随机变量的独立性

概率论与数理统计 · 多维随机变量及其分布

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 定义：联合等于两个边缘相乘

X

与

Y

相互独立，指的是对一切

x, y

，

F (x, y) = F_{X} (x) F_{Y} (y) .

它就是上一章事件独立性的推广：这一式说的正是

事件

{X \leq x}

与

{Y \leq y}

对任何

x, y

都独立。

「一切」两个字是要害：在某几个点上碰巧相等，说明不了任何问题；
反过来，只要找到一组

(x, y)

使等式不成立，就证明了不独立。

等价的说法（下一条给出判据）：知道

X

的取值，对

Y

的分布毫无影响——
条件分布等于边缘分布。

2. 两种类型的判据

离散型：

X

与

Y

独立

⟺

对所有

i, j

，

p_{ij} = p_{i \cdot} p_{\cdot j} .

在表上就是：每一格都等于它的行和乘列和。有一格不等就不独立。

连续型：

X

与

Y

独立

⟺

（几乎处处）

f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y) .

判不独立比判独立省事得多：只要举出一格（或一块区域）反例即可；
要判独立则必须逐格（或处处）验过。

所以做题顺序是：先找反例，找不到再去证相等。

3. 连续型的实用判据：可分离，而且区域是矩形

连续型做题时很少去求两个边缘再比较，而是直接看两件事：

① 密度能不能写成 $g (x) h (y)$ （变量可分离）；

② 密度非零的区域是不是「矩形」——即两边平行于坐标轴的矩形
（可以是无穷的，如

x > 0, y > 0

）。

两条都满足才独立，缺一不可。

第②条最容易被忽略：区域是三角形

0 < y < x < 1

时，即使

f

形式上是常数
（显然「可分离」），

X

与

Y

也不独立——
因为知道了

X = x

，

Y

的范围立刻被限制在

(0, x)

里。

一句话：区域本身就携带着两个变量之间的关系。

4. 独立之后能做什么

独立性是后面几节的通行证。有了它：

条件分布 $=$ 边缘分布：

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = f_{X} (x)

，知道

Y

等于白知道；

期望可乘：

E (X Y) = E (X) E (Y)

（数字特征那一章）；

方差可加：

D (X \pm Y) = D (X) + D (Y)

；

和的密度有卷积公式（下一节）：

f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x .

反过来要当心：

E (X Y) = E X \cdot E Y

推不出独立（那只是「不相关」），
这个差别是协方差那一节的重点。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

离散型判独立

第一步：先把两个边缘（行和、列和）算出来写在表边上。

第二步：挑最可能出问题的一格（概率为

0

的、或数值特殊的）先验。

第三步：有一格不等于「行和

\times

列和」，立刻判不独立，收工。

第四步：全部格子都相等才能判独立——必须逐格验过。

例例. 还是那张表，判断

X

与

Y

是否独立。

第一步，边缘已写在表边：行和

0.3, 0.7

；列和

0.4, 0.6

。

第二步，挑一格先验——取最小的

(0, 0)

格。

第三步，

P (X = 0, Y = 0) = 0.1

，而行和

\times

列和

= 0.3 \times 0.4 = 0.12

：

0.1 \neq = 0.12 ⟹ 不独立，收工。

第四步，要判独立才必须逐格验（这里四格全要相等）；要判不独立，找到一格不等就够了。

所以先挑最可能出问题的格子，能省掉三次计算。

连续型判独立

第一步：画出密度非零的区域，看它是不是两边平行于坐标轴的矩形。

第二步：区域不是矩形

\Rightarrow

直接判不独立，不必再算。

第三步：是矩形，再看

f

能否写成

g (x) h (y)

。

第四步：两条都满足则独立；必要时求出两个边缘，验证

f = f_{X} f_{Y}

。

例例. 两种情形各怎么判？

①

f (x, y) = 2

在三角形

0 < y < x < 1

上。

第一、二步，支撑是三角形，不是两边平行于坐标轴的矩形

\Rightarrow

直接判不独立，一个积分都不用算。（印证：

f_{X} f_{Y} = 2 x \cdot 2 (1 - y) = 4 x (1 - y) \neq = 2

✓）

②

f (x, y) = 4 x y

在正方形

0 < x < 1, 0 < y < 1

上。

第三步，支撑是矩形 ✓ 再看能否分离：

4 x y = (2 x) (2 y)

✓

第四步，两条都满足

\Rightarrow

独立。验一下：

f_{X} = 2 x

、

f_{Y} = 2 y

，乘积正是

4 x y

✓

支撑形状是第一道闸：支撑不是矩形，

f

再怎么分离都没用——因为

x

能取什么，被

y

限制着。

用独立性简化计算

第一步：读题时圈出「相互独立」四个字。

第二步：要联合密度就把两个边缘相乘。

第三步：要

E (X Y)

、

D (X \pm Y)

就直接用可乘、可加的公式。

第四步：要

X + Y

的分布就用卷积公式（或画区域积分）。

例例. 设

X \sim N (1, 4)

、

Y \sim N (2, 9)

相互独立。求

E (X Y)

、

D (X - Y)

与

X + Y

的分布。

第一步，题面有「相互独立」四个字 ✓ 圈出来，下面三步全靠它。

第二步，要联合密度就把两个边缘相乘（本题用不上）。

第三步，独立

\Rightarrow

E (X Y) = E (X) E (Y) = 2

；协方差为零，故

D (X - Y) = D (X) + D (Y) = 4 + 9 = 13

——注意是 $+$ ，差也是加（系数

- 1

平方之后是

+ 1

）。

第四步，正态的独立线性组合仍是正态：

X + Y \sim N (1 + 2, 4 + 9) = N (3, 13) .

一般分布求和的密度要用卷积公式，正态是白送的特例。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

只验几个点就断定独立

独立要求所有格子（所有点）都满足，碰巧有几格相等说明不了什么。

反过来，找到一格不相等就足以判不独立。

策略：先找反例；找不到再逐格验证，或用「可分离

+

矩形区域」一次判定。

只看密度可分离，不看区域

f = 2

在三角形

0 < y < x < 1

上，形式上可分离，但不独立。

区域不是矩形时，

X

的取值会限制

Y

的范围——关系就藏在区域里。

判独立时先看区域，再看密度。

由 $E (X Y) = E X \cdot E Y$ 断定独立

这只是「不相关」，比独立弱。独立

\Rightarrow

不相关，反过来不成立。

经典反例在协方差那一节：

X \sim U (- 1, 1)

、

Y = X^{2}

，
两者

E (X Y) = E X \cdot E Y

却显然不独立（

Y

完全由

X

决定）。

「不相关」只管线性关系，「独立」管一切关系。

题目没说独立却按独立算

没有「相互独立」四个字时，

f (x, y) \neq = f_{X} (x) f_{Y} (y)

，

E (X Y)

也不能拆开。

这类题必须回到联合分布去积分或求和。

读题时把这四个字圈出来——有没有它，解法完全不同。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

X

与

Y

相互独立的定义：对一切

x, y

有

F (x, y) =

________。

练 2

离散型中，

X

与

Y

独立的判据是（）。

A存在某个 $(i, j)$ 使 $p_{ij} = p_{i \cdot} p_{\cdot j}$
B所有格子都有 $p_{ij} = p_{i \cdot} p_{\cdot j}$
C行和等于列和
D所有格子相等

练 3

连续型中，

X

与

Y

独立的判据：

f (x, y) =

________。

练 4

若

X, Y

独立，则条件密度

f_{X ∣ Y} (x ∣ y)

等于（）。

A $f (x, y)$
B $f_{Y} (y)$
C $1$
D $f_{X} (x)$

第二组 · 判独立

练 5

四格概率均为

0.25

的联合分布律中，

X

与

Y

________（填「独立」或「不独立」）。

练 6

联合分布律

p_{00} = 0.1, p_{01} = 0.2, p_{10} = 0.3, p_{11} = 0.4

中，

X

与

Y

________。

练 7

设

f (x, y) = 2

在三角形

0 < y < x < 1

上，则

X, Y

（）。

A独立，因为 $f$ 是常数
B独立，因为区域是三角形
C不独立，因为区域不是矩形
D无法判断

练 8

连续型判独立时，应当先看（）。

A密度的最大值
B密度非零的区域是不是矩形
C密度是否连续
D两个边缘的期望

第三组 · 用独立性

练 9

设

X, Y

独立且都服从

U (0, 1)

，则联合密度

f (x, y) =

________（在单位正方形上）。

练 10

承上题，

P (X + Y \leq 1) =

________。

练 11

下列由独立性可以得到的是（）。

A $E (X Y) = E (X) E (Y)$ 与 $D (X + Y) = D (X) + D (Y)$
B $X$ 与 $Y$ 必互斥
C $X = Y$
D $F (x, y) = F_{X} (x) + F_{Y} (y)$

练 12

由

E (X Y) = E (X) E (Y)

能否断定

X, Y

独立（）。

A能
B能，但要求 $X, Y$ 连续
C能，但要求 $X, Y$ 离散
D不能，那只说明「不相关」

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

随机变量的独立性

先打基础

1. 定义：联合等于两个边缘相乘

2. 两种类型的判据

3. 连续型的实用判据：可分离，而且区域是矩形

4. 独立之后能做什么

常用结构

离散型判独立

连续型判独立

用独立性简化计算

基础易错

只验几个点就断定独立

只看密度可分离，不看区域

由 E(XY)=EX⋅EY 断定独立

题目没说独立却按独立算

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

由 $E (X Y) = E X \cdot E Y$ 断定独立