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二维随机变量函数的分布

概率论与数理统计 · 多维随机变量及其分布

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 分布函数法：把条件画成平面上的区域

要求

Z = g (X, Y)

的分布，办法和一维那节一样——从分布函数出发：

F_{Z} (z) = P (g (X, Y) \leq z) = \iint_{g (x, y) \leq z} f d σ .

三步：

① 把 ${g (x, y) \leq z}$ 画成平面上的区域；

② 与密度非零的区域取交，定限积分（这就是二重积分那一章的活）；

③ 对 $z$ 求导得

f_{Z} (z)

。

全部难点在第①②步：那块区域的形状随

z

变化，所以答案往往要分段。

这个方法不挑

g

，什么函数都能做——和一维的「万能法」一脉相承。

2. $Z = X + Y$ ：卷积公式

和的分布最常考，有现成的公式。对一般的联合密度，

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, z - x) d x .

X

与

Y

独立时更好用：

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x,

这叫

f_{X}

与

f_{Y}

的卷积。

定限还是难点：被积函数非零要求两件事同时成立——

x

落在

f_{X}

的支撑里，而且

z - x

落在

f_{Y}

的支撑里。

把这两个条件写成关于

x

的不等式，取交，就是积分限。
交集随

z

变化，所以答案照例分段。

3. 离散型：列表再合并

离散型简单得多，还是一维那两步：逐个算、相同的合并。

P (Z = z) = x_{i} + y_{j} = z \sum p_{ij} .

做法：把所有格子

(x_{i}, y_{j})

对应的

z = g (x_{i}, y_{j})

算出来，
把 $z$ 相同的格子概率加起来。

独立时

p_{ij} = p_{i \cdot} p_{\cdot j}

，格子的概率可以直接相乘得到。

验算照旧：新分布律的概率之和为

1

。

常考的结论：两个独立的泊松之和仍是泊松（参数相加）；
两个独立的二项（同

p

）之和仍是二项（

n

相加）。

4. $max$ 与 $min$ ：独立时有现成公式

设

X, Y

独立，记

M = max (X, Y)

、

N = min (X, Y)

。

$max$ 直接乘：

M \leq z

等价于两个都

\leq z

，故

F_{M} (z) = F_{X} (z) F_{Y} (z) .

$min$ 要走对立：

N > z

等价于两个都

> z

，故

F_{N} (z) = 1 - [1 - F_{X} (z)] \times [1 - F_{Y} (z)] .

为什么 $min$ 不能直接乘：

{N \leq z}

是「至少一个

\leq z

」——那是个并，
不能相乘；取对立之后才变成交。

这正是第一章那句「看到至少就想对立」，在这里第三次出场。

n

个独立变量同理，把两个因子换成

n

个。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

分布函数法（万能）

第一步：写

F_{Z} (z) = P (g (X, Y) \leq z)

。

第二步：把

{g (x, y) \leq z}

画成区域，与密度的支撑取交。

第三步：想清楚

z

分成哪几段（图形形状变化的地方就是分段点），逐段积分。

第四步：对

z

求导得密度，写清每段的范围。

例例. 设

X, Y

独立且都服从

U (0, 1)

，求

Z = X + Y

的密度。

第一步，

F_{Z} (z) = P (X + Y \leq z)

。

第二步，支撑是单位正方形，

{x + y \leq z}

是直线下方，两者取交。

第三步，分段（图形形状变化处就是分段点）：

z < 0

交是空集，

F_{Z} = 0

；

0 \leq z < 1

交是直角边

z

的小三角形，面积

\frac{z ^{2}}{2}

；

1 \leq z < 2

交是正方形去掉右上角直角边

2 - z

的三角形，面积

1 - \frac{( 2 - z ) ^{2}}{2}

；

z \geq 2

时

F_{Z} = 1

。

第四步，对

z

求导：

f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ z, 2 - z, 0, 0 \leq z < 1 1 \leq z < 2 其他

密度是个三角形——两个均匀之和不再均匀。

用卷积公式求和的密度

第一步：确认独立，写出

f_{Z} (z) = \int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x

。

第二步：写出两个支撑条件——

x

的范围与

z - x

的范围。

第三步：把后者解成关于

x

的不等式，与前者取交。

第四步：交集随

z

变化，分段积分；最后验

\int f_{Z} = 1

。

例例. 同一道题，改用卷积公式。

第一步，独立 ✓

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x .

第二步，写出两个支撑条件：

0 < x < 1

，以及

0 < z - x < 1

。

第三步，把后者解成关于

x

的不等式

z - 1 < x < z

，与前者取交：

max (0, z - 1) < x < min (1, z) .

第四步，交集随

z

变化，分段积分：

0 < z < 1

时交是

(0, z)

，得

z

；

1 \leq z < 2

时交是

(z - 1, 1)

，得

2 - z

——与上一条一致 ✓ 验

\int f_{Z} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

✓

第三步那个取交是卷积唯一的难处：不取交就会写出一个与

z

无关的常数，分段也就没了。

$max$ 与 $min$

第一步：确认两者独立。

第二步：

max

用

F_{M} = F_{X} F_{Y}

。

第三步：

min

先写

P (N > z) = [1 - F_{X}] [1 - F_{Y}]

，再用

1

去减。

第四步：求导得密度，注意写明范围。

例例. 设

X, Y

独立且都服从

U (0, 1)

，求

M = max (X, Y)

、

N = min (X, Y)

的密度。

第一步，独立 ✓

第二步，

max

：「最大值

\leq z

」就是「两个都

\leq z

」，

F_{M} (z) = F_{X} (z) F_{Y} (z) = z^{2} (0 \leq z \leq 1) \Rightarrow f_{M} (z) = 2 z .

第三步，

min

先写尾概率：「最小值

> z

」就是「两个都

> z

」，

P (N > z) = (1 - z)^{2} \Rightarrow F_{N} (z) = 1 - (1 - z)^{2} .

第四步，求导得

f_{N} (z) = 2 (1 - z)

，

0 \leq z \leq 1

。

检查：

E (M) = \frac{2}{3}

、

E (N) = \frac{1}{3}

，最大值的期望更大 ✓ 两者之和正好是

1 = E (X) + E (Y)

✓

$min$ 必须绕尾概率：

{min \leq z}

拆不成两个独立事件的交，而

{min > z}

可以。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

忘了分段

区域的形状随

z

变，答案几乎总是分段的。

只写出一段（比如只算了

0 < z < 1

）就当成全部，是这一节最常见的失分。

先画几张草图，看清

z

要分几段，再动笔积分。

卷积的积分限只用了一个条件

被积函数非零要求

x

在

f_{X}

的支撑里且

z - x

在

f_{Y}

的支撑里。

只用前者会把不该积的区间也积进去。

把两个条件都写成关于 $x$ 的不等式，再取交——这一步最容易偷懒。

$min$ 的分布函数直接相乘

F_{N} (z) \neq = F_{X} (z) F_{Y} (z)

。那个乘积算的是

max

。

{min \leq z}

是并，必须先取对立变成交再乘。

症状：算出来的

min

比

max

还偏大，一看就不合常理。

没有独立性却用卷积或乘法

卷积公式、

F_{M} = F_{X} F_{Y}

都以独立为前提。

不独立时只能回到联合密度，用分布函数法画区域积分。

读题先找「相互独立」四个字——没有它，公式一个都不能用。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认方法

练 1

求

Z = g (X, Y)

的分布，第一步是写出

F_{Z} (z) = P (

________

)

。

练 2

设

X, Y

独立，

Z = X + Y

的密度公式是（）。

A $\int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$
B $f_{X} (z) f_{Y} (z)$
C $f_{X} (z) + f_{Y} (z)$
D $\int f_{X} (x) f_{Y} (x) d x$

练 3

设

X, Y

独立，则

M = max (X, Y)

的分布函数

F_{M} (z) =

________。

练 4

离散型求

Z = X + Y

的分布律时，关键一步是（）。

A把所有格子相乘
B取最大的那个格子
C把 $z$ 相同的格子概率加起来
D对 $z$ 求导

第二组 · 算和的分布

练 5

设

(X, Y)

在单位正方形上均匀分布，则当

0 \leq z < 1

时

F_{X + Y} (z) =

________。

练 6

设

X, Y

独立且都服从

U (0, 1)

，则

Z = X + Y

在

0 < z < 1

时的密度

f_{Z} (z) =

________。

练 7

卷积公式的积分限由什么决定（）。

A只由 $f_{X}$ 的支撑决定
B只由 $f_{Y}$ 的支撑决定
C由 $x$ 与 $z - x$ 两个支撑条件取交决定
D总是 $- \infty$ 到 $+ \infty$

练 8

设

X, Y

独立，各以

\frac{1}{2}

取

0

或

1

，则

P (X + Y = 1) =

________。

第三组 · 最值与综合

练 9

设

X, Y

独立且都服从

U (0, 1)

，则

M = max (X, Y)

的密度

f_{M} (z) =

________（

0 < z < 1

）。

练 10

设

X, Y

独立，

N = min (X, Y)

，则

F_{N} (z) =

（）。

A $F_{X} (z) F_{Y} (z)$
B $1 - [1 - F_{X} (z)] [1 - F_{Y} (z)]$
C $F_{X} (z) + F_{Y} (z)$
D $1 - F_{X} (z) F_{Y} (z)$

练 11

承上，

X, Y

独立同

U (0, 1)

时

F_{N} (z) =

________（

0 \leq z \leq 1

）。

练 12

求

Z = g (X, Y)

的分布时，答案常常分段，根本原因是（）。

A密度不连续
B积分算不出来
C $z$ 取值不同时，积分区域的形状会变
D必须用分部积分

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

二维随机变量函数的分布

先打基础

1. 分布函数法：把条件画成平面上的区域

2. Z=X+Y：卷积公式

3. 离散型：列表再合并

4. max 与 min：独立时有现成公式

常用结构

分布函数法（万能）

用卷积公式求和的密度

max 与 min

基础易错

忘了分段

卷积的积分限只用了一个条件

min 的分布函数直接相乘

没有独立性却用卷积或乘法

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. $Z = X + Y$ ：卷积公式

4. $max$ 与 $min$ ：独立时有现成公式

$max$ 与 $min$

$min$ 的分布函数直接相乘