事件的独立性

概率论与数理统计 · 随机事件与概率

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 定义：知道了 $B$ ，对 $A$ 的判断毫无改变

若

P (A B) = P (A) P (B),

就说

A

与

B

相互独立。

当

P (B) > 0

时，它等价于

P (A ∣ B) = P (A),

读作：知道 $B$ 发生了， $A$ 的概率一点没变——

B

这个消息对

A

毫无信息量。

教材用乘积式作定义，有两个好处：不要求

P (B) > 0

；而且式子对称，
「

A

独立于

B

」与「

B

独立于

A

」一眼就是同一件事。

独立不是从题面的字眼里看出来的，是算出来的（或者题目直接假设）。

2. 独立 $\neq =$ 互斥：一个是概率关系，一个是集合关系

这两个词最容易混，但它们连「类型」都不一样：

互斥是集合关系：

A B = \emptyset

，两件事不能同时发生；

独立是概率关系：

P (A B) = P (A) P (B)

，一件事的发生不改变另一件的概率。

更要紧的是，当 $P (A) > 0$ 、 $P (B) > 0$ 时，互斥一定不独立：

P (A B) = 0, P (A) P (B) > 0,

两者不可能相等。

直观上也说得通：互斥意味着「

A

发生了，

B

就一定没发生」——
这是最强的依赖，离「无关」远得很。

3. 三个事件：两两独立推不出相互独立

A, B, C

相互独立要求四个等式全部成立：

P (A B) = P (A) P (B), P (B C) = P (B) P (C), P (C A) = P (C) P (A), P (A B C) = P (A) P (B) P (C) .

只有前三条成立叫两两独立，它比相互独立弱——下面的例子就是现成的反例。

相互独立好用在于它可以继承：任取其中几个仍相互独立；
把其中任意几个换成对立事件（

A \to \overset{ˉ}{A}

），仍相互独立。

考试里说「相互独立」时，四个等式一个都不能少。

4. 用法：独立就相乘，「至少一个」就取对立

独立的全部用处是把交化成乘法：

P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = i = 1 \prod n P (A_{i}) .

而「至少一个发生」是个并，直接算要容斥（

n = 3

就有七项）。
配上第一节那条德摩根律：

P (至少一个) = 1 - P (都不) = 1 - i = 1 \prod n (1 - p_{i}) .

一个连乘换掉七项加减——这就是「看到至少想对立」在独立场合的威力。

别忘了：

A

与

B

独立时，

\overset{ˉ}{A}

与

\overset{ˉ}{B}

也独立，上式才用得成。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断两个事件是否独立

第一步：算出三个数

P (A)

、

P (B)

、

P (A B)

。

第二步：看

P (A B)

与

P (A) P (B)

相不相等。

第三步：相等就是独立，不等就是不独立——不要凭「看起来有没有关系」下判断。

第四步：题目若直接说「独立」，那就是给定条件，可以反过来用它算

P (A B)

。

例例. 掷一颗骰子，

A =

「点数为偶」、

B =

「点数

\leq 3

」。两者独立吗？

第一步，

P (A) = \frac{1}{2}

、

P (B) = \frac{1}{2}

；

A B = {2}

，

P (A B) = \frac{1}{6}

。

第二步，

P (A) P (B) = \frac{1}{4} \neq = \frac{1}{6}

。

第三步，不独立。凭感觉「奇偶和大小好像没关系」会答成独立——不要凭看起来有没有关系下判断，只看那个等式。

第四步，换

B^{'} =

「点数

\leq 4

」：

P (B^{'}) = \frac{2}{3}

，

A B^{'} = {2, 4}

，

P (A B^{'}) = \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}

✓ 独立。

两个

B

长得差不多，一个独立一个不独立——这正说明直觉在这里靠不住。

多个事件：逐条验等式

第一步：问清题目要的是「两两独立」还是「相互独立」。

第二步：两两独立验

C_{n}^{2}

个等式；相互独立还要验三重、四重…直到全部。

第三步：三个事件就是四个等式，少验一条都不算。

第四步：确认相互独立之后，可以放心把其中几个换成对立事件再用。

例例. 三个事件

A, B, C

相互独立，要验几个等式？

第一步，先问清题目要的是「两两独立」还是「相互独立」。

第二步，两两独立验

C_{3}^{2} = 3

个：

P (A B) = P (A) P (B)

、

P (A C) = P (A) P (C)

、

P (B C) = P (B) P (C)

。相互独立还要加三重的那一个：

P (A B C) = P (A) P (B) P (C) .

第三步，一共 $3 + 1 = 4$ 个等式，少验一条都不算相互独立。（确实存在两两独立却不相互独立的例子，所以第四个等式不是多余的。）

第四步，确认相互独立之后，可以放心把其中几个换成对立事件再用：

A, \overset{ˉ}{B}, C

仍然相互独立。

独立场合算「至少一个」

第一步：写出对立事件——「一个都不发生」。

第二步：它是交，用独立性把各个

1 - p_{i}

乘起来。

第三步：用

1

减去这个乘积。

第四步：验算——结果应当比每个单独的

p_{i}

都大。

例例. 三个元件独立工作，损坏概率分别是

0.1, 0.2, 0.3

。求「至少一个损坏」。

第一步，对立事件是「一个都不坏」。

第二步，它是交，由独立性把各个

1 - p_{i}

乘起来：

0.9 \times 0.8 \times 0.7 = 0.504.

第三步，

1 - 0.504 = 0.496

。

第四步，验算：

0.496

比每个单独的

p_{i}

（最大

0.3

）都大 ✓ 合理——多一个元件只会更容易出事。

若元件不独立，第二步就不成立，这条路整个走不通。所以「独立」这两个字要在题面里找到，不能自己假设。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把互斥当成独立

概率都大于零时，互斥一定不独立：

P (A B) = 0

而

P (A) P (B) > 0

。

症状：题目说「

A

与

B

互不相容」，解答里却写

P (A B) = P (A) P (B)

。

「互不相容」是互斥，不是独立——这两个词在题面里长得很像，读的时候要停一下。

三个事件只验两两就说相互独立

少了

P (A B C) = P (A) P (B) P (C)

那一条。两枚硬币那个例子就是反例。

反过来是对的：相互独立

\Rightarrow

两两独立。

看到「相互独立」四个字，心里要数出四个等式。

用 $P (A ∣ B) = P (A)$ 判断时忘了前提

这个等价形式要求

P (B) > 0

，否则条件概率根本没有定义。

解答题里用它之前先写一句「因

P (B) > 0

」。

更稳的做法是一律用乘积式判断——它没有前提，而且对称。

独立场合硬用容斥算「至少一个」

不算错，但三个事件要写七项，五个事件要写三十一项，抄错的机会远大于算错。

标准动作是

1 - \prod (1 - p_{i})

。

用之前确认一句：各事件相互独立吗？只有两两独立时，对立事件的连乘不成立。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

A

与

B

相互独立的定义式：

P (A B) =

________。

练 2

若

A

、

B

独立且

P (B) > 0

，则

P (A ∣ B) =

（）。

A $P (B)$
B $P (A B)$
C $P (A)$
D $1$

练 3

设

P (A) = 0.5

、

P (B) = 0.4

且两者独立，则

P (A B) =

________。

练 4

「互斥（互不相容）」描述的是（）。

A集合关系： $A B = \emptyset$
B概率关系： $P (A B) = P (A) P (B)$
C两者都是
D两者都不是

第二组 · 独立与互斥

练 5

若

P (A) > 0

、

P (B) > 0

且

A

与

B

互斥，则两者（）。

A一定独立
B一定不独立
C可能独立
D无法判断

练 6

A

、

B

独立，

P (A) = 0.5

、

P (B) = 0.4

，则

P (A \cup B) =

________。

练 7

三个元件独立工作，正常概率分别为

0.9

、

0.8

、

0.7

，则至少一个正常的概率为 ________。

练 8

若

A

、

B

相互独立，则（）。

A $\overset{ˉ}{A}$ 与 $\overset{ˉ}{B}$ 一定互斥
B $A$ 与 $B$ 一定互斥
C $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$
D $\overset{ˉ}{A}$ 与 $\overset{ˉ}{B}$ 也相互独立

第三组 · 多个事件

练 9

三个事件相互独立，一共需要验证 ________ 个等式。

练 10

掷两枚硬币，

A = {

第一枚正

}

、

B = {

第二枚正

}

、

C = {

两枚相同

}

，则（）。

A三者相互独立
B三者两两独立，但不相互独立
C三者两两都不独立
D $A$ 与 $B$ 不独立

练 11

承上题，

P (A B C) =

________。

练 12

n

个相互独立的事件，「至少一个发生」的概率应当这样算（）。

A把各个概率直接相加
B把各个概率相乘
C $1$ 减去各对立事件概率之积
D只能展开容斥公式

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

事件的独立性

先打基础

1. 定义：知道了 B，对 A 的判断毫无改变

2. 独立 = 互斥：一个是概率关系，一个是集合关系

3. 三个事件：两两独立推不出相互独立

4. 用法：独立就相乘，「至少一个」就取对立

常用结构

判断两个事件是否独立

多个事件：逐条验等式

独立场合算「至少一个」

基础易错

把互斥当成独立

三个事件只验两两就说相互独立

用 P(A∣B)=P(A) 判断时忘了前提

独立场合硬用容斥算「至少一个」

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 定义：知道了 $B$ ，对 $A$ 的判断毫无改变

2. 独立 $\neq =$ 互斥：一个是概率关系，一个是集合关系

用 $P (A ∣ B) = P (A)$ 判断时忘了前提