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连续型随机变量及其概率密度

概率论与数理统计 · 随机变量及其分布

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 概率密度：概率是面积，不是高度

若存在非负可积函数

f

，使得对一切

x

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t,

就说

X

是连续型随机变量，

f

叫它的概率密度。

f

要满足两条：

f (x) \geq 0, \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1.

第二条是上一节「

\sum p_{k} = 1

」的连续版，定待定常数靠的就是它。

最要紧的一句： $f (x)$ 不是概率。 它可以大于

1

。
真正的概率是

f

下面的面积：

f (x) d x

才是「落在

x

附近一小段里」的概率。

2. $f$ 与 $F$ 互化：一个积分，一个求导

由 $f$ 求 $F$ ：积分（从

- \infty

累加到

x

）。

由 $F$ 求 $f$ ：求导。在

f

的连续点处

F^{'} (x) = f (x) .

区间概率两种写法都行：

P (a < X < b) = \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

连续型里开闭无所谓：

P (X = a) = 0

，所以

P (a \leq X \leq b) = P (a < X < b) .

这是和离散型最显眼的区别——那边差一个等号就差一整项。

3. 这一节九成的题：定常数、写 $F$

两步流程，几乎所有题都走它：

① 用 $\int_{- \infty}^{+ \infty} f = 1$ 定出待定常数（只在

f

不为零的那段上积）。

② 分段写 $F$ ，每一段都是从 $- \infty$ 累积到 $x$ 。

第二步最容易错的地方：在第二段、第三段上，要把前面各段已经积下来的量加上，
而不是只积当前这一段。

检查办法：

F

在每个分段点处左右要接得上（

F

必须连续），
而且最后一段必须恰好是

1

。

4. 两类随机变量的三处对照

把上一节和这一节摆在一起看：

规范性 点概率 F 离散型 \sum p_{k} = 1 p_{k} > 0 阶梯 连续型 \int f = 1 0 连续

算概率时：离散型把该要的几项加起来，连续型在该要的区间上积分。

一条翻译贯穿始终：求和 $\leftrightarrow$ 积分。 记住它，
连续型这一半几乎不必额外记——后面的期望、方差也照这条翻译过去。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

定待定常数

第一步：看清

f

在哪一段上不为零——积分只在那一段做。

第二步：写出

\int f = 1

并解出常数。

第三步：回头验非负性，舍去使

f < 0

的解。

第四步：把定好的常数代回

f

，再往下做。

例例. 设

f (x) = {k x, 0, 0 < x < 2 其他

，求

k

。

第一步，

f

只在

(0, 2)

上不为零，积分只在这一段做。

第二步，

\int_{0}^{2} k x d x = 2 k = 1 ⟹ k = \frac{1}{2} .

第三步，验非负：

k = \frac{1}{2} > 0

，在

(0, 2)

上

f > 0

✓（若解出两个根，要舍掉使

f < 0

的那个。）

第四步，代回：

f (x) = \frac{x}{2}

（

0 < x < 2

），其余为

0

。

在整条实轴上积分是最常见的错——

\int_{- \infty}^{+ \infty} k x d x

根本不收敛。先看清 $f$ 在哪一段上不为零。

由 $f$ 写分布函数

第一步：按

f

的分段点把实轴分成几段。

第二步：最左边那段

F = 0

。

第三步：中间每一段，

F (x) =

前面各段的总面积

+ \int_{本段起点}^{x} f

。

第四步：最右边

F = 1

；检查各分段点处左右接得上。

例例. 接上题，求

F (x)

。

第一步，分段点是

0

与

2

，实轴分成三段。

第二步，

x < 0

时

F = 0

。

第三步，

0 \leq x < 2

时，前面各段面积为

0

，加上本段从起点积到

x

：

F (x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{2} d t = \frac{x ^{2}}{4} .

第四步，

x \geq 2

时

F = 1

。检查分段点接得上：

x \to 2^{-}

时

\frac{x ^{2}}{4} \to 1

✓

x \to 0^{+}

时

\to 0

✓

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{x ^{2}}{4}, 1, x < 0 0 \leq x < 2 x \geq 2

接不上就说明某一段漏算了前面的面积——这一验比重算一遍便宜得多。

算区间概率

第一步：有

F

就直接作差

F (b) - F (a)

；没有就积分。

第二步：积分时只在

f

不为零的那部分上积（区间要与

f

的定义段取交）。

第三步：开闭不必管——连续型里单点概率为

0

。

第四步：答案应当落在

[0, 1]

内。

例例. 接上题，求

P (1 < X < 3)

与

P (X = 1)

。

第一步，有

F

就直接作差。

3

在定义段之外，

F (3) = 1

：

P (1 < X < 3) = F (3) - F (1) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} .

第二步，用积分也一样，但区间要与 $f$ 不为零的那段取交：

(1, 3) \cap (0, 2) = (1, 2)

，

\int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} ✓

硬算

\int_{1}^{3} \frac{x}{2} d x = 2

会得到一个大于

1

的「概率」——那就是没取交的后果。

第三步，开闭不必管：

P (X = 1) = 0

，所以

P (1 \leq X \leq 3)

同样是

\frac{3}{4}

。

第四步，

\frac{3}{4} \in [0, 1]

✓

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把 $f (x)$ 当成概率

f (x)

可以大于

1

，它不是概率；

f (x) d x

才是。

症状：看到

f (0.9) = 1.8

就认为题目出错了，或者把

f (a)

当成

P (X = a)

。

概率是面积——这句话能挡住这一节一半的错。

写 $F$ 时每段单独积

第二段必须加上第一段已积下的面积，否则

F

在分段点掉回去。

检查：每个分段点左右的值要相等，最后一段是 $1$ 。

连续型的

F

一定连续，图像上不许有断崖。

积分区间没和 $f$ 的定义段取交

f

只在

[0, 1]

上非零时，

\int_{0.5}^{2} f

实际只能积到

1

。

把上限原样写成

2

并代入原函数，会算出大于

1

的概率。

先画一眼 $f$ 的支撑区间，再决定积分上下限。

把离散型的「等号要紧」搬过来

连续型里

P (X = a) = 0

，所以

\leq

与

<

完全一样。

在这里纠结开闭是白费力气；反过来，在离散型里不纠结就要丢分。

做题时先认清是哪一类，再决定要不要数等号。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认密度

练 1

概率密度的两条要求是

f (x) \geq 0

与 ________。

练 2

关于概率密度

f (x)

的取值（）。

A必须不超过 $1$
B可以大于 $1$
C必须小于 $1$
D必须等于 $1$

练 3

设

f (x) = c x^{2}

（

0 \leq x \leq 1

），其余为

0

，则

c =

________。

练 4

对连续型随机变量，

P (X = a) =

（）。

A $f (a)$
B $F (a)$
C $0$
D $1$

第二组 · 互化

练 5

设

f (x) = 2 x

（

0 \leq x \leq 1

），则

F (0.5) =

________。

练 6

承上题，

P (0.5 < X < 0.8) =

________。

练 7

在

f

的连续点处，

f

与

F

的关系是（）。

A $f^{'} = F$
B $F = f$
C两者没有关系
D $F^{'} = f$

练 8

对连续型随机变量，

P (a \leq X \leq b)

与

P (a < X < b)

________（填「相等」或「不等」）。

第三组 · 定常数与对照

练 9

设

f (x) = c e^{- x}

（

x > 0

），其余为

0

，则

c =

________。

练 10

分段写

F (x)

时，在第二段上应当（）。

A只积这一段的 $f$
B加上前面各段已积下来的面积
C一律从 $0$ 开始重新算
D取两段的平均

练 11

设

f (x) = 2 x

（

0 \leq x \leq 1

），则

P (X > 0.5) =

________。

练 12

离散型与连续型的「规范性」分别是（）。

A $\sum p_{k} = 1$ 与 $\int f = 1$
B两者都是求和等于 $1$
C两者都是积分等于 $1$
D $\sum p_{k} = 1$ 与 $F^{'} = 1$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

连续型随机变量及其概率密度

先打基础

1. 概率密度：概率是面积，不是高度

2. f 与 F 互化：一个积分，一个求导

3. 这一节九成的题：定常数、写 F

4. 两类随机变量的三处对照

常用结构

定待定常数

由 f 写分布函数

算区间概率

基础易错

把 f(x) 当成概率

写 F 时每段单独积

积分区间没和 f 的定义段取交

把离散型的「等号要紧」搬过来

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. $f$ 与 $F$ 互化：一个积分，一个求导

3. 这一节九成的题：定常数、写 $F$

由 $f$ 写分布函数

把 $f (x)$ 当成概率

写 $F$ 时每段单独积

积分区间没和 $f$ 的定义段取交