二个因子对

y

的积分等于

1

，故

f_{X} (x) = \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2} = N (0, 1)

，与 $ρ$ 无关；同时由上式直接读出

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = N (ρ x, 1 - ρ^{2})

，即条件分布仍为正态，且条件均值

ρ x

是线性的。当

ρ = 0

时

f = \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2} \cdot \frac{1}{2 π} e^{- y^{2} /2} = f_{X} (x) f_{Y} (y)

，故二者独立。这就一次证明了上述三个结论。

3. 联合分布函数 $F (x, y)$ 的作用：混合偏导数还原密度，二维容斥公式求同时大于的概率★★ 必会

如果已知

F (x, y)

，那么关于

X, Y

的一切都可以由它导出：(1) 边缘分布函数

F_{X} (x) = F (x, + \infty)

；(2) 连续型情形的密度

f (x, y) = \frac{\partial ^{2} F}{\partial x \partial y}

，它在

F

的二阶混合偏导数连续处成立；(3) 各种区域上的概率。其中尤其要熟练掌握用二维容斥公式求两个变量同时大于某值的概率：

P (X > a, Y > b) = 1 - P (X \leq a 或 Y \leq b) = 1 - F_{X} (a) - F_{Y} (b) + F (a, b) .

如果只会计算左下角的概率

P (X \leq a, Y \leq b) = F (a, b)

，那么一遇到右上角就无从下手了；事实上用一次容斥公式即可。

证明 / 推导

证下面依次证明由

F

导出边缘分布、密度与右上角概率的三条根据。

边缘分布为什么取 $F (x, + \infty)$ . 记

A_{n} = {X \leq x, Y \leq n}

，其中

n = 1, 2, \dots

。这一列事件随

n

增大而扩张，且它们的并是

{X \leq x}

。这是因为每个使

X \leq x

的样本点，其

Y

的值总小于某个正整数。由概率的连续性，得

F_{X} (x) = P {X \leq x} = n \to \infty lim P (A_{n}) = y \to + \infty lim F (x, y) = F (x, + \infty) .

同理有

F_{Y} (y) = F (+ \infty, y)

。

混合偏导数为什么还原出密度. 设

(X, Y)

为连续型，密度为

f

。按密度的定义，有

F (x, y) = \int_{- \infty}^{x} [\int_{- \infty}^{y} f (s, t) d t] d s .

先对

x

求偏导。方括号内是

s

的函数，由变上限积分的求导法则，得

\frac{\partial F}{\partial x} = \int_{- \infty}^{y} f (x, t) d t .

再对

y

求偏导，仍由变上限积分的求导法则，在

f

的连续点处得

\frac{\partial ^{2} F}{\partial x \partial y} = f (x, y)

。求导的先后次序可以对换，因为混合偏导数在连续之处与次序无关。

二维容斥公式的证明. 记

A = {X \leq a}

，

B = {Y \leq b}

。所求的事件是这两个事件的对立事件同时发生。由德摩根律，得

{X > a, Y > b} = \overset{ˉ}{A} \cap \overset{ˉ}{B} = \overline{A \cup B} .

再由概率的加法公式，得

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B) = F_{X} (a) + F_{Y} (b) - F (a, b),

其中

P (A B) = P {X \leq a, Y \leq b} = F (a, b)

。取对立事件的概率，得

P {X > a, Y > b} = 1 - P (A \cup B) = 1 - F_{X} (a) - F_{Y} (b) + F (a, b) .

这就证明了二维容斥公式。

注. 上面只用到加法公式，并未用到独立性，也未用到分布的类型。因此这个公式对一切二维随机变量都成立，离散型同样适用。如果

X, Y

恰好相互独立，那么

F (a, b) = F_{X} (a) F_{Y} (b)

，代入后右端可以分解：

1 - F_{X} (a) - F_{Y} (b) + F_{X} (a) F_{Y} (b) = [1 - F_{X} (a)] [1 - F_{Y} (b)] = P {X > a} P {Y > b} .

必须注意，这一步用了独立性。若两者不独立，则不能这样分解，只能用容斥公式。

举例说明

设

F (x, y) = {(1 - e^{- 2 x}) (1 - e^{- 3 y}), 0, x > 0, y > 0, 其他 .

求联合密度与

P (X > 1, Y > 1)

。解当

x, y > 0

时，

f (x, y) = \frac{\partial ^{2} F}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} [(1 - e^{- 2 x}) \cdot 3 e^{- 3 y}] = 2 e^{- 2 x} \cdot 3 e^{- 3 y} = 6 e^{- 2 x - 3 y} .

边缘分布函数为

F_{X} (x) = F (x, + \infty) = 1 - e^{- 2 x}

，

F_{Y} (y) = 1 - e^{- 3 y}

。记

a = e^{- 2}, b = e^{- 3}

，由二维容斥公式得

P (X > 1, Y > 1) = 1 - (1 - a) - (1 - b) + (1 - a) (1 - b) = ab = e^{- 5} .

这与

X, Y

相互独立时

P (X > 1) P (Y > 1) = e^{- 2} \cdot e^{- 3} = e^{- 5}

的结果一致。要点：应当会用

F

求密度与边缘分布，并会用容斥公式一步算出右上角的概率。

4. 并非所有二维随机变量都有联合密度：概率集中在曲线上时密度不存在★ 要懂

联合密度存在，要求概率能够分布在二维区域上，也就是

F

应是二重积分的结果。但是，如果

(X, Y)

的全部概率集中在一条曲线或直线上，即集中在一个面积为零的集合上，那么就没有二维密度可言。最典型的情形是

Y = g (X)

：随机点

(X, Y)

只能落在曲线

y = g (x)

上，而该曲线在平面上的面积为

0

，任何二维密度在其上的积分都等于

0

，与总概率

= 1

相矛盾，故密度不存在。这类退化分布只能用分布函数处理，或者化为一维处理；混合型的情形，即一个分量离散、另一个分量连续，同样没有联合密度。因此，如果题中给出

Y = 2 X + 1

而要求

(X, Y)

的密度，就应当立即警觉：真正要讨论的其实是一维的

X

。

证明 / 推导

证设

(X, Y)

有联合密度

f (x, y)

，则对平面上的任一区域

D

有

P {(X, Y) \in D} = \iint_{D} f (x, y) d x d y

。下面分两种情形导出矛盾。
① 概率集中在一条曲线上的情形。设

Y = g (X)

，则随机点落在曲线

C = {(x, y) ∣ y = g (x)}

上的概率为

1

。把二重积分化为累次积分，先对

y

积分。对每一个固定的

x

，

C

上与之对应的

y

只有

g (x)

一个值。于是内层积分的上下限相同，其值为零。从而

P {(X, Y) \in C} = \int_{- \infty}^{+ \infty} (\int_{g (x)}^{g (x)} f (x, y) d y) d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} 0 d x = 0,

这与

P {(X, Y) \in C} = 1

矛盾。所以这样的

f

不存在。
② 混合型的情形。设分量

Y

是离散型的，则存在一点

y_{0}

，使

p = P {Y = y_{0}} > 0

。仍先对

y

积分，上下限同为

y_{0}

，故

P {Y = y_{0}} = \int_{- \infty}^{+ \infty} (\int_{y_{0}}^{y_{0}} f (x, y) d y) d x = 0,

与

p > 0

矛盾。所以混合型的二维随机变量也没有联合密度。
以上两种情形，正的概率都集中在面积为零的集合上。一般地，面积为零的集合上的二重积分等于零。因此正的概率一旦集中在这样的集合上，联合密度便不存在。
还应弄清两个方向的差别。如果

(X, Y)

有联合密度

f

，那么由

f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y

知

X

是连续型的，同理

Y

也是连续型的。反过来并不成立：由 ① 可知，

X

与

Y

各自都是连续型时，

(X, Y)

仍可能没有联合密度。因此二维连续型是比两个分量分别为连续型更强的条件。

举例说明

设

X \sim U (0, 1)

，

Y = X

。问

(X, Y)

是否有联合密度，并求

P (X + Y \leq 1)

。解随机点

(X, Y)

落在线段

{y = x, 0 < x < 1}

上，这是一个面积为零的集合，故

(X, Y)

没有联合密度，它是退化分布。但它的规律完全由一维的

X

决定：

P (X + Y \leq 1) = P (2 X \leq 1) = P (X \leq \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} .

如果误以为存在密度而在平面上作二重积分，那么必然出错。结论：应先判断概率是否集中在低维集合上，如果是，就化为一维处理，不可盲目套用二重积分。

💡 小知识

用一张联合分布来刻画两个变量之间的关系，这个想法源自高尔顿 19 世纪对父母与子女身高的研究。正是在二维散点图里，他看出了子代身高向均值回归的现象，后来的相关分析与回归分析都由此发端。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设二维离散型随机变量

(X, Y)

的联合分布律为

X \ Y 01 0 0.1 0.2 1 0.2 0.3 2 0.1 0.1

求：（1）

P (X = 0)

；（2）

P (X + Y = 2)

。难度 1

（1）求 $P (X = 0)$ 。 把

X = 0

那一行的概率全部相加（

Y

取什么都算）：

P (X = 0) = 0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4.

（2）求 $P (X + Y = 2)$ 。 找出所有满足

x + y = 2

的格子：

(X, Y) = (0, 2)

与

(1, 1)

，把对应概率相加：

P (X + Y = 2) = P (0, 2) + P (1, 1) = 0.1 + 0.3 = 0.4.

小结：离散型二维概率的计算，就是把符合事件的格子概率相加；先核对全表之和为

1

（此处

0.1 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1

）可保证分布律无误。

例 2 设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {k x y, 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1, 其他 .

（1）求常数

k

；（2）求

P (X + Y \leq 1)

。难度 1

（1）求 $k$ 。 利用密度的总积分为

1

。因支撑是正方形且被积函数可分离：

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} k x y d x d y = k (\int_{0}^{1} x d x) (\int_{0}^{1} y d y) = k \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{k}{4} = 1,

所以

k = 4

。

（2）求 $P (X + Y \leq 1)$ 。 事件区域与支撑的交集是三角形

{x > 0, y > 0, x + y \leq 1}

。固定

x \in (0, 1)

，

y

从

0

到

1 - x

：

P (X + Y \leq 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} 4 x y d y d x = \int_{0}^{1} 4 x \cdot \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2} d x = \int_{0}^{1} 2 x (1 - x)^{2} d x .

展开

2 x (1 - x)^{2} = 2 x - 4 x^{2} + 2 x^{3}

，逐项积分：

\int_{0}^{1} (2 x - 4 x^{2} + 2 x^{3}) d x = 1 - \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} .

故

P (X + Y \leq 1) = \frac{1}{6}

。小结：先由归一化定常数，再把概率化为「事件区域

\cap

支撑」上的二重积分。

例 3 设二维随机变量

(X, Y)

在圆域

D = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 4}

上服从均匀分布。求：（1）

P (X^{2} + Y^{2} \leq 1)

；（2）

P (X \geq 0)

。难度 2

思路：二维均匀分布，概率 = 面积之比。 圆域

D

的面积为

S_{D} = π \cdot 2^{2} = 4 π

，故联合密度

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{4 π}, 0, x^{2} + y^{2} \leq 4, 其他 .

（1） 事件

{X^{2} + Y^{2} \leq 1}

对应半径为

1

的小圆盘，面积

π \cdot 1^{2} = π

，于是

P (X^{2} + Y^{2} \leq 1) = \frac{小圆盘面积}{大圆盘面积} = \frac{π}{4 π} = \frac{1}{4} .

（2） 事件

{X \geq 0}

是圆域的右半部分，恰为整圆的一半：

P (X \geq 0) = \frac{2 π}{4 π} = \frac{1}{2} .

小结：均匀分布下不必真的积分，直接用面积比即可；关键是认清事件对应的几何区域。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2022 年 · 数一 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X \sim N (0, 1)

，在

X = x

的条件下，随机变量

Y \sim N (x, 1)

，则

X

与

Y

的相关系数为（　　）

A $\frac{1}{4}$ .
B $\frac{1}{2}$ .
C $\frac{3}{3}$ .
D $\frac{2}{2}$ .

2020 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设随机变量

X_{1}, X_{2}, X_{3}

相互独立，其中

X_{1}

与

X_{2}

均服从标准正态分布，

X_{3}

的概率分布为

P {X_{3} = 0} = P {X_{3} = 1} = \frac{1}{2}

，

Y = X_{3} X_{1} + (1 - X_{3}) X_{2}

.
（Ⅰ）求二维随机变量

(X_{1}, Y)

的分布函数，结果用标准正态分布函数

Φ (x)

表示；
（Ⅱ）证明随机变量

Y

服从标准正态分布.

2016 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设二维随机变量

(X, Y)

在区域

D = {(x, y) ∣ 0 < x < 1, x^{2} < y < x}

上服从均匀分布，令

U = {1, 0, X \leq Y, X > Y .

（Ⅰ）写出

(X, Y)

的概率密度；

（Ⅱ）问

U

与

X

是否相互独立？并说明理由；

（Ⅲ）求

Z = U + X

的分布函数

F (z)

。

2015 年 · 数一 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

设二维随机变量

(X, Y)

服从正态分布

N (1, 0; 1, 1; 0)

，则

P {X Y - Y < 0} =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

(X, Y)

在正方形

{0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

上服从均匀分布，则

P (X + Y \leq 1) =

（　）。

A $\frac{1}{4}$
B $\frac{1}{3}$
C $\frac{1}{2}$
D $\frac{3}{4}$

练习 2 · 填空题

设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = c (x + y) (0 < x < 1, 0 < y < 2)

，其余为

0

，则常数

c =

____。

练习 3 · 选择题

设

(X, Y)

的联合分布律为

P (X = 0, Y = 0) = \frac{1}{6}, P (X = 0, Y = 1) = \frac{1}{6}, P (X = 1, Y = 0) = \frac{1}{3}, P (X = 1, Y = 1) = \frac{1}{3}

，则

P (X = Y) =

（　）。

A $\frac{1}{6}$
B $\frac{1}{3}$
C $\frac{1}{2}$
D $\frac{2}{3}$

练习 4 · 填空题

设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = x + y (0 < x < 1, 0 < y < 1)

，其余为

0

，则

P (X < \frac{1}{2}) =

____。

练习 5 · 选择题

设二维随机变量

(X, Y)

在区域

D = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < x}

上服从均匀分布，则

P (Y > X) =

（　）。

A $\frac{1}{6}$
B $\frac{1}{4}$
C $\frac{1}{3}$
D $\frac{1}{2}$

练习 6 · 填空题

设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {6 e^{- 2 x - 3 y}, 0, x > 0, y > 0, 其他,

则

P (X < Y) =

____。

练习 7 · 解答题

设二维随机变量

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {k x y^{2}, 0, 0 < y < x < 1, 其他 .

（1）求常数

k

；（2）求

P (X + Y < 1)

；（3）求

P (X < 2 Y)

。

2011 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设随机变量

X

与

Y

的概率分布分别为

X P 0 \frac{1}{3} 1 \frac{2}{3}

Y P - 1 \frac{1}{3} 0 \frac{1}{3} 1 \frac{1}{3}

且

P {X^{2} = Y^{2}} = 1

。

（Ⅰ）求二维随机变量

(X, Y)

的概率分布；

（Ⅱ）求

Z = X Y

的概率分布；

（Ⅲ）求

X

与

Y

的相关系数

ρ_{X Y}

。

2010 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = A e^{- 2 x^{2} + 2 x y - y^{2}}, - \infty < x < + \infty, - \infty < y < + \infty,

求常数

A

及条件概率密度

f_{Y ∣ X} (y ∣ x)

二维随机变量与联合分布

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 判定二维分布函数：矩形不等式是单调性与右连续性之外的第四个条件

2. 二维正态分布的完整讨论：五个参数各有其作用，边缘分布与条件分布都是正态★ 要懂

3. 联合分布函数 F(x,y) 的作用：混合偏导数还原密度，二维容斥公式求同时大于的概率★★ 必会

4. 并非所有二维随机变量都有联合密度：概率集中在曲线上时密度不存在★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 联合分布函数 $F (x, y)$ 的作用：混合偏导数还原密度，二维容斥公式求同时大于的概率★★ 必会