概率的定义与性质

概率论与数理统计 · 随机事件与概率

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 从频率到公理：概率是给每个事件配的一个数

做

n

次试验，

A

出现了

n_{A}

次，比值

f_{n} (A) = \frac{n _{A}}{n}

叫频率。次数一多，频率会稳定在某个数附近——这是概率的直觉来源。

但频率不能直接当定义：它随

n

变，做

100

次和

1000

次得到的不是一个数。

所以改成公理化：给每个事件

A

配一个数

P (A)

，只要求三条——

① 非负性：

P (A) \geq 0

；

② 规范性：

P (Ω) = 1

；

③ 可列可加性：

A_{1}, A_{2}, \dots

两两互斥时，

P (i ⋃ A_{i}) = i \sum P (A_{i}) .

第三条是全部力量所在：下一条里的每一个性质，都是从它推出来的。

2. 从三条公理推出来的那几条性质

公理只有三条，常用的性质都是推出来的：

P (\emptyset) = 0

；

有限可加：

A_{1}, \dots, A_{n}

两两互斥时

P (⋃ A_{i}) = \sum P (A_{i})

；

对立事件：

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

；

单调性：

A \subset B

时

P (A) \leq P (B)

，而且

P (B - A) = P (B) - P (A)

；

由单调性与规范性得

0 \leq P (A) \leq 1

。

这些都要会推，不只是会用——考研里直接考推导的年份不少，
而且推一遍比背一遍记得牢。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

上面那条证明的手法是：把一个事件拆成两个互斥事件的并，再用可加性。
那里拆的是

Ω

，这次要拆的是

B

。设

A \subset B

，证明

P (B - A) = P (B) - P (A),

并由此说明

P (A) \leq P (B)

。

照着刚才那条证明的样子，自己写一遍。

3. 加法公式：为什么要减一个 $P (A B)$

两个事件不互斥时，概率不能直接相加：

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B) .

道理在 Venn 图上一眼可见：

A B

那一块被

P (A)

数了一次、被

P (B)

又数了一次，
一共数了两遍，所以要减掉一次。

互斥时

P (A B) = 0

，公式退化成「直接相加」——相加是特例，不是常态。

三个事件要容斥（加单个、减两两、再加三个一起）：

P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A B) - P (B C) - P (C A) + P (A B C) .

4. 三个数就够： $P (A)$ 、 $P (B)$ 、 $P (A B)$

两个事件的题，几乎都能归到三个数上。常用的几个变形：

P (A - B) = P (A) - P (A B),

P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}) = P (\overline{A \cup B}) = 1 - P (A \cup B),

P (\overset{ˉ}{A} B) = P (B) - P (A B) .

Venn 图上两个圆把

Ω

切成四块，它们的概率分别是

P (A B), P (A) - P (A B),

P (B) - P (A B), 1 - P (A \cup B) .

四块全由

P (A), P (B), P (A B)

定出来，而且加起来等于

1

。

所以这类题的套路是：先把这三个数凑齐（题目给哪两个就用公式补第三个），再逐块回答。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

用公理推性质

第一步：把要算的事件拆成两两互斥的几块（常用

Ω = A \cup \overset{ˉ}{A}

、

B = A \cup (B - A)

）。

第二步：对互斥的并用可加性，写成等式。

第三步：把已知的

P (Ω) = 1

之类代进去。

第四步：移项得结论；要比大小时，用「概率非负」收尾。

例例. 由公理推出

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

与

P (B - A) = P (B) - P (A B)

。

第一步，拆成两两互斥的块：

Ω = A \cup \overset{ˉ}{A}

，两者互斥。

第二步，可加性：

P (Ω) = P (A) + P (\overset{ˉ}{A})

。

第三步，代入

P (Ω) = 1

。

第四步，移项得

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

✓

第二条同理：

B = A B \cup (B - A)

，两块互斥（一块在

A

内、一块在

A

外），故

P (B) = P (A B) + P (B - A)

，移项即得。

顺带一条：由

P (B - A) \geq 0

立刻得到

A \subset B \Rightarrow P (A) \leq P (B)

——比大小的题都是这样用「概率非负」收尾的。

两个事件的题：先凑齐三个数

第一步：从题面读出

P (A)

、

P (B)

、

P (A B)

中已知的两个。

第二步：用加法公式补出第三个（

P (A B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B)

）。

第三步：把问的事件翻译成四块中的几块（并、差、对立都能翻）。

第四步：相加得答案；用「四块之和为

1

」验算。

例例. 已知

P (A) = 0.6

、

P (B) = 0.5

、

P (A \cup B) = 0.8

，求

P (A \overset{ˉ}{B})

与

P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B})

。

第一步，读出的是

P (A)

、

P (B)

、

P (A \cup B)

。

第二步，用加法公式补出第三个：

P (A B) = 0.6 + 0.5 - 0.8 = 0.3.

第三步，翻译：

A \overset{ˉ}{B}

就是

A - B

，

P (A \overset{ˉ}{B}) = 0.6 - 0.3 = 0.3

；

\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} = \overline{A \cup B}

，故

P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}) = 1 - 0.8 = 0.2

。

第四步，四块之和验算（

P (\overset{ˉ}{A} B) = 0.5 - 0.3 = 0.2

）：

0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1 ✓

这一验很便宜，却能抓住绝大多数算错。

「至少」类：换成对立事件

第一步：认出「至少一个」这类说法，写出它的对立——「一个都不发生」。

第二步：用

P (至少一个) = 1 - P (都不)

。

第三步：「都不发生」是一个交，用交的公式（或下一章的独立性）去算。

第四步：答案回到原问题，别停在对立事件上。

例例. 三门课各自不及格的概率是

0.1

、

0.2

、

0.3

，相互独立。求「至少一门不及格」。

第一步，对立事件是「一门都不不及格」，即三门全及格。

第二步，

P (至少一门) = 1 - P (三门全及格) .

第三步，「全及格」是一个交，由独立性

P = 0.9 \times 0.8 \times 0.7 = 0.504.

第四步，回到原问题：

1 - 0.504 = 0.496

。

别停在对立事件上——算出

0.504

就交卷是这类题最常见的丢分。再验一下：

0.496

比三个中最大的

0.3

还大 ✓ 合理。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

$P (B - A) = P (B) - P (A)$ 不管前提就用

这一式只在 $A \subset B$ 时成立。一般情形是

P (B - A) = P (B) - P (A B) .

没有包含关系时，

A

有一部分露在

B

外面，减多了。

看到差，先问一句：题目给包含关系了吗？没给就用带

P (A B)

的那一式。

加法公式漏减 $P (A B)$

直接相加只在互斥时成立。不互斥时

A B

那一块被数了两遍。

症状：算出来的概率大于

1

，或者四块之和对不上。

把「相加」当成特例、把「容斥」当成常态，这个错就不会犯。

把 $P (A \cup B) = 1$ 当成 $A$ 、 $B$ 对立

P (A \cup B) = 1

只说明「至少一个发生」几乎总成立，
并不等于

A B = \emptyset

——两者还可以有公共部分。

对立要求的是两条：

A B = \emptyset

且

A \cup B = Ω

。

这类判断题里，「概率等于

1

」与「事件等于

Ω

」也不是一回事（连续型里会再见到）。

算出 $0$ 到 $1$ 之外的数还往下做

概率必落在

[0, 1]

里，这是公理①加单调性的直接结果。

算出

1.2

或

- 0.1

时，错一定在前面——多半是加法公式漏减，或者差用错了形式。

每算出一个概率就扫一眼范围，比做完回头查快得多。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认公理

练 1

由规范性，

P (Ω) =

________。

练 2

下列不属于概率三条公理的是（）。

A非负性 $P (A) \geq 0$
B规范性 $P (Ω) = 1$
C可列可加性
D单调性 $A \subset B \Rightarrow P (A) \leq P (B)$

练 3

已知

P (A) = 0.3

，则

P (\overset{ˉ}{A}) =

________。

练 4

P (\emptyset)

等于（）。

A $1$
B $0.5$
C $0$
D无法确定

第二组 · 加法与差

练 5

已知

P (A) = 0.5

、

P (B) = 0.4

、

P (A B) = 0.2

，则

P (A \cup B) =

________。

练 6

承上题，

P (A - B) =

________。

练 7

对任意两个事件，

P (A - B)

等于（）。

A $P (A) - P (B)$
B $P (A) - P (A B)$
C $P (B) - P (A B)$
D $1 - P (B)$

练 8

已知

P (A) = 0.6

、

P (B) = 0.5

、

P (A \cup B) = 0.8

，则

P (A B) =

________。

第三组 · 四块与估界

练 9

承上题（

P (A) = 0.6

、

P (B) = 0.5

、

P (A \cup B) = 0.8

），

P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}) =

________。

练 10

承上题，

P (A \overset{ˉ}{B}) =

________。

练 11

若

A \subset B

，则一定成立的是（）。

A $P (A) \leq P (B)$
B $P (A) > P (B)$
C $P (A) = P (B)$
D $P (A) + P (B) = 1$

练 12

已知

P (A) = 0.7

、

P (B) = 0.6

，则

P (A B)

的最小可能值是（）。

A $0$
B $0.3$
C $0.42$
D $0.6$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

概率的定义与性质

先打基础

1. 从频率到公理：概率是给每个事件配的一个数

2. 从三条公理推出来的那几条性质

请你先证

3. 加法公式：为什么要减一个 P(AB)

4. 三个数就够：P(A)、P(B)、P(AB)

常用结构

用公理推性质

两个事件的题：先凑齐三个数

「至少」类：换成对立事件

基础易错

P(B−A)=P(B)−P(A) 不管前提就用

加法公式漏减 P(AB)

把 P(A∪B)=1 当成 A、B 对立

算出 0 到 1 之外的数还往下做

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

3. 加法公式：为什么要减一个 $P (A B)$

4. 三个数就够： $P (A)$ 、 $P (B)$ 、 $P (A B)$

$P (B - A) = P (B) - P (A)$ 不管前提就用

加法公式漏减 $P (A B)$

把 $P (A \cup B) = 1$ 当成 $A$ 、 $B$ 对立

算出 $0$ 到 $1$ 之外的数还往下做