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全概率公式与贝叶斯公式

概率论与数理统计 · 随机事件与概率

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 完备事件组：把样本空间切成不重不漏的几块

若事件

B_{1}, \dots, B_{n}

满足

两两互斥（

B_{i} B_{j} = \emptyset

，

i \neq = j

）且并起来是 $Ω$ ，

就叫一个完备事件组（也叫

Ω

的一个划分）。通常还要求每块

P (B_{i}) > 0

。

直观地说：一次试验的结果必定落在、且只落在其中一块里。

最常用的划分只有两块：

{B, \overset{ˉ}{B}}

。此外「是哪条生产线造的」「第一次取到的是白球还是黑球」
也都是现成的划分。

两条缺一不可：完备保证不漏（每种情况都算到），互斥保证不重（同一块不会算两遍）。

2. 全概率公式：分情况讨论，再加权平均

设

B_{1}, \dots, B_{n}

是完备事件组，则对任何事件

A

，

P (A) = i = 1 \sum n P (B_{i}) P (A ∣ B_{i}) .

两块时就是最常用的那一式：

P (A) = P (B) P (A ∣ B) + P (\overset{ˉ}{B}) P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) .

读法：先分情况，再加权平均。

P (A ∣ B_{i})

是「落在第

i

种情况下

A

的概率」，

P (B_{i})

是这种情况出现的权重，而权重之和恰好是

1

。

什么时候想到它：直接算

A

很难，但「如果已知是哪种情况，就好算了」。

3. 贝叶斯公式：由果溯因

还是那组划分。已知

A

发生了，反过来问「它是由第

j

种情况造成的概率」：

P (B_{j} ∣ A) = \frac{P ( B _{j} ) P ( A ∣ B _{j} )}{P ( A )},

而分母上的

P (A)

正是全概率公式：

P (A) = i \sum P (B_{i}) P (A ∣ B_{i}) .

所以贝叶斯公式的形状很好记：分子是「第 $j$ 条路」，分母是「所有路之和」。

两个名字：

P (B_{j})

叫先验概率（还没看到结果时的判断），

P (B_{j} ∣ A)

叫后验概率（看到结果之后的修正）。

4. 认题与列表：两个公式共用同一组数

怎么认：

题面问「求某事件发生的概率」，而且要分情况才算得动

\to

全概率；

题面「已知结果，问原因」「已知取到次品，求它来自…」

\to

贝叶斯。

怎么做：一律先列一张表，每一行一种情况：

P (B_{i}) 0.2 0.3 0.5 P (A ∣ B_{i}) 0.05 0.04 0.02 乘积 0.01 0.012 0.01

第三列求和就是

P (A)

（全概率）；某一行除以这个和就是后验（贝叶斯）。

两问都在这张表上取数，不必重新代公式。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

列表：所有这类题的第一步

第一步：找出划分——题目里「分几种情况」那句话。写下每块的

P (B_{i})

。

第二步：验一下

\sum P (B_{i}) = 1

（查漏查重）。

第三步：逐行写

P (A ∣ B_{i})

——「在这种情况下，

A

的概率」。

第四步：第三列填乘积。表到此为止，两问都从它取数。

例例. 某产品甲厂供

60%

、乙厂供

40%

；次品率分别是

2%

与

5%

。先把表列出来。

第一步，划分是「来自甲厂 / 来自乙厂」：

P (B_{1}) = 0.6

、

P (B_{2}) = 0.4

。

第二步，验

0.6 + 0.4 = 1

✓ 不重不漏。

第三步，逐行写「在这种情况下，取到次品的概率」：

P (A ∣ B_{1}) = 0.02

、

P (A ∣ B_{2}) = 0.05

。

第四步，第三列填乘积：

0.6 \times 0.02 = 0.012, 0.4 \times 0.05 = 0.020.

表到此为止。下面两问（「取到次品的概率」「已知是次品、来自甲厂的概率」）全从这张表里取数，不必再回原题。

全概率：把第三列加起来

第一步：确认要求的是「某事件的概率」，而且必须分情况才算得动。

第二步：把表的第三列求和，得

P (A)

。

第三步：检查结果落在各

P (A ∣ B_{i})

的最小与最大之间。

第四步：答这一问；若还有第二问，这个和就是它的分母。

例例. 接上表，求任取一件是次品的概率。

第一步，要求的是「某事件的概率」，而且不分厂就算不动 ✓

第二步，第三列求和：

P (A) = 0.012 + 0.020 = 0.032.

第三步，检查：

0.032

落在

0.02

与

0.05

之间 ✓ 总次品率必然夹在两个分厂的次品率之间——这一验很便宜，却能抓住「忘了乘权重」这类错（直接把

0.02

与

0.05

相加会得到

0.07

，一眼就出界）。

第四步，答

3.2%

。这个和同时就是下一问的分母。

贝叶斯：某一行除以总和

第一步：认清问的是哪个原因（

B_{j}

），它对应表里的哪一行。

第二步：分子取那一行的乘积

P (B_{j}) P (A ∣ B_{j})

。

第三步：分母取第三列的和（即

P (A)

）。

第四步：相除。答案与先验

P (B_{j})

比一比，看修正的方向合不合常理。

例例. 接上表，已知取到的是次品，求它来自甲厂的概率。

第一步，问的原因是「甲厂」，对应表的第一行。

第二步，分子取那一行的乘积：

0.012

。

第三步，分母取第三列的和（即

P (A)

）：

0.032

。

第四步，

P (B_{1} ∣ A) = \frac{0.012}{0.032} = 0.375.

和先验比一比：甲厂本来占

60%

，知道「是次品」之后降到

37.5%

——方向合理，因为甲厂次品率更低，次品更可能来自乙厂。若算出来反而比

0.6

大，就一定有一步错了。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

划分不完备或有重叠

漏了一块，全概率就少算一部分；块与块重叠，重叠处被算两遍。

检查只要一步：

\sum P (B_{i}) = 1

。

常见的漏：只考虑「合格／不合格」却忘了还有第三类；
常见的重：把「至少一件次品」和「恰好一件次品」并列当成两块。

贝叶斯的分母写错

分母必须是

P (A)

——所有路之和，不是

P (B_{j})

，也不是

P (A ∣ B_{j})

。

症状很明显：算出来的概率大于

1

。

列表法能挡住这个错：分母就是第三列的和，摆在那里，不用想。

把 $P (A ∣ B_{i})$ 与 $P (B_{i} ∣ A)$ 读反

题目给的是「第

i

条线的次品率」，那是

P (A ∣ B_{i})

（已知来自第

i

条线）。

要求的「次品里有多少来自第

i

条线」才是

P (B_{i} ∣ A)

。

读题时在每个百分数旁边标清楚：这是「已知谁」的概率。 标错了，
整张表的两列就对调了。

权重不等于 $1$ 还往下算

\sum P (B_{i}) \neq = 1

说明划分有问题，这时全概率公式根本不成立。

遇到题目给的几个比例加不满

100%

，先回头找那块没写出来的「其余」。

列表的第二步就是干这个的，别跳过。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认公式

练 1

完备事件组要求各块两两 ________，且并起来等于

Ω

。

练 2

全概率公式是

P (A) =

（）。

A $\sum_{i} P (B_{i})$
B $\sum_{i} P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})$
C $\sum_{i} P (A ∣ B_{i})$
D $\prod_{i} P (B_{i})$

练 3

若

P (B_{1}) = 0.2

、

P (A ∣ B_{1}) = 0.05

，则这条路的乘积为 ________。

练 4

贝叶斯公式

P (B_{j} ∣ A)

的分母是（）。

A $P (B_{j})$
B $P (A ∣ B_{j})$
C $P (A)$ ，即所有路之和
D $1$

第二组 · 算两问

练 5

三条线产量占

0.2/0.3/0.5

，次品率

0.05/0.04/0.02

，任取一件是次品的概率为 ________。

练 6

承上题，已知取到的是次品，它来自第一条线的概率为 ________。

练 7

全概率公式算出的

P (A)

一定（）。

A大于所有的 $P (A ∣ B_{i})$
B小于所有的 $P (A ∣ B_{i})$
C等于 $1$
D落在最小与最大的 $P (A ∣ B_{i})$ 之间

练 8

两块划分时，

P (A) = P (B) P (A ∣ B) +

________。

第三组 · 用起来

练 9

盒中

3

白

2

黑，不放回取两次，用全概率公式求第二次取到白球的概率：________。

练 10

患病率

0.1%

，有病者

99%

查出阳性，无病者

5%

误报。某人阳性，他真有病的概率最接近（）。

A $2%$
B $99%$
C $95%$
D $50%$

练 11

贝叶斯公式：

P (B_{1} ∣ A) = P ( B _{1} ) P ( A ∣ B _{1} )

，横线处应填 ________。

练 12

这类题先列一张表，最大的好处是（）。

A可以不写公式
B两问共用同一组数，第二问只是取数
C可以避免使用乘法公式
D没有什么好处

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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