事件的独立性

§15.6 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.64 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

3.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）条件概率与乘法公式概率的定义与性质③ 掌握后可解锁常见离散分布（二项、泊松、几何等）随机变量的独立性

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 相互独立的定义： $P (A B) = P (A) P (B)$ 、 $n$ 个事件相互独立的全部等式，以及与互斥的对照★★ 必会

① 两事件独立：如果

P (A B) = P (A) P (B),

那么称

A

与

B

相互独立。当

0 < P (B) < 1

时，这一定义等价于

P (A ∣ B) = P (A)

，也等价于

P (A ∣ B) = P (A ∣ \overset{ˉ}{B})

，即

B

发生与否都不改变

A

的概率（见下一条）。如果题目中出现独立试验、有放回抽样、互不影响这类说法，就可以按相互独立处理，把积事件的概率拆成概率之积。

② 三个事件相互独立须有 $4$ 条等式，缺一不可：称

A, B, C

相互独立，是指

P (A B) P (A C) P (B C) = P (A) P (B) = P (A) P (C) = P (B) P (C)

P (A B C) = P (A) P (B) P (C) .

只满足前三条的，称为两两独立。两两独立

\neq \Rightarrow

相互独立，反例见后面两两独立与相互独立的对比一条；反过来，只有第四条也推不出前三条。一般地，

n

个事件相互独立，要求其中任意 $k$ 个（ $2 \leq k \leq n$ ）的积事件概率都能拆成概率之积，共

2^{n} - n - 1

条等式。

③ 取对立事件不破坏独立性：

A, B

独立

\Rightarrow

A

与

\overset{ˉ}{B}

、

\overset{ˉ}{A}

与

B

、

\overset{ˉ}{A}

与

\overset{ˉ}{B}

都独立；把

n

个相互独立的事件中任意若干个换成它们的对立事件，所得事件仍相互独立。由此可知，在计算至少有一个发生的概率时，采用

P (⋃ A_{i}) = 1 - \prod (1 - P (A_{i}))

这样的对偶算法是合理的。

④ 独立与互斥的辨析（最经典的一条）：设

P (A) > 0, P (B) > 0

，则互斥与独立不可能同时成立。事实上，互斥给出

P (A B) = 0

，独立给出

P (A B) = P (A) P (B) > 0

，二者矛盾。互斥说的是事件之间的结构关系，即两者不能同时发生；独立说的是概率之间的数量关系，即概率可以相乘。这是两回事，不可混为一谈。

证明 / 推导

证现在证明性质 ③ 中的第一条： $A, B$ 独立 $\Rightarrow A$ 与 $\overset{ˉ}{B}$ 独立。因为

A B \subset A

，由概率的减法公式得

P (A \overset{ˉ}{B}) = P (A - A B) = P (A) - P (A B) = P (A) - P (A) P (B) = P (A) [1 - P (B)] = P (A) P (\overset{ˉ}{B}) . ■

对新得到的独立事件对

(A, \overset{ˉ}{B})

再用一次上述结论，即把

A

换成

\overset{ˉ}{B}

、把

B

换成

A

，便得

\overset{ˉ}{B}

与

\overset{ˉ}{A}

独立；同理可得

\overset{ˉ}{A}

与

B

独立。由此可见，换取对立事件的过程可以逐次进行下去，

n

个事件的情形依同样办法逐个替换即可得到。

举例说明

2014·数一选择：设

A

与

B

相互独立，

P (B) = 0.5

，

P (A - B) = 0.3

，则

P (B - A) =

（　）(A)

0.1

；(B)

0.2

；(C)

0.3

；(D)

0.4

。
解：先把差事件化为积事件，

P (A - B) = P (A \overset{ˉ}{B})

。由性质 ③ 知，由独立性可推出 $A$ 与 $\overset{ˉ}{B}$ 独立，于是

P (A \overset{ˉ}{B}) = P (A) P (\overset{ˉ}{B}) = 0.5 P (A) = 0.3 ⟹ P (A) = 0.6.

再由

\overset{ˉ}{A}

与

B

独立，得

P (B - A) = P (\overset{ˉ}{A} B) = P (\overset{ˉ}{A}) P (B) = 0.4 \times 0.5 = 0.2,

故选 B。另一种解法：

P (A B) = P (A) P (B) = 0.3

，

P (B - A) = P (B) - P (A B) = 0.5 - 0.3 = 0.2

，结果相同。两种解法都必须先由独立性求出

P (A)

，可见独立性所给出的概率可乘关系是解本题的依据。

2. 独立的等价刻画： $B$ 发生与否都不改变 $A$ 的概率★ 要懂

设

0 < P (B) < 1

。

A, B

独立，即

P (A B) = P (A) P (B)

，它等价于

P (A ∣ B) = P (A)

，也等价于

P (A ∣ B) = P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) .

第三种说法最接近互不影响的直观含义：无论 $B$ 发生与否， $A$ 的概率都一样，也就是说，是否发生

B

这一信息对推断

A

没有任何作用。反过来，只要

P (A ∣ B) \neq = P (A ∣ \overset{ˉ}{B})

，就说明

B

带有关于

A

的信息，二者一定不独立。与单个等式

P (A ∣ B) = P (A)

相比，这种说法更对称，也更直观。

证明 / 推导

证由全概率公式

P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) P (\overset{ˉ}{B})

可知，

P (A)

是

P (A ∣ B), P (A ∣ \overset{ˉ}{B})

以

P (B), P (\overset{ˉ}{B})

为权的加权平均。

如果

P (A ∣ B) = P (A ∣ \overset{ˉ}{B})

，那么加权平均就等于这个公共值，因此

P (A ∣ B) = P (A)

，即二者独立。反之，如果二者独立，则

P (A ∣ B) = P (A)

，代回全概率公式解得

P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) = \frac{P ( A ) - P ( A ) P ( B )}{P ( B ˉ )} = \frac{P ( A ) P ( B ˉ )}{P ( B ˉ )} = P (A),

所以两个条件概率相等。

举例说明

掷一颗均匀的骰子，令

A = {2, 4, 6}

，即点数为偶数，再令

B = {1, 2, 3, 4}

。这时

P (A) = \frac{1}{2}

，而

P (A ∣ B) = \frac{P ({ 2 , 4 })}{P ( B )} = \frac{2/6}{4/6} = \frac{1}{2} = P (A)

，故二者独立。

下面验证信息的无关性。由

\overset{ˉ}{B} = {5, 6}

得

P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) = \frac{P ({ 6 })}{P ( B ˉ )} = \frac{1/6}{2/6} = \frac{1}{2} = P (A ∣ B)

。这说明，知道点数是否满足

\leq 4

，对于判断它是否为偶数毫无帮助。这就是独立性的本来含义。

3. 两两独立不能推出相互独立：两枚硬币给出的简单反例★★ 必会

相互独立要求任意若干个事件的积事件概率都等于各概率之积，这个条件比两两独立强得多。只验证两两独立的那 $(2 n)$ 个等式是不够的，还必须补上高阶的等式，特别是

P (A_{1} \dots A_{n}) = \prod_{i} P (A_{i})

。下面用两枚均匀硬币给出一个比正四面体模型更简单的反例。

证明 / 推导

证掷两枚均匀硬币，样本空间为

{H H, H T, T H, T T}

，其中每个样本点的概率都是

\frac{1}{4}

。设

A = {第一枚正} = {H H, H T}, B = {第二枚正} = {H H, T H}, C = {两枚相同} = {H H, T T} .

则

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}

。先作两两验证：

P (A B) = P ({H H}) = \frac{1}{4} = P (A) P (B), P (A C) = \frac{1}{4} = P (A) P (C), P (B C) = \frac{1}{4} = P (B) P (C),

可见三者两两独立。但

A B C = {H H}

，而

P (A B C) = \frac{1}{4} \neq = \frac{1}{8} = P (A) P (B) P (C),

所以它们不相互独立。

举例说明

直观的解释是：只要

A, B

都发生，即两枚硬币都是正面，事件

C

，也就是两枚相同，就必然发生。第三个事件已被前两个事件所确定，因此整体上并不独立。由此可见，判定

n

个事件是否相互独立时，必须把乘积等式逐条验证到最高阶，不能只看两两之间的关系。

4. 用独立性计算系统的可靠度：串联、并联与混联

把各个元件是否正常工作看作相互独立的事件，各元件的可靠度，即它正常工作的概率，记为

p_{i}

。由独立性可以把整个系统的可靠度化成各元件概率的乘积，或者化成对立概率的乘积：

- 串联，即全部元件正常时系统才正常，此时

R = \prod_{i} p_{i}

；
- 并联，即至少有一个元件正常时系统就正常，此时

R = 1 - \prod_{i} (1 - p_{i})

。

对于复杂的系统，先按串联或并联分成若干子系统，再逐层组合化简。计算时，并联的部分取对立事件后连乘，即用

1 - \prod (1 - p_{i})

，串联的部分直接连乘。

证明 / 推导

证. 记

A_{i}

为元件

i

正常工作这一事件，

P (A_{i}) = p_{i}

，并设

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

相互独立。记

q_{i} = 1 - p_{i}

。

串联. 系统正常就是全部元件都正常，即事件

A_{1} A_{2} \dots A_{n}

。由相互独立的定义，积事件的概率等于各概率之积，故

R = P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = i = 1 \prod n p_{i} .

并联. 系统正常就是至少有一个元件正常，即事件

A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}

。它的对立事件是全部元件都失效，即

\overset{ˉ}{A}_{1} \overset{ˉ}{A}_{2} \dots \overset{ˉ}{A}_{n}

。由前面证明的性质，把相互独立的事件换成它们的对立事件后仍然相互独立。因此

P (\overset{ˉ}{A}_{1} \overset{ˉ}{A}_{2} \dots \overset{ˉ}{A}_{n}) R = i = 1 \prod n q_{i} = 1 - i = 1 \prod n q_{i} .

这里先取对立事件，是因为直接用加法公式要作容斥展开，共有

2^{n} - 1

项，而取对立事件后只需连乘。当

n = 2

时两条途径给出同一结果，因为

p_{1} + p_{2} - p_{1} p_{2} = 1 - (1 - p_{1}) (1 - p_{2})

。

分层相乘的依据. 混联系统是先把元件分组，组内先算，再把每一组当作一个元件来算。这一步之所以合法，是因为不同的组由不相交的元件所决定，它们的状态仍然相互独立。以两组两并联再串联为例，记

B = A_{1} \cup A_{2}, C = A_{3} \cup A_{4}

。由对立事件与容斥公式，得

P (B C) = 1 - P (\overset{ˉ}{B} \cup \overset{ˉ}{C}) = 1 - P (\overset{ˉ}{B}) - P (\overset{ˉ}{C}) + P (\overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C}) .

其中

P (\overset{ˉ}{B}) = q_{1} q_{2}, P (\overset{ˉ}{C}) = q_{3} q_{4}

；又

\overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C} = \overset{ˉ}{A}_{1} \overset{ˉ}{A}_{2} \overset{ˉ}{A}_{3} \overset{ˉ}{A}_{4}

，故

P (\overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C}) = q_{1} q_{2} q_{3} q_{4}

。代入上式，得

P (B C) = 1 - q_{1} q_{2} - q_{3} q_{4} + q_{1} q_{2} q_{3} q_{4} = (1 - q_{1} q_{2}) (1 - q_{3} q_{4}) = P (B) P (C) .

这就证明了两个子系统的可靠度确实可以直接相乘，逐层化简的做法有根据。

■

必须注意，以上各式都以元件相互独立为前提。如果各元件有共同的失效原因，例如共用一个电源，那么独立性不成立，这些公式也就不能使用。

举例说明

设有四个相互独立的元件，可靠度都是

p = 0.9

。系统的结构是：元件

1, 2

并联成子系统

I

，元件

3, 4

并联成子系统

II

，再把

I

与

II

串联起来。分两层计算。

先算并联的子系统，

R_{I} = R_{II} = 1 - (1 - 0.9)^{2} = 1 - 0.01 = 0.99

；

再算两个子系统的串联，

R = R_{I} \cdot R_{II} = 0.99 \times 0.99 = 0.9801

。

与此作一比较：如果四个元件直接串联，那么

R = 0. 9^{4} \approx 0.6561

。先用并联作冗余，再作串联，可靠度就由

0.66

提高到

0.98

。由此可见，利用独立性可以把复杂的结构化成若干乘积来计算。

5. 独立必定不相关，反之未必：一个严格的反例★★ 必会

独立是最强的无关性，它要求联合分布能够分解；不相关则是最弱的一种，只涉及线性关系，即

Cov (X, Y) = 0

，也就是

E (X Y) = E X \cdot E Y

。独立必定不相关，但不相关推不出独立，因为相关系数只反映线性关系，反映不出非线性的依赖。只有在联合正态分布等特殊场合，二者才是等价的（见数字特征一章）。明确这一点，可以避免一算出协方差为

0

就断定独立这种常见的错误。

证明 / 推导

证设

X \sim U (- 1, 1)

，

Y = X^{2}

。这时

Y

完全由

X

所决定，二者当然不独立，例如

P (Y < \frac{1}{4} ∣ X = 0) = 1 \neq = P (Y < \frac{1}{4})

。但是计算协方差可得

E X = \int_{- 1}^{1} x \cdot \frac{1}{2} d x = 0

，以及

E (X Y) = E (X^{3}) = \int_{- 1}^{1} x^{3} \cdot \frac{1}{2} d x = 0

这是因为奇函数在对称区间上的积分为

0

。于是

Cov (X, Y) = E (X Y) - E X \cdot E Y = 0 - 0 \cdot E Y = 0,

即

X, Y

不相关，却不独立。

举例说明

这个反例的原因在于，

Y = X^{2}

是纯粹的非线性依赖关系，而协方差只度量线性关系，因此把它完全忽略了。由此可见，

Cov = 0

只说明二者没有线性关联，不能由此推出独立；反过来，如果已知

X, Y

独立，那么必有

Cov (X, Y) = 0

，这一方向可以放心使用。

💡 小知识

两两独立却不相互独立，这件事最经典的反例出自苏联数学家谢尔盖·伯恩斯坦：取一个正四面体，四个面依次涂成红、白、蓝，以及三色俱全。它提醒人们，独立性说的是整体的性质，局部上两两配合良好，未必保证全局的相互独立也成立。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设事件

A, B

相互独立，且

P (A) = 0.6

，

P (B) = 0.5

。求

P (A B)

与

P (A \cup B)

。难度 1

独立的定义： $P (A B) = P (A) P (B)$ ，再配合加法公式。

由独立性

P (A B) = P (A) P (B) = 0.6 \times 0.5 = 0.3.

加法公式

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8.

例 2 设

P (A) = 0.5

，

P (B) = 0.4

，

P (A B) = 0.2

。判断

A

与

B

是否相互独立。难度 1

判据：比较 $P (A B)$ 与 $P (A) P (B)$ 是否相等。

计算

P (A) P (B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2

，而已知

P (A B) = 0.2

，二者相等：

P (A B) = P (A) P (B),

故

A

与

B

相互独立。

例 3 甲、乙两人相互独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为

0.8

和

0.7

。求目标被击中（即至少有一人命中）的概率。难度 2

「至少一个」+「相互独立」= 对立 + 连乘。

记

A = {

甲命中

}

，

B = {

乙命中

}

，相互独立，

P (A) = 0.8

，

P (B) = 0.7

。
目标被击中即

A \cup B

。用对立事件「都没命中」：

P (A \cup B) = 1 - P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}) = 1 - P (\overset{ˉ}{A}) P (\overset{ˉ}{B}) = 1 - 0.2 \times 0.3 = 1 - 0.06 = 0.94.

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设

A, B

为两个不同的随机事件，且

A

与

B

相互独立，已知

P (A) = 2 P (B)

，

P (A \cup B) = \frac{5}{8}

，则在

A, B

中至少有一个发生的条件下，

A, B

中恰好有一个发生的概率为 ______.

2022 年 · 数一 · 第 16 题 · 填空题 · 5 分

设

A, B, C

为随机事件，且

A

与

B

互不相容，

A

与

C

互不相容，

B

与

C

相互独立，

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{3}

，则

P (B \cup C ∣ A \cup B \cup C) =

______.

2021 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设

A, B

为随机事件，且

0 < P (B) < 1

，下列命题中为假命题的是（　　）

A若 $P (A ∣ B) = P (A)$ ，则 $P (A ∣ \overset{ˉ}{B}) = P (A)$ .
B若 $P (A ∣ B) > P (A)$ ，则 $P (\overset{ˉ}{A} ∣ \overset{ˉ}{B}) > P (\overset{ˉ}{A})$ .
C若 $P (A ∣ B) > P (A ∣ \overset{ˉ}{B})$ ，则 $P (A ∣ B) > P (A)$ .
D若 $P (A ∣ A \cup B) > P (\overset{ˉ}{A} ∣ A \cup B)$ ，则 $P (A) > P (B)$ .

2018 年 · 数一 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

设随机事件

A

与

B

相互独立，

A

与

C

相互独立，

B C = \emptyset

。若

P (A) = P (B) = \frac{1}{2}

，

P (A C ∣ A B \cup C) = \frac{1}{4}

，则

P (C) =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A, B

相互独立，

P (A) = 0.4

，

P (B) = 0.5

，则

P (A \cup B) =

（　）。

A $0.7$
B $0.9$
C $0.2$
D $0.6$

练习 2 · 填空题

设

A, B

相互独立，

P (A) = 0.3

，

P (B) = 0.6

，则

P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}) =

____。

练习 3 · 选择题

三个元件相互独立地工作，可靠度均为

0.9

。若三者串联，则系统的可靠度为（　）。

A $0.729$
B $0.999$
C $0.9$
D $0.27$

练习 4 · 选择题

三个元件相互独立地工作，可靠度均为

0.9

。若三者并联，则系统的可靠度为（　）。

A $0.999$
B $0.729$
C $0.99$
D $0.9$

练习 5 · 填空题

甲、乙相互独立地射击，命中率分别为

0.6

和

0.5

，则恰有一人命中的概率为 ____。

2017 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

A, B

为随机事件。若

0 < P (A) < 1

，

0 < P (B) < 1

，则

P (A ∣ B) > P (A ∣ \overset{ˉ}{B})

的充分必要条件是（　　）

A $P (B ∣ A) > P (B ∣ \overset{ˉ}{A})$ .
B $P (B ∣ A) < P (B ∣ \overset{ˉ}{A})$ .
C $P (\overset{ˉ}{B} ∣ A) > P (\overset{ˉ}{B} ∣ \overset{ˉ}{A})$ .
D $P (\overset{ˉ}{B} ∣ A) < P (\overset{ˉ}{B} ∣ \overset{ˉ}{A})$ .

2014 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设随机事件

A

与

B

相互独立，且

P (B) = 0.5

，

P (A - B) = 0.3

，则

P (B - A) =

（　　）

A $0.1$
B $0.2$
C $0.3$
D $0.4$

事件的独立性

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 相互独立的定义：P(AB)=P(A)P(B)、n 个事件相互独立的全部等式，以及与互斥的对照★★ 必会

2. 独立的等价刻画：B 发生与否都不改变 A 的概率★ 要懂

3. 两两独立不能推出相互独立：两枚硬币给出的简单反例★★ 必会

4. 用独立性计算系统的可靠度：串联、并联与混联

5. 独立必定不相关，反之未必：一个严格的反例★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 相互独立的定义： $P (A B) = P (A) P (B)$ 、 $n$ 个事件相互独立的全部等式，以及与互斥的对照★★ 必会

2. 独立的等价刻画： $B$ 发生与否都不改变 $A$ 的概率★ 要懂