边缘分布与条件分布

§17.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.40 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

2.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）二维随机变量与联合分布条件概率与乘法公式③ 掌握后可解锁随机变量的独立性

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 求边缘分布的基本方法：连续型对另一个变量积分（积分限由支撑集确定），离散型求行和与列和★★ 必会

设二维联合分布已知，要单独求某个分量的分布，只需把另一个变量求和掉或积分掉，所得的分布称为边缘分布。按分布的类型分为两套求法，其实质都是沿另一个变量把联合分布累加起来：

① 连续型，对另一个变量积分。

f_{X} (x) f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d x .

求

f_{X} (x)

时把

y

积掉，而把

x

暂时看作常数；求

f_{Y} (y)

时反之。难点全在积分限上：公式中虽然写成从

- \infty

到

+ \infty

，但被积函数

f

只在支撑集（即

f > 0

的区域）上非零，因此真正的积分限必须由支撑集来确定。

- 对每个固定的 $x$ ，在图上作一条竖直线 $X = x$ ，它与支撑集相交的那一段 $y$ 区间才是积分限；
- 这段区间的端点往往是 $x$ 的函数，因此当

x

落在不同范围内时，积分限乃至有无交集都不相同，结果必然按 $x$ 分段；支撑集以外的

x

给出

f_{X} (x) = 0

，这一段不可漏写。

求

f_{Y} (y)

的做法完全对称：改作水平线 $Y = y$ ，把

x

积掉，结果按

y

分段。必须注意：如果支撑集不是矩形，例如是三角形、圆或形如 $0 < y < 2 x$ 的区域，那么积分限中一定含有另一个变量，绝不能想当然地写成常数。

② 离散型，求行和 / 列和。

P (X P (Y = x_{i}) = p_{i \cdot} = j \sum p_{ij} = y_{j}) = p_{\cdot j} = i \sum p_{ij} .

即边缘分布律等于联合分布表各行之和（沿横向相加，得 $X$ 的分布律）与各列之和（沿纵向相加，得 $Y$ 的分布律），它们通常写在表格的最右一列与最下一行，边缘分布之名正由此而来。连续型的积分与离散型的求和其实是同一回事：把联合分布沿不需要的那个变量累加掉。

证明 / 推导

证连续型的公式不必强记，它来自对边缘分布函数求导。把

Y

放开到全体实数，求

X

的分布函数，得

F_{X} (x) = P (X \leq x) = P (X \leq x, Y < + \infty) = \int_{- \infty}^{x} (\int_{- \infty}^{+ \infty} f (u, y) d y) d u .

两边对

x

求导。由变上限积分的求导法则，内层的

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y

恰是被积函数在上限

x

处的值，于是

f_{X} (x) = F_{X}^{'} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y,

这就是把

y

积掉的严格依据；求

f_{Y}

的情形完全对称。离散型同理：事件

{X = x_{i}}

可以按

Y

的取值拆成互不相容的部分，由概率的可列可加性得

P (X = x_{i}) = P ({X = x_{i}} \cap j ⋃ {Y = y_{j}}) = j \sum P (X = x_{i}, Y = y_{j}) = j \sum p_{ij},

这就是对第 $i$ 行求和；对各列求和得到

f_{Y}

的情形也是一样。

举例说明

求联合密度 $f (x, y) = {1, 0, 0 < x < 1, 0 < y < 2 x, 其他$ 的两个边缘密度 $f_{X} (x)$ 、 $f_{Y} (y)$ （2005·数一）。

第一步：作出支撑域。 由约束

0 < x < 1

且

0 < y < 2 x

知，支撑域是以

(0, 0), (1, 0), (1, 2)

为顶点的三角形，其上边界为斜线

y = 2 x

。

第二步：求 $f_{X} (x)$ ，作竖直线 $X = x$ 把 $y$ 积掉。 对固定的

x

，有：
- 当

0 < x < 1

时，竖直线扫过的

y

的范围是

0 < y < 2 x

，故

f_{X} (x) = \int_{0}^{2 x} 1 d y = 2 x

；
- 当

x \leq 0

或

x \geq 1

时，竖直线与支撑域不相交，故

f_{X} (x) = 0

。

f_{X} (x) = {2 x, 0, 0 < x < 1, 其他 .

第三步：求 $f_{Y} (y)$ ，作水平线 $Y = y$ 把 $x$ 积掉，这一步最容易出错。 支撑集中的条件

0 < y < 2 x

等价于

x > \frac{y}{2}

，与

x < 1

合并可知，对固定的

y

，

x

的真实范围是

\frac{y}{2} < x < 1

，而不是 $0 < x < 1$ ：
- 当

0 < y < 2

时，

f_{Y} (y) = \int_{y /2}^{1} 1 d x = 1 - \frac{y}{2}

；
- 当

y \leq 0

或

y \geq 2

时

f_{Y} (y) = 0

。

f_{Y} (y) = {1 - \frac{y}{2}, 0, 0 < y < 2, 其他 .

两处最易出错的地方：(1) 求

f_{Y} (y)

时把下限想当然地写成

0

，算成

\int_{0}^{1} 1 d x = 1

，没有把支撑集的约束 $x > y /2$ 反映到积分限中，这是本题第一大失分点；(2) 忘记

y

的上限是

2

，因为

2 x

最大只能取到

2

，于是误写成

0 < y < 1

，或者整段漏掉取值为

0

的部分。一般步骤是：先固定一个变量，再作直线定出积分限，然后按分段写出结果，最后在支撑集以外补上零值。

2. 边缘分布不能确定联合分布：相同的边缘可以对应完全不同的联合分布★ 要懂

由联合分布求边缘分布，作的是求和或积分的压缩，是多对一的映射，信息必然丢失。由此得到一个重要结论：给定两个边缘分布，与之相容的联合分布有无穷多个。 因此，如果题中只给出

X \sim \dots

、

Y \sim \dots

而要求

P ((X, Y) \in D)

，却没有给出任何关于联合的信息，例如联合分布、独立性或相关系数，那么这个问题就是不适定的、无法求解，必须补充条件才能计算。明白了这一点，就能从根本上避免用边缘分布去凑联合概率的错误。

举例说明

离散型的反例。 设

X, Y

各自取值于

{0, 1}

，边缘分布都是

P (= 0) = P (= 1) = \frac{1}{2}

。
- 联合分布表甲，此时二者相互独立：四格全为

\frac{1}{4}

；
- 联合分布表乙，此时二者恒相等：

p_{00} = p_{11} = \frac{1}{2}, p_{01} = p_{10} = 0

。

两个表的行和与列和完全一致，即边缘分布相同；但在甲中

X, Y

相互独立，

P (X = Y) = \frac{1}{2}

，而在乙中

X \equiv Y

，

P (X = Y) = 1

，两个联合分布相差极大。连续型的例子更为直接：边缘都是

N (0, 1)

而

ρ

不同的二维正态分布，边缘完全相同，联合分布却各不相同。由此可见，边缘分布决不能唯一确定联合分布，只有条件分布或独立性才能反映两者之间的关系。

3. 连续条件密度为什么是 $f (x, y) / f_{Y} (y)$ ：不能直接对事件 ${Y = y}$ 用条件概率★★ 必会

在离散情形，

P (X = x_{i} ∣ Y = y_{j}) = \frac{p _{ij}}{p _{\cdot j}}

直接由条件概率的定义得到。但连续情形有一个障碍：

P (Y = y) = 0

，于是条件概率

\frac{P ( \cdot , Y = y )}{P ( Y = y )} = \frac{0}{0}

没有定义。所以连续型的条件密度不能照抄离散型的公式，而必须先取一个窄条

{y < Y \leq y + Δ y}

，再令

Δ y \to 0

取极限来定义。明白了这个来历，才真正懂得条件密度为什么等于联合密度的一个截口除以边缘密度，也才不会在离散与连续之间混用公式。

证明 / 推导

证对

Δ y > 0

，先用有意义的条件概率，得

P (X \leq x ∣ y < Y \leq y + Δ y) = \frac{\int _{- \infty}^{x} \int _{y}^{y + Δ y} f ( u , v ) d v d u}{\int _{y}^{y + Δ y} f _{Y} ( v ) d v} .

当

Δ y \to 0^{+}

时，分子

\approx Δ y \int_{- \infty}^{x} f (u, y) d u

，分母

\approx Δ y f_{Y} (y)

，公因子

Δ y

相消，于是

P (X \leq x ∣ Y = y) := Δ y \to 0^{+} lim (\dots) = \frac{\int _{- \infty}^{x} f ( u , y ) d u}{f _{Y} ( y )} (f_{Y} (y) > 0) .

两边对

x

求导，即得条件密度

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )} .

这就说明了公式中分子为什么是联合密度、分母为什么是边缘密度。它是取极限的结果，而不是直接套用条件概率得到的。

4. 条件期望与全期望公式 $E (X) = E [E (X ∣ Y)]$ ：先分情形、再加权的有效方法★★ 必会

定义条件期望

E (X ∣ Y = y) = \int x f_{X ∣ Y} (x ∣ y) d x

（离散型用条件分布律同理），它是

y

的函数；把

y

换成随机变量

Y

，就得到随机变量

E (X ∣ Y)

。全期望公式（又称重期望公式）为

E (X) = E [E (X ∣ Y)] .

它的含义是先分层平均、再合并：先在每个

Y = y

的层内求

X

的平均值，再按

Y

的分布把各层的平均值加权汇总，就还原出总的平均值。凡是分两个阶段进行的问题，即先随机地确定条件、再取值的问题，它都能把不易计算的

E (X)

拆成两步容易计算的期望。

证明 / 推导

证只证连续型的情形。按定义展开外层的期望，得

E [E (X ∣ Y)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} E (X ∣ Y = y) f_{Y} (y) d y = \int_{- \infty}^{+ \infty} (\int_{- \infty}^{+ \infty} x \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )} d x) f_{Y} (y) d y .

分母中的

f_{Y} (y)

与外层的

f_{Y} (y)

相消，故

= \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x, y) d x d y = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f_{X} (x) d x = E (X) .

举例说明

某店一天来客数

N \sim P (λ)

，每位顾客消费额

X_{i}

相互独立、与

N

独立、均值

E (X_{i}) = μ

。求日营业额

S = i = 1 \sum N X_{i}

的期望。解直接对项数随机的和求期望是困难的。为此先固定

N = n

，得

E (S ∣ N = n) = E (i = 1 \sum n X_{i}) = n μ ⟹ E (S ∣ N) = N μ .

再用全期望公式：

E (S) = E [E (S ∣ N)] = E (N μ) = μ E (N) = λ μ .

两步即可算出。由此可见全期望公式的作用；这一结论也是瓦尔德等式的特例。

5. 二维正态的条件分布仍是正态，条件均值就是回归直线★ 要懂

对

(X, Y) \sim N (μ_{1}, μ_{2}; σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}; ρ)

，有

Y ∣ X = x \sim N (μ_{2} + ρ \frac{σ _{2}}{σ _{1}} (x - μ_{1}), σ_{2}^{2} (1 - ρ^{2})) .

这里有两点值得注意：(1) 条件均值

E (Y ∣ X = x) = μ_{2} + ρ \frac{σ _{2}}{σ _{1}} (x - μ_{1})

是

x

的线性函数，这条直线就是统计中的回归直线，其斜率中含有

ρ

；(2) 条件方差

σ_{2}^{2} (1 - ρ^{2})

不依赖于 $x$ ，并且比无条件方差

σ_{2}^{2}

小。这说明知道了

X

以后，对

Y

的不确定性就下降了，

∣ ρ ∣

越大下降得越多；当

ρ = \pm 1

时下降为

0

，此时两者完全线性相关。在正态的场合，条件分布最清楚地恢复了两个变量之间的关系。

证明 / 推导

证由标准二维正态分布（此时

μ = 0, σ = 1

）的因子分解（参看 17.1 中边缘分布的推导）得

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = \frac{f ( x , y )}{f _{X} ( x )} = \frac{1}{2 π ( 1 - ρ ^{2} )} exp {- \frac{( y - ρ x ) ^{2}}{2 ( 1 - ρ ^{2} )}},

即

Y ∣ X = x \sim N (ρ x, 1 - ρ^{2})

。对一般情形，令

\tilde{X} = \frac{X - μ _{1}}{σ _{1}}, \tilde{Y} = \frac{Y - μ _{2}}{σ _{2}}

，则

(\tilde{X}, \tilde{Y})

为标准二维正态，于是

\tilde{Y} ∣ \tilde{X} = \tilde{x} \sim N (ρ \tilde{x}, 1 - ρ^{2})

。代回

Y = μ_{2} + σ_{2} \tilde{Y}

与

\tilde{x} = \frac{x - μ _{1}}{σ _{1}}

，得

E (Y ∣ X D (Y ∣ X = x) = μ_{2} + σ_{2} ρ \frac{x - μ _{1}}{σ _{1}} = x) = σ_{2}^{2} (1 - ρ^{2})

这就证明了条件均值是线性的，条件方差是常数。这种结构是正态分布特有的。

💡 小知识

边缘分布这个名字听着有些玄，来历却平淡无奇：早期统计学家把联合频数表按行、按列分别求和，把结果写在表格的页边空白处，也就是 margin 上。这些写在边上的分布因此被称为 marginal distribution，中文直译过来就是边缘分布。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

(X, Y)

的联合分布律为

X \ Y 01 0 0.1 0.3 1 0.2 0.4

求：（1）

X

与

Y

的边缘分布律；（2）条件概率

P (X = 0 ∣ Y = 1)

。难度 1

（1）边缘分布律 = 按行、按列求和。
对每一行求和得

X

的边缘：

P (X = 0) = 0.1 + 0.2 = 0.3, P (X = 1) = 0.3 + 0.4 = 0.7.

对每一列求和得

Y

的边缘：

P (Y = 0) = 0.1 + 0.3 = 0.4, P (Y = 1) = 0.2 + 0.4 = 0.6.

（2）条件概率，用

P (X = 0 ∣ Y = 1) = \frac{P ( X = 0 , Y = 1 )}{P ( Y = 1 )}

：

P (X = 0 ∣ Y = 1) = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3} .

小结：边缘靠「行和 / 列和」，条件靠「联合

\div

边缘」。

例 2 设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {x + y, 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1, 其他 .

求边缘概率密度

f_{X} (x)

与

f_{Y} (y)

。难度 2

边缘密度 = 把另一个变量积分掉。 支撑是正方形，对固定的

x \in (0, 1)

，

y

在

(0, 1)

上变动：

f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y = \int_{0}^{1} (x + y) d y = [x y + \frac{y ^{2}}{2}]_{0}^{1} = x + \frac{1}{2}, 0 < x < 1.

由

x, y

地位对称，同理

f_{Y} (y) = \int_{0}^{1} (x + y) d x = y + \frac{1}{2}, 0 < y < 1.

区间外均为

0

。小结：结果只能含自身变量——

f_{X} (x)

里不再出现

y

，否则必是定限或积分出错。

例 3 设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {3 x, 0, 0 < y < x < 1, 其他 .

求：（1）边缘密度

f_{X} (x)

；（2）条件密度

f_{Y ∣ X} (y ∣ x)

。难度 2

支撑是三角形

0 < y < x < 1

（直线

y = x

、

y = 0

、

x = 1

所围）。

（1）求 $f_{X} (x)$ 。 固定

x \in (0, 1)

，则

y

从

0

到

x

：

f_{X} (x) = \int_{0}^{x} 3 x d y = 3 x \cdot x = 3 x^{2}, 0 < x < 1.

（2）求条件密度。 当

0 < x < 1

（此时

f_{X} (x) > 0

）时，

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = \frac{f ( x , y )}{f _{X} ( x )} = \frac{3 x}{3 x ^{2}} = \frac{1}{x}, 0 < y < x .

即「已知

X = x

」时，

Y

在

(0, x)

上服从均匀分布。可验证

\int_{0}^{x} \frac{1}{x} d y = 1

，归一化正确。
小结：非矩形支撑上，积分限随

x

变化，画出三角形是定限的关键。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额

Y

与投保人的损失额

X

的关系为

Y = {0, X - 100, X \leq 100, X > 100.

设损失事件发生时，投保人的损失额

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 \times 10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{3}}, 0, x > 0, x \leq 0.

（Ⅰ）求

P {Y > 0}

及

E (Y)

；
（Ⅱ）这种损失事件在一年内发生的次数记为

N

，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为

M

。假设

N

服从参数为

8

的泊松分布，在

N = n (n \geq 1)

的条件下，

M

服从二项分布

B (n, p)

，其中

p = P {Y > 0}

，求

M

的概率分布.

2024 年 · 数一 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {2 (1 - x), 0, 0 < x < 1, 其他,

在

X = x (0 < x < 1)

的条件下，随机变量

Y

服从区间

(x, 1)

上的均匀分布，则

Cov (X, Y) =

（　　）

A $- \frac{1}{36}$ .
B $- \frac{1}{72}$ .
C $\frac{1}{72}$ .
D $\frac{1}{36}$ .

2022 年 · 数一 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X \sim N (0, 1)

，在

X = x

的条件下，随机变量

Y \sim N (x, 1)

，则

X

与

Y

的相关系数为（　　）

A $\frac{1}{4}$ .
B $\frac{1}{2}$ .
C $\frac{3}{3}$ .
D $\frac{2}{2}$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

(X, Y)

的联合分布律为

X \ Y 12 0 0.1 0.2 1 0.1 0.2 2 0.2 0.2

则边缘概率

P (X = 2) =

（　）。

A $0.4$
B $0.5$
C $0.6$
D $0.7$

练习 2 · 填空题

设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = x + y (0 < x < 1, 0 < y < 1)

，其余为

0

，则边缘密度

f_{X} (x) =

____（

0 < x < 1

）。

练习 3 · 选择题

设

(X, Y)

的联合分布律为

X \ Y 12 0 0.1 0.2 1 0.1 0.2 2 0.2 0.2

则条件概率

P (Y = 0 ∣ X = 1) =

（　）。

A $\frac{1}{4}$
B $\frac{1}{3}$
C $\frac{2}{5}$
D $\frac{1}{10}$

练习 4 · 填空题

设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = 4 x y (0 < x < 1, 0 < y < 1)

，其余为

0

，则边缘密度

f_{X} (x) =

____（

0 < x < 1

）。

练习 5 · 选择题

设

(X, Y)

在单位圆盘

D = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 1}

上服从均匀分布，则

X

的边缘概率密度为（　）。

A $f_{X} (x) = \frac{1}{2} 1 - x^{2}, - 1 < x < 1$
B $f_{X} (x) = \frac{1}{π} 1 - x^{2}, - 1 < x < 1$
C $f_{X} (x) = \frac{2}{π} (1 - x^{2}), - 1 < x < 1$
D $f_{X} (x) = \frac{2}{π} 1 - x^{2}, - 1 < x < 1$

练习 6 · 填空题

设

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {y e^{- x y}, 0, 0 < y < 1, x > 0, 其他,

则

P (X > 1) =

____。

练习 7 · 解答题

设二维随机变量

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {k (1 - x), 0, 0 < y < x < 1, 其他 .

（1）求常数

k

；
（2）求边缘概率密度

f_{X} (x)

与

f_{Y} (y)

，并判断

X

与

Y

是否相互独立；
（3）求条件概率密度

f_{Y ∣ X} (y ∣ x)

，并计算

P (Y > \frac{1}{2} X = \frac{3}{4})

。

2014 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设随机变量

X

的概率分布为

P {X = 1} = P {X = 2} = \frac{1}{2}

。在给定

X = i

的条件下，随机变量

Y

服从均匀分布

U (0, i) (i = 1, 2)

。

（I）求

Y

的分布函数

F_{Y} (y)

；

（II）求

E (Y)

。

2010 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = A e^{- 2 x^{2} + 2 x y - y^{2}}, - \infty < x < + \infty, - \infty < y < + \infty,

求常数

A

及条件概率密度

f_{Y ∣ X} (y ∣ x)

2005 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 9 分

设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {1, 0, 0 < x < 1, 0 < y < 2 x, 其他 .

求：（I）

(X, Y)

的边缘概率密度

f_{X} (x)

，

f_{Y} (y)

；

（II）

Z = 2 X - Y

的概率密度

f_{Z} (z)

。

边缘分布与条件分布

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 求边缘分布的基本方法：连续型对另一个变量积分（积分限由支撑集确定），离散型求行和与列和★★ 必会

2. 边缘分布不能确定联合分布：相同的边缘可以对应完全不同的联合分布★ 要懂

3. 连续条件密度为什么是 f(x,y)/fY​(y)：不能直接对事件 {Y=y} 用条件概率★★ 必会

4. 条件期望与全期望公式 E(X)=E[E(X∣Y)]：先分情形、再加权的有效方法★★ 必会

5. 二维正态的条件分布仍是正态，条件均值就是回归直线★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 连续条件密度为什么是 $f (x, y) / f_{Y} (y)$ ：不能直接对事件 ${Y = y}$ 用条件概率★★ 必会

4. 条件期望与全期望公式 $E (X) = E [E (X ∣ Y)]$ ：先分情形、再加权的有效方法★★ 必会