全概率公式与贝叶斯公式

§15.5 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.07 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

0.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）条件概率与乘法公式概率的定义与性质

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 完备事件组、全概率公式与贝叶斯公式：由因求果与执果溯因★★ 必会

① 完备事件组（ $Ω$ 的划分）：事件组

B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}

若满足 (i) 两两互斥：

B_{i} B_{j} = \emptyset (i \neq = j)

；(ii) 完备性：

B_{1} \cup B_{2} \cup \dots \cup B_{n} = Ω

，且各

P (B_{i}) > 0

，则称它为一个完备事件组（划分）。最简单的划分是

{B, \overset{ˉ}{B}}

。

② 全概率公式：设

{B_{i}}_{i = 1}^{n}

为完备事件组，则对任意事件

A

P (A) = i = 1 \sum n P (B_{i}) P (A ∣ B_{i}) .

其含义是由因求果：事件

A

可以经由

n

条互斥的途径

B_{i}

而发生，它的概率就是各条途径上的条件概率以

P (B_{i})

为权的加权和。

③ 贝叶斯公式：条件同上，再设

P (A) > 0

，则对每个

j

P (B_{j} ∣ A) = \frac{P ( B _{j} ) P ( A ∣ B _{j} )}{i = 1 \sum n P ( B _{i} ) P ( A ∣ B _{i} )} .

其含义是执果溯因：已经观察到结果

A

，反过来推算它由原因

B_{j}

引起的概率。

P (B_{j})

称为先验概率（观察之前对各原因的估计），

P (B_{j} ∣ A)

称为后验概率（根据证据

A

修正后的估计）；式中分子是由乘法公式给出的

P (B_{j} A)

，分母恰是由全概率公式给出的

P (A)

。

④ 两者的用法：若问结果发生的概率，用全概率公式；若已知结果，问某个原因的概率，用贝叶斯公式。两者的第一步相同，都要选好划分 ${B_{i}}$ （选取的方法见后面划分选得恰当一条）。

证明 / 推导

证 全概率公式：由完备性得

A = A Ω = A (⋃_{i} B_{i}) = ⋃_{i} A B_{i}

，且诸

A B_{i}

随

B_{i}

的互斥而两两互斥，故由有限可加性与乘法公式得

P (A) = i = 1 \sum n P (A B_{i}) = i = 1 \sum n P (B_{i}) P (A ∣ B_{i}) .

贝叶斯公式：由条件概率的定义与乘法公式得

P (B_{j} ∣ A) = \frac{P ( B _{j} A )}{P ( A )} = \frac{P ( B _{j} ) P ( A ∣ B _{j} )}{P ( A )},

再把分母用全概率公式展开，即得所证。

■

举例说明

1987·数一填空：三个箱子，第一箱

4

黑

1

白，第二箱

3

黑

3

白，第三箱

3

黑

5

白。随机取一箱、再从中取一球。(i) 求取出白球的概率；(ii) 已知取出的是白球，求它来自第二箱的概率。
解：设

A_{i} = {

取到第

i

箱

}

，它们构成一个完备事件组，且

P (A_{i}) = \frac{1}{3}

；再设

B = {

取出白球

}

。由各箱中白球所占的比例得

P (B ∣ A_{1}) P (B ∣ A_{2}) P (B ∣ A_{3}) = \frac{1}{5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = \frac{5}{8} .

(i) 由因求果，用全概率公式：

P (B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{8 + 20 + 25}{40} = \frac{53}{120} .

(ii) 执果溯因，用贝叶斯公式：

P (A_{2} ∣ B) = \frac{P ( A _{2} ) P ( B ∣ A _{2} )}{P ( B )} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{53}{120}} = \frac{20}{53} .

由先验到后验：先验概率

P (A_{2}) = \frac{1}{3} \approx 0.33

，后验概率升为

\frac{20}{53} \approx 0.38

。这是因为第二箱中白球所占的比例居中偏高，取出白球这一证据略微提高了它的可能性。三个后验概率

\frac{8}{53}, \frac{20}{53}, \frac{25}{53}

之和为

1

，可用作检验。

拓展 · 考纲外（选读；历年真题从未直接考） 2. 贝叶斯的几率形式：后验几率 = 先验几率 × 似然比

在两个对立假设

B, \overset{ˉ}{B}

之下，贝叶斯公式写成几率之比的形式特别简洁。记事件的几率为

O (B) = \frac{P ( B )}{P ( B ˉ )}

，则给定证据

A

后有：

后验几率 \frac{P ( B ∣ A )}{P ( B ˉ ∣ A )} = 先验几率 \frac{P ( B )}{P ( B ˉ )} \times 似然比 L R \frac{P ( A ∣ B )}{P ( A ∣ B ˉ )} .

式中分母

P (A)

已经约去，因此不必先算全概率。似然比 $L R$ 刻画证据 $A$ 对 $B$ 的支持强度：

L R > 1

时提高对该假设的信念，

L R < 1

时降低。若有多个条件独立的证据，则它们的似然比可以连乘。医学诊断与垃圾邮件过滤中反复使用的就是这一更新法则。

证明 / 推导

证对

B

与

\overset{ˉ}{B}

分别写出贝叶斯公式

P (B ∣ A) P (\overset{ˉ}{B} ∣ A) = \frac{P ( B ) P ( A ∣ B )}{P ( A )} = \frac{P ( B ˉ ) P ( A ∣ B ˉ )}{P ( A )}

两式相除，公共的分母

P (A)

约去，即得几率形式。

举例说明

重新计算试纸悖论。设患病率

P (B) = 0.001

，则先验几率

O (B) = \frac{0.001}{0.999} \approx \frac{1}{999}

；似然比

L R = \frac{P ( 阳 ∣ 病 )}{P ( 阳 ∣ 健 )} = \frac{0.99}{0.05} = 19.8

。

一次检验为阳性后，后验几率

\approx \frac{19.8}{999}

，化为概率是

\frac{19.8}{999 + 19.8} \approx 0.0194

（约

1.94%

），与直接计算所得一致，但计算更为简便。

若复检又为阳性（两次检验条件独立），则似然比再乘一个

19.8

：后验几率为

\frac{19. 8 ^{2}}{999} \approx 0.392

，概率为

\frac{392}{999 + 392} \approx 0.28

。可见只做一次复检，就把可信程度由约

2%

提高到约

28%

。这就是罕见病需要复检的定量理由。

3. 第一步分析法：用全概率公式建立递推方程

如果随机过程是一步一步进行的，且从某个状态出发的概率具有自相似的结构，那么可以对第一步的结果使用全概率公式，得到关于未知概率的方程或递推关系，这种方法称为第一步分析法（first-step analysis）。具体做法是：设所求概率为

p

（或与起点有关的

p_{i}

），按第一步所落入的各种情形（即一个划分）展开

p = j \sum P (第一步到 j) \cdot p_{j},

再解这个方程。这样就把无穷多步的问题化成了有限的方程。

举例说明

传球问题：甲、乙、丙三人互相传球，持球者等可能地传给另外两人中的一人，由甲开始。求第

n

次传球后球在甲手中的概率

p_{n}

。

对第

n

次传球，按第

n - 1

次球在谁手中使用全概率公式。球在第

n

次回到甲手中，必须第

n - 1

次不在甲手中（其概率为

1 - p_{n - 1}

），而持球者又以

1/2

的概率传给甲；如果第

n - 1

次球在甲手中，那么甲必将球传出，这一部分的贡献为

0

。故

p_{n} p_{0} = \frac{1}{2} (1 - p_{n - 1}) = 1.

下面解这个递推关系。其不动点为

p^{*} = \frac{1}{3}

，由

p_{n} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} (p_{n - 1} - \frac{1}{3})

得

p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{2})^{n} .

验证：

p_{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0

（第一次球必被传出，不可能仍在甲手中）；当

n \to \infty

时

p_{n} \to \frac{1}{3}

，与三人地位对称的直觉相符。

4. 摸球的对称性：第 $k$ 次摸到红球与第 $1$ 次同概率

设罐中有

a

只红球、

b

只白球，共

N = a + b

只，不放回地逐只摸出。虽然第

k

次摸到红球依赖于前面各次的结果，但它的无条件概率恒为

\frac{a}{N}

，与

k

无关。这一点既可用全概率公式归纳证明，也可以从

N

只球的随机排列中红球等可能地占据每个位置看出，其道理与抽签的公平性相同。用它可以迅速求出第

k

次取到某类球的概率，免去繁复的条件展开。

证明 / 推导

证记

R_{k} = {第 k 次摸到红}

。下面用排列的对称性来证明。把

N

只球摸出的顺序看作

1 \sim N

号位置的等可能全排列（把

a

只红球看作可区分），样本点总数为

N!

。第

k

个位置上放红球的有利情形数，是先取一只红球放在第

k

位（

a

种），其余

N - 1

只任意排列（

(N - 1)!

种），即

a (N - 1)!

。故

P (R_{k}) = \frac{a ( N - 1 )!}{N !} = \frac{a}{N},

它与

k

无关。

举例说明

把

52

张牌洗匀后逐张翻开，第

20

张是红桃的概率仍为

\frac{13}{52} = \frac{1}{4}

，与第

1

张是红桃的概率相同。由于各个位置是对称的，因此不必考虑前

19

张翻出的是什么。

5. 划分选得恰当，全概率公式才便于计算★ 要懂

用全概率公式或贝叶斯公式解题，成败在于划分 ${B_{i}}$ 选得是否恰当。选取时应遵循下列原则：①

B_{i}

应对应最自然的第一步随机因素，或最能决定

P (A ∣ B_{i})

的那种分类（例如由哪台机器生产、取自哪个盒子、第一次抽到什么）；② 在每个

B_{i}

之下，

P (A ∣ B_{i})

要便于计算，即条件一经给定，

A

就变得简单；③ 它们必须互斥且完备。同一道题若换一个划分，难易程度可能相差很大。

举例说明

设甲罐中有

2

只红球、

1

只白球，乙罐中有

1

只红球、

3

只白球。先从甲罐随机取一球放入乙罐，再从乙罐取一球，求从乙罐取到红球的概率。

取划分为从甲罐取出的球的颜色（这是决定乙罐成分的第一步随机因素）：

-

B_{1} = {甲取红}

，

P (B_{1}) = \frac{2}{3}

，此时乙罐中变为

2

红

3

白，

P (A ∣ B_{1}) = \frac{2}{5}

；
-

B_{2} = {甲取白}

，

P (B_{2}) = \frac{1}{3}

，乙罐中变为

1

红

4

白，

P (A ∣ B_{2}) = \frac{1}{5}

。

由全概率公式得

P (A) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{15} + \frac{1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} .

如果不取第一步所取球的颜色作为划分，而直接计算，就会十分繁乱。由此可见，划分选得是否恰当，往往决定了全概率问题能否顺利解出。

💡 小知识

贝叶斯公式出自 18 世纪牧师托马斯·贝叶斯的遗稿，他生前从未发表。两百多年后，垃圾邮件过滤、医学诊断、机器学习乃至搜索引擎排序，做的都是同一件事：用新证据去更新原有的信念，依据的也都是这一个公式。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 甲盒装有

3

白

2

黑共

5

球，乙盒装有

1

白

4

黑共

5

球。先等可能地任选一盒，再从中随机取一球。求取到白球的概率。难度 1

全概率公式：按「先选哪盒」分类，分类加权求和。

设

B_{1} = {

选中甲盒

}

，

B_{2} = {

选中乙盒

}

，

A = {

取到白球

}

。

P (B_{1}) = P (B_{2}) = \frac{1}{2}; P (A ∣ B_{1}) = \frac{3}{5}, P (A ∣ B_{2}) = \frac{1}{5} .

全概率公式：

P (A) = P (B_{1}) P (A ∣ B_{1}) + P (B_{2}) P (A ∣ B_{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{5} .

例 2 承上题（甲盒

3

白

2

黑，乙盒

1

白

4

黑，等可能选盒后取一球）。已知取到的是白球，求它来自甲盒的概率。难度 2

贝叶斯公式：由「结果」倒推「原因」，分母就是全概率。

沿用上题记号，已求得

P (A) = \frac{2}{5}

，其中来自甲盒的白球贡献

P (B_{1}) P (A ∣ B_{1}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}

。
贝叶斯公式：

P (B_{1} ∣ A) = \frac{P ( B _{1} ) P ( A ∣ B _{1} )}{P ( A )} = \frac{3/10}{2/5} = \frac{3/10}{4/10} = \frac{3}{4} .

例 3 某地区吸烟者占

30%

。吸烟者患某种疾病的概率为

0.2

，不吸烟者为

0.05

。

(1)

求随机一人患该病的概率；

(2)

已知某人患该病，求他是吸烟者的概率。难度 2

先全概率求「患病」，再贝叶斯倒推「吸烟」。

设

B_{1} = {

吸烟

}

，

B_{2} = {

不吸烟

}

，

A = {

患病

}

。

P (B_{1}) = 0.3, P (B_{2}) = 0.7; P (A ∣ B_{1}) = 0.2, P (A ∣ B_{2}) = 0.05.

(1)

全概率公式：

P (A) = 0.3 \times 0.2 + 0.7 \times 0.05 = 0.06 + 0.035 = 0.095.

(2)

贝叶斯公式：

P (B_{1} ∣ A) = \frac{0.06}{0.095} = \frac{60}{95} = \frac{12}{19} \approx 0.632.

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2021 年 · 数一 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

甲、乙两个盒子中各装有

2

个红球和

2

个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒，再从乙盒中任取一球，令

X, Y

分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球的个数，则

X

与

Y

的相关系数为 ______.

2013 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{9} x^{2}, 0, 0 < x < 3, 其他 .

令随机变量

Y = ⎩ ⎨ ⎧ 2, X, 1, X \leq 1, 1 < X < 2, X \geq 2.

（Ⅰ）求

Y

的分布函数；

（Ⅱ）求概率

P {X \leq Y}

。

2008 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设随机变量

X

与

Y

相互独立，

X

的概率分布为

P {X = i} = \frac{1}{3}

（

i = - 1, 0, 1

），

Y

的概率密度为

f_{Y} (y) = {1, 0, 0 \leq y < 1 其他,

记

Z = X + Y

．（Ⅰ）求

P {Z \leq \frac{1}{2} ∣ X = 0}

；（Ⅱ）求

Z

的概率密度

f_{Z} (z)

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

甲袋装

2

红

1

白，乙袋装

1

红

2

白。等可能任选一袋后取一球，则取到红球的概率为（　）。

A $\frac{1}{2}$
B $\frac{2}{3}$
C $\frac{1}{3}$
D $\frac{5}{6}$

练习 2 · 填空题

设完备事件组

B_{1}, B_{2}

满足

P (B_{1}) = 0.4

，

P (B_{2}) = 0.6

，

P (A ∣ B_{1}) = 0.1

，

P (A ∣ B_{2}) = 0.2

，则

P (B_{1} ∣ A) =

____。

练习 3 · 选择题

某病发病率为

1%

。检验试剂对病人报阳性的概率为

0.9

，对健康人也有

0.1

报阳性。则随机一人检验呈阳性的概率为（　）。

A $0.108$
B $0.9$
C $0.009$
D $0.1$

练习 4 · 填空题

承上题（发病率

1%

，病人阳性率

0.9

，健康人阳性率

0.1

）。已知某人检验呈阳性，则他确实患病的概率为 ____。

练习 5 · 选择题

一批产品中一等品占

70%

、二等品占

30%

，一等品的合格率为

0.95

、二等品的合格率为

0.80

。则任取一件为合格品的概率为（　）。

A $0.905$
B $0.875$
C $0.95$
D $0.80$

练习 6 · 选择题

袋中装有

a

个红球与

b

个白球（

a, b \geq 1

）。不放回地逐个取球，则第

2

次取到红球的概率为（　）。

A $\frac{a}{a + b}$
B $\frac{a - 1}{a + b - 1}$
C $\frac{a}{a + b - 1}$
D $\frac{a ( a - 1 )}{( a + b ) ( a + b - 1 )}$

练习 7 · 填空题

甲袋中装有

2

个白球与

3

个黑球，乙袋中装有

3

个白球与

1

个黑球。先从甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球。已知从乙袋取出的是白球，则从甲袋取出并放入乙袋的那个球是白球的概率为 ____。

练习 8 · 解答题

某台机器每天开工时处于「正常」或「异常」两种状态之一。若某天正常，则次日仍正常的概率为

0.8

；若某天异常，则次日转为正常的概率为

0.6

。已知第

1

天正常的概率为

p_{1} = 0.5

。记

p_{n}

为第

n

天正常的概率。
（1）用全概率公式建立

p_{n + 1}

与

p_{n}

的递推关系；
（2）求

p_{n}

的表达式，并求

n \to \infty lim p_{n}

；
（3）已知第

2

天正常，求第

1

天也正常的概率。

2005 年 · 数一 · 第 6 题 · 填空题 · 4 分

从数

1, 2, 3, 4

中任取一个数，记为

X

，再从

1, \dots, X

中任取一个数，记为

Y

，则

P {Y = 2} =

______.

1997 年 · 数一 · 第 5 题 · 填空题 · 3 分

袋中有

50

个乒乓球，其中

20

个是黄球，

30

个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 ___.

1996 年 · 数一 · 第 20 题 · 填空题 · 3 分

设工厂

A

和工厂

B

的产品的次品率分别为

1%

和

2%

，现从由

A

厂和

B

厂的产品分别占

60%

和

40%

的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于

A

厂生产的概率为 ___.

全概率公式与贝叶斯公式

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 完备事件组、全概率公式与贝叶斯公式：由因求果与执果溯因★★ 必会

3. 第一步分析法：用全概率公式建立递推方程

4. 摸球的对称性：第 k 次摸到红球与第 1 次同概率

5. 划分选得恰当，全概率公式才便于计算★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

4. 摸球的对称性：第 $k$ 次摸到红球与第 $1$ 次同概率