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常见离散分布（二项、泊松、几何等）

概率论与数理统计 · 随机变量及其分布

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 二项分布：固定做 $n$ 次，数成功了几次

只有两种结果（成功／失败）的试验叫伯努利试验，记

P (成功) = p

。

把它独立地重复 $n$ 次，令

X

为成功的次数，则

P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k},

k = 0, 1, \dots, n

。记作

X \sim B (n, p)

。

三个因子各管一件事：

C_{n}^{k}

管「哪几次成功」，

p^{k}

管成功的那几次，

(1 - p)^{n - k}

管失败的那几次。

n = 1

时只取

0

、

1

，叫 $0$ - $1$ 分布（两点分布）——它是二项分布最简单的特例。

2. 泊松分布：单位时间里稀有事件的次数

P (X = k) = \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ},

其中

k = 0, 1, 2, \dots

记作

X \sim P (λ)

。取值有可列无穷个，没有上限。

它描述「单位时间（或单位面积）内，稀有事件发生的次数」：
交换台的呼叫数、一段路一年的事故数、一页书上的错字数。

参数

λ

就是平均次数。

和二项分布的关系（泊松定理）：

n

很大、

p

很小时，

B (n, p) \approx P (λ), λ = n p .

所以泊松分布常被看成「

n

次机会各自很小」的极限情形。

3. 几何分布：一直试到第一次成功

每次成功率都是

p

，独立重复，令

X

为首次成功时的试验次数，则

P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p,

其中

k = 1, 2, \dots

读法：前

k - 1

次都失败，第

k

次成功。

和为

1

靠等比级数：

k \geq 1 \sum (1 - p)^{k - 1} p = \frac{p}{1 - ( 1 - p )} = 1.

它有一条特别的性质——无记忆性：

P (X > m + n ∣ X > m) = P (X > n) .

已经白试了

m

次，接下来还要等多久，和从头开始完全一样。

4. 认题：三种试验结构对三个分布

题面里的结构决定用哪个分布：

固定做 $n$ 次，问成功几次

\to

二项

B (n, p)

；

单位时间／区域内计数，没有上限且事件稀有

\to

泊松

P (λ)

；

一直试到第一次成功，问试了几次

\to

几何。

还有第四种常见结构：不放回地抽取，问其中有几件次品——那是超几何分布

P (X = k) = \frac{C _{M}^{k} C _{N - M}^{n - k}}{C _{N}^{n}},

就是古典概型那一节摸球模型的样子。

二项与超几何的分水岭只有一条：放不放回。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

认出该用哪个分布

第一步：问试验次数是不是固定的。固定

\to

二项或超几何。

第二步：固定次数时再问放不放回。放回（独立）

\to

二项；不放回

\to

超几何。

第三步：次数不固定、一直试到成功

\to

几何。

第四步：不是「做几次」而是「单位时间内计数」，且事件稀有

\to

泊松。

例例. 四种情形各用哪个分布？

第一步，「抛

10

次硬币，正面次数」——次数固定（

10

次）。

第二步，各次独立、相当于放回

\Rightarrow

二项

B (10, 0.5)

。

若改成「从

50

件（含

5

件次品）中不放回取

10

件，次品数」——次数仍固定但不放回

\Rightarrow

超几何。

第三步，「一直抛到第一次出正面，抛的次数」——次数不固定

\Rightarrow

几何。

第四步，「某路口一小时内的事故数」——不是「做几次」而是单位时间内计数、事件稀有

\Rightarrow

泊松。

认错分布后面每一步都白做。先问「次数固定吗」，再问「放不放回」，顺序别乱。

用二项分布算概率

第一步：读出

n

（试验次数）与

p

（单次成功率）。

第二步：把问题翻译成

k

的范围（恰好、至少、至多）。

第三步：逐项代

C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

并求和。

第四步：「至少一次」走对立：

1 - (1 - p)^{n}

，一项代替一串。

例例. 射手命中率

0.8

，独立射击

5

次。求「恰好中

4

次」与「至少中

1

次」。

第一步，

n = 5

、

p = 0.8

。

第二步，「恰好

4

次」是

k = 4

；「至少

1

次」是

k \geq 1

。

第三步，

P (X = 4) = C_{5}^{4} (0.8)^{4} (0.2) = 5 \times 0.4096 \times 0.2 = 0.4096.

第四步，「至少一次」走对立，一项代替一串：

P (X \geq 1) = 1 - (0.2)^{5} = 1 - 0.00032 = 0.99968.

硬算

k = 1, \dots, 5

五项相加，答案一样但要算五个组合数。「至少」就想对立，这该是条件反射。

泊松与几何的常规动作

第一步：泊松先读出

λ

（平均次数），注意时间单位要和题目一致。

第二步：代

\frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ}

，答案保留

e^{- λ}

。

第三步：几何分布读出

p

，代

(1 - p)^{k - 1} p

，注意指数是

k - 1

。

第四步：几何分布问「超过

m

次」时直接用

P (X > m) = (1 - p)^{m}

。

例例. 总机平均每分钟接到

3

次呼叫（泊松），求一分钟内恰好

2

次；又设试验成功率

p = 0.2

，求「第

4

次才首次成功」与「前

3

次都没成功」。

第一步，泊松的

λ = 3

。时间单位要和题目一致——问「两分钟内」就要把

λ

换成

6

。

第二步，

P (X = 2) = \frac{3 ^{2}}{2 !} e^{- 3} = 4.5 e^{- 3},

答案保留 $e^{- 3}$ ，不必化成小数。

第三步，几何分布：

P (X = 4) = (0.8)^{3} \times 0.2 = 0.1024

。指数是 $k - 1 = 3$ ，不是 $4$ 。

第四步，「前

3

次都没成功」就是

P (X > 3) = (0.8)^{3} = 0.512

——直接用尾概率，不必把

k = 4, 5, 6, \dots

加起来。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

二项分布把 $k$ 与 $n - k$ 的指数写反

成功

k

次配

p^{k}

，失败

n - k

次配

(1 - p)^{n - k}

。

写反之后在

p = 0.5

时看不出来（两者相等），换个

p

就全错。

按「分两步数」重推一遍比硬记可靠：先选哪几次成功，再写两段概率。

几何分布的指数写成 $k$

失败只发生在前 $k - 1$ 次，所以是

(1 - p)^{k - 1} p

。

写成

(1 - p)^{k} p

时，所有概率加起来等于

1 - p

，不是

1

——验和就能查出来。

记法：最后那一次是成功的，不能算进失败里。

泊松分布漏掉 $e^{- λ}$ 或把 $λ$ 的单位弄错

e^{- λ}

是归一化常数，漏了之后概率会大得离谱。

另一个常见错是单位：题目说「每小时

6

次」而问的是「某

10

分钟内」，
这时

λ

要换算成

1

。

读题时把 $λ$ 的时间单位和问题的时间单位对齐。

不放回却套二项分布

不放回时各次不独立，应当用超几何（或乘法公式顺着写）。

症状：算出来的概率与枚举法对不上。

只有 $N$ 远大于 $n$ 时才可以用二项近似，而且要在答卷上说明这是近似。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认分布

练 1

X \sim B (n, p)

的分布律：

P (X = k) =

________。

练 2

0

1

分布是二项分布

B (n, p)

中（）的特例。

A $n = 1$
B $p = 1$
C $k = 1$
D $n = 0$

练 3

泊松分布

P (λ)

的分布律：

P (X = k) =

________。

练 4

几何分布描述的是（）。

A固定做 $n$ 次试验中成功的次数
B首次成功时所做的试验次数
C单位时间内事件发生的次数
D不放回抽样中的次品数

第二组 · 代公式

练 5

命中率

0.8

，独立射击

5

次，恰好命中

3

次的概率为 ________。

练 6

平均每分钟接到

3

次呼叫，某分钟恰好接到

2

次的概率为 ________（用

e

表示）。

练 7

掷骰子直到出现

6

，恰好第

3

次成功的概率为 ________。

练 8

二项分布公式中的

C_{n}^{k}

代表（）。

A单次成功的概率
B单次失败的概率
C「哪几次成功」的选法数
D试验的总次数

第三组 · 性质与辨析

练 9

泊松分布的各项概率之和等于

1

，靠的是（）。

A等比级数求和
B $e^{λ}$ 的泰勒展开
C二项式定理
D洛必达法则

练 10

几何分布的无记忆性：

P (X > m + n ∣ X > m) =

________。

练 11

从

N

件（含

M

件次品）中不放回地取

n

件，次品数服从（）。

A二项分布
B泊松分布
C几何分布
D超几何分布

练 12

命中率

0.8

，独立射击

5

次，至少命中

1

次的概率为 ________（写成表达式即可）。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

常见离散分布（二项、泊松、几何等）

先打基础

1. 二项分布：固定做 n 次，数成功了几次

2. 泊松分布：单位时间里稀有事件的次数

3. 几何分布：一直试到第一次成功

4. 认题：三种试验结构对三个分布

常用结构

认出该用哪个分布

用二项分布算概率

泊松与几何的常规动作

基础易错

二项分布把 k 与 n−k 的指数写反

几何分布的指数写成 k

泊松分布漏掉 e−λ 或把 λ 的单位弄错

不放回却套二项分布

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 二项分布：固定做 $n$ 次，数成功了几次

二项分布把 $k$ 与 $n - k$ 的指数写反

几何分布的指数写成 $k$

泊松分布漏掉 $e^{- λ}$ 或把 $λ$ 的单位弄错