二维随机变量函数的分布

§16.4 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

2.73 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

2.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）二维随机变量与联合分布随机变量的独立性随机变量函数的分布

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 和的分布（卷积公式）： $f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, z - x) d x$ ，独立时 $= \int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ ，积分限由非零区域确定★★ 必会

一般公式（不要求独立）：设

(X, Y)

的联合密度为

f (x, y)

，则

Z = X + Y

的密度为

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, z - x) d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (z - y, y) d y,

这两个式子是等价的，先对哪一个变量积分都可以，计算时取较简便的一个。

独立情形，即卷积公式：当

X

与

Y

相互独立时，

f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

，于是

f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x,

记作

f_{X} * f_{Y}

。它的含义是：固定和

= z

，对一切拆分

x + (z - x) = z

把密度之积累加起来。

确定积分限的步骤（求分段密度时必须掌握）：① 列出非零条件，由

f_{X} (x) \neq = 0

给出

x

的范围，由

f_{Y} (z - x) \neq = 0

给出

z - x

的范围（再化成含

z

的

x

的范围）；② 联立这两组不等式，得出积分区间，其端点是常数与含

z

的表达式的

max / min

；③ 让

z

从

- \infty

变到

+ \infty

，区间的形态发生改变之处就是分段点，逐段积分；④ 写出分段密度并加以检验：每段应有

\geq 0

、总积分

= 1

。

两处常见错误：把

f_{Y} (z - x)

错写成

f_{Y} (z)

（忘记了两个变量之和应当

= z

）；只算中间一段而忘记分段。如果两个随机变量并不独立，那么应当回到一般公式，或者改用分布函数法。

证明 / 推导

用分布函数法推导：

F_{Z} (z) = P {X + Y \leq z} = \iint_{x + y \leq z} f (x, y) d x d y = \int_{- \infty}^{+ \infty} d x \int_{- \infty}^{z - x} f (x, y) d y .

对内层积分作换元

y = u - x

（

x

固定时

d y = d u

，且

y \leq z - x ⟺ u \leq z

），得

F_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} d x \int_{- \infty}^{z} f (x, u - x) d u = \int_{- \infty}^{z} [\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, u - x) d x] d u,

最后一步交换了积分次序。由此可见

F_{Z}

是方括号内函数的变上限积分，对

z

求导即得

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, z - x) d x;

当两个变量相互独立时，代入

f = f_{X} f_{Y}

即得卷积公式。

■

举例说明

2007·数三解答：设

(X, Y)

的联合密度为

f (x, y) = 2 - x - y

（

0 < x < 1, 0 < y < 1

），其余为

0

，求

Z = X + Y

的概率密度。解密度不能分离变量（

X, Y

不独立），因此用一般公式

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, z - x) d x

，困难在于按

z

分段确定积分限。
① 定限：被积函数

f (x, z - x) \neq = 0

要求

0 < x < 1

且

0 < z - x < 1

，即

max (0, z - 1) < x < min (1, z)

；让

z

从

0

变到

2

，区间的形态在

z = 1

处改变。
② 分段积分（在积分区间上

f (x, z - x) = 2 - x - (z - x) = 2 - z

，与

x

无关）：
-

0 \leq z < 1

：

x \in (0, z)

，

f_{Z} (z) = \int_{0}^{z} (2 - z) d x = z (2 - z) = 2 z - z^{2}

；
-

1 \leq z < 2

：

x \in (z - 1, 1)

，

f_{Z} (z) = \int_{z - 1}^{1} (2 - z) d x = (2 - z) (2 - z) = (2 - z)^{2}

；
- 其他：

0

。
③ 检验：

\int_{0}^{1} (2 z - z^{2}) d z + \int_{1}^{2} (2 - z)^{2} d z = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1

✓。容易出错之处：分段点

z = 1

来自上限与下限中哪一个更紧的转换（

min (1, z)

与

max (0, z - 1)

的转折）；只算一段，或者把积分限一律写成

(0, z)

，是这一类题目最常见的失分之处。

2. 独立正态随机变量之和仍服从正态分布：用卷积公式与配方法证明★ 要懂

可加性

N (μ_{1}, σ_{1}^{2}) + N (μ_{2}, σ_{2}^{2}) = N (μ_{1} + μ_{2}, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})

是常用的结论，但更要弄清它的证明。证法是先写出卷积积分，再对被积函数的指数配方：把关于积分变量的二次式配成完全平方，余下的常数项恰好给出所要的正态密度。期望相加与方差相加这两条结论，都在配方的过程中自然出现。

证明 / 推导

证. 只证

μ_{1} = μ_{2} = 0

（一般情形只须作一次平移）。设

X \sim N (0, σ_{1}^{2}), Y \sim N (0, σ_{2}^{2})

相互独立，记

Z = X + Y

，由卷积公式得

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{2 π σ _{1} σ _{2}} exp {- \frac{x ^{2}}{2 σ _{1}^{2}} - \frac{( z - x ) ^{2}}{2 σ _{2}^{2}}} d x .

记

σ^{2} = σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}

，对指数中的

x

配方（可以直接验证）：

\frac{x ^{2}}{σ _{1}^{2}} + \frac{( z - x ) ^{2}}{σ _{2}^{2}} = \frac{σ ^{2}}{σ _{1}^{2} σ _{2}^{2}} (x - \frac{σ _{1}^{2}}{σ ^{2}} z)^{2} + \frac{z ^{2}}{σ ^{2}} .

于是

f_{Z} (z) = \frac{1}{2 π σ _{1} σ _{2}} e^{- \frac{z ^{2}}{2 σ ^{2}}} \int_{- \infty}^{+ \infty} exp {- \frac{σ ^{2}}{2 σ _{1}^{2} σ _{2}^{2}} (x - \frac{σ _{1}^{2}}{σ ^{2}} z)^{2}} d x .

内层是正态型的积分，其值为

2 π \cdot \frac{σ _{1} σ _{2}}{σ}

，代入即得

f_{Z} (z) = \frac{1}{2 π σ} e^{- \frac{z ^{2}}{2 σ ^{2}}} ⟹ Z \sim N (0, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}) .

证毕。由此可见，方差相加并非偶然，而是配方以后指数中

z^{2}

的系数

\frac{1}{σ ^{2}} = \frac{1}{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2}}

直接给出的。

3. 离散卷积与泊松可加性： $P (λ_{1}) + P (λ_{2}) = P (λ_{1} + λ_{2})$ 的证明

上面讲的是连续型的卷积，离散型的情形同样重要。设

X, Y

相互独立且都取非负整数值，则

P (X + Y = k) = i = 0 \sum k P (X = i) P (Y = k - i) (k = 0, 1, 2, \dots),

即对

i

从

0

变到

k

求和，这就是离散卷积。用它可以证明泊松分布的可加性，证明中所用的主要工具是二项式定理。

证明 / 推导

证. 设

X \sim P (λ_{1}), Y \sim P (λ_{2})

相互独立。对

k = 0, 1, 2, \dots

，有

P (X + Y = k) = i = 0 \sum k \frac{λ _{1}^{i} e ^{- λ_{1}}}{i !} \cdot \frac{λ _{2}^{k - i} e ^{- λ_{2}}}{( k - i )!} = \frac{e ^{- (λ_{1} + λ_{2})}}{k !} i = 0 \sum k \frac{k !}{i ! ( k - i )!} λ_{1}^{i} λ_{2}^{k - i} .

和式中的分数就是二项系数

(i k)

，而由二项式定理

i = 0 \sum k (i k) λ_{1}^{i} λ_{2}^{k - i} = (λ_{1} + λ_{2})^{k},

所以

P (X + Y = k) = \frac{( λ _{1} + λ _{2} ) ^{k} e ^{- (λ_{1} + λ_{2})}}{k !} ⟹ X + Y \sim P (λ_{1} + λ_{2}) .

用同样的方法（离散卷积与二项式定理）还可以证明：具有相同

p

的两个二项分布之和仍服从二项分布。

4. 最大值与最小值的分布：由分布函数求密度；独立指数分布的最小值仍服从指数分布★★ 必会

前面给出了

max / min

的分布函数，而解题时常常需要密度。设

X_{1}, \dots, X_{n} \sim F

（密度为

f

）相互独立且同分布。对于

M = max

，有

F_{M} = F^{n}

，求导得

f_{M} (t) = n F (t)^{n - 1} f (t)

；对于

N = min

，有

F_{N} = 1 - (1 - F)^{n}

，从而

f_{N} (t) = n [1 - F (t)]^{n - 1} f (t)

。从直观上看，最大值恰好取到

t

时，必须有一个变量恰在

t

处，而其余各个都

\leq t

，所以出现因子

F^{n - 1}

。还有一个值得注意的结论：相互独立的指数分布，其最小值仍服从指数分布，并且参数（失效率）相加。串联系统中最先损坏的部件决定整体的寿命，可靠性理论中的串联模型就是根据这一结论建立的。

证明 / 推导

证. 设

X_{i} \sim E (λ_{i})

相互独立（参数可以不同），记

N = min_{i} X_{i}

。最小值

> t

当且仅当全体

> t

，于是

P (N > t) = i = 1 \prod n P (X_{i} > t) = i = 1 \prod n e^{- λ_{i} t} = e^{- (λ_{1} + \dots + λ_{n}) t} (t > 0) .

右端就是参数为

λ_{1} + \dots + λ_{n}

的指数分布的生存函数，所以

N \sim E (λ_{1} + \dots + λ_{n}), E (N) = \frac{1}{λ _{1} + \dots + λ _{n}},

它比任何一个

E (X_{i}) = 1/ λ_{i}

都小，可见寿命由最先失效的那一个决定。

举例说明

2012·数三解答：设

X, Y

相互独立，且都

\sim E (1)

，记

U = max {X, Y}, V = min {X, Y}

。（Ⅰ）求

V

的密度；（Ⅱ）求

E (U + V)

。解
（Ⅰ）对最小值宜用等价关系 $min > v ⟺$ 全体 $> v$ ，这样最为简便：

F_{V} (v) = 1 - P {X > v, Y > v} = 1 - [1 - F (v)]^{2}

，其中

F (t) = 1 - e^{- t}

（

t \geq 0

）。当

v \geq 0

时

F_{V} (v) = 1 - e^{- 2 v}

，求导得

f_{V} (v) = 2 e^{- 2 v}

（

v > 0

），即 $V \sim E (2)$ 。可见相互独立的指数分布，其最小值仍服从指数分布，参数相加（

1 + 1 = 2

）。
（Ⅱ）利用恒等式

U + V = max + min = X + Y

：

E (U + V) = E (X) + E (Y) = 1 + 1 = 2.

要点：

min

对应于全体都大于某数，

max

对应于全体都小于某数，据此可一步写出分布函数，再求导；而

max + min \equiv

两数之和，这就避免了单独求

E (U)

的积分（如果直接计算：

f_{U} (u) = 2 e^{- u} (1 - e^{- u})

，

E (U) = \frac{3}{2}

，

E (V) = \frac{1}{2}

，两者之和仍为

2

）。

5. 商与积的分布：用分布函数法作出区域、分段、再求导★★ 必会

对于

Z = X / Y, X Y, ∣ X - Y ∣

这一类不是和的函数，卷积公式不能使用，但分布函数法总是有效的。先写出

F_{Z} (z) = P (g (X, Y) \leq z)

，把

{g (x, y) \leq z}

表示成平面上的区域，把它与密度的非零区域求交，在交集上对联合密度积分，然后对

z

求导。困难始终在于区域随

z

而变化，必须分段讨论。对于商，另有现成公式

f_{X / Y} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ y ∣ f (z y, y) d y

，但更可靠的做法仍是回到分布函数法，自己作图确定积分限。

举例说明

2001·数三解答：设

(X, Y)

在正方形

G = {1 \leq x \leq 3, 1 \leq y \leq 3}

上服从均匀分布，求

U = ∣ X - Y ∣

的概率密度

p (u)

。解

U = ∣ X - Y ∣

不是和的形式，故用分布函数法：作出区域、分段、再求导。联合密度

f = \frac{1}{4}

（

G

内），面积

= 4

。
① 把分布函数写成面积之比：

F_{U} (u) = P {∣ X - Y ∣ \leq u} = \frac{1}{4} \cdot (带 ∣ x - y ∣ \leq u 的部分在 G 内的面积)

。
② 作出区域，按 $u$ 分段：

U

的取值范围是

[0, 2]

。

当

0 \leq u < 2

时，在

G

内不满足

∣ x - y ∣ \leq u

的部分，是对角线两侧两个直角边长为

2 - u

的三角形，其面积为

2 \cdot \frac{( 2 - u ) ^{2}}{2} = (2 - u)^{2}

，因此

F_{U} (u) (0 = 1 - \frac{( 2 - u ) ^{2}}{4} \leq u < 2); u < 0 时 0, u \geq 2 时 1.

③ 求导得密度：

p (u) = F_{U}^{'} (u) = \frac{2 - u}{2}

（

0 < u < 2

），其余为

0

。
要点：遇到

∣ X - Y ∣, X / Y, X Y

这一类不是和的函数，卷积公式失效，应当回到

F_{U} (u) = P (g (X, Y) \leq u)

，自己作出区域，随

u

分段，再求导。区域随

u

而变化，这就是需要分段的原因。

💡 小知识

两个独立均匀分布之和的密度是一个三角形，四个之和就已经拱出一座像模像样的钟形山包，中心极限定理的雏形在这里看得见摸得着。数字音频里把两次 dithering 抖动叠加起来得到三角分布，依据的也是同一条卷积。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

X, Y

相互独立，且

P (X = 0) = P (X = 1) = \frac{1}{2}

，

P (Y = 0) = P (Y = 1) = \frac{1}{2}

。求

Z = X + Y

的分布律。难度 1

思路： $Z = X + Y$ 的每个取值，把所有「凑」出它的 $(x, y)$ 概率相加；因独立，联合概率 = 边缘之积。

Z

可能取

0, 1, 2

。

P (Z = 0) = P (X = 0, Y = 0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4},

P (Z = 1) = P (X = 0, Y = 1) + P (X = 1, Y = 0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2},

P (Z = 2) = P (X = 1, Y = 1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} .

即

Z P 0 \frac{1}{4} 1 \frac{1}{2} 2 \frac{1}{4}

（这正是二项分布

B (2, \frac{1}{2})

。）小结：离散场合，先列

Z

的取值，再把对应

(x, y)

概率归并相加。

例 2 设

X, Y

相互独立，且都服从参数为

1

的指数分布，即

f_{X} (x) = e^{- x} (x > 0)

，

f_{Y} (y) = e^{- y} (y > 0)

。求

Z = X + Y

的概率密度。难度 2

独立场合用卷积公式

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x

。
被积因子非零要求

x > 0

且

z - x > 0

，即

0 < x < z

（这需要

z > 0

）。当

z > 0

时：

f_{Z} (z) = \int_{0}^{z} e^{- x} e^{- (z - x)} d x = \int_{0}^{z} e^{- z} d x = z e^{- z} .

当

z \leq 0

时

f_{Z} (z) = 0

。故

f_{Z} (z) = {z e^{- z}, 0, z > 0, z \leq 0.

（这是参数为

(2, 1)

的伽马分布。）小结：卷积的关键是由「

x

与

z - x

双重约束」定出积分限，并按

z

分段。

例 3 设

X, Y

相互独立，且都服从

[0, 1]

上的均匀分布。求

M = max (X, Y)

的概率密度。难度 2

最大值用分布函数法最省事： $max (X, Y) \leq z ⟺ X \leq z$ 且 $Y \leq z$ 。 独立时概率相乘。
先写

X

（也是

Y

）的分布函数：当

0 \leq z \leq 1

时

F_{X} (z) = z

。故当

0 \leq z \leq 1

：

F_{M} (z) = P (X \leq z, Y \leq z) = F_{X} (z) F_{Y} (z) = z \cdot z = z^{2} .

（

z < 0

时

F_{M} = 0

；

z > 1

时

F_{M} = 1

。）求导得密度：

f_{M} (z) = F_{M}^{'} (z) = {2 z, 0, 0 < z < 1, 其他 .

小结：

F_{m a x} = F_{X} F_{Y}

、

F_{m i n} = 1 - (1 - F_{X}) (1 - F_{Y})

，均以独立为前提；求完分布函数别忘了求导得密度。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X

和

Y

独立同分布，

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}}, 0, x > 0, x \leq 0,

则

P {X Y \leq 1} =

（　　）。

A $\frac{3}{4}$
B $\frac{1}{2}$
C $\frac{1}{3}$
D $\frac{1}{6}$

2024 年 · 数三 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X, Y

相互独立，且

X \sim N (0, 2)

，

Y \sim N (- 1, 1)

。记

p_{1} = P {2 X > Y}

，

p_{2} = P {X - 2 Y > 1}

，则（　　）。

A $p_{1} > p_{2} > \frac{1}{2}$
B $p_{2} > p_{1} > \frac{1}{2}$
C $p_{1} < p_{2} < \frac{1}{2}$
D $p_{2} < p_{1} < \frac{1}{2}$

2024 年 · 数三 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设随机变量

X, Y

相互独立，且均服从参数为

λ

的指数分布。令

Z = ∣ X - Y ∣

，则下列随机变量与

Z

同分布的是（　　）。

A $X + Y$
B $\frac{X + Y}{2}$
C $2 X$
D $X$

2019 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X

与

Y

相互独立，且都服从正态分布

N (μ, σ^{2})

，则

P {∣ X - Y ∣ < 1}

（　　）

A与 $μ$ 无关，而与 $σ^{2}$ 有关
B与 $μ$ 有关，而与 $σ^{2}$ 无关
C与 $μ, σ^{2}$ 都有关
D与 $μ, σ^{2}$ 都无关

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X, Y

相互独立，且都等可能取值

1

或

2

（各以概率

\frac{1}{2}

）。令

Z = X + Y

，则

P (Z = 3) =

（　）。

A $\frac{1}{4}$
B $\frac{1}{3}$
C $\frac{1}{2}$
D $\frac{3}{4}$

练习 2 · 填空题

设

X, Y

相互独立，且都服从

[0, 1]

上的均匀分布，令

M = max (X, Y)

，则

P (M \leq \frac{1}{2}) =

____。

练习 3 · 选择题

设

X \sim N (1, 4)

，

Y \sim N (2, 9)

，且

X, Y

相互独立，则

X + Y

服从（　）。

A $N (3, 13)$
B $N (3, 5)$
C $N (3, 13)$
D $N (1, 13)$

练习 4 · 填空题

设

X, Y

相互独立，且都服从参数为

1

的指数分布（即

P (X > t) = e^{- t}, t > 0

）。令

N = min (X, Y)

，则

P (N > 1) =

____。

练习 5 · 选择题

设随机变量

X

与

Y

相互独立，且

P (X = - 1) = P (X = 1) = \frac{1}{2}

，

P (Y = - 1) = P (Y = 1) = \frac{1}{2}

。令

Z = X Y

，则下列说法正确的是（　）。

A $Z$ 与 $X$ 必不独立，因为 $Z$ 是由 $X$ 参与算出来的
B $X, Y, Z$ 三者相互独立
C $Z$ 只取值 $1$ ，即 $P (Z = 1) = 1$
D $Z$ 与 $X$ 相互独立，且 $Z$ 与 $X$ 同分布

练习 6 · 填空题

设随机变量

X

与

Y

相互独立，

X

在区间

(0, 1)

上服从均匀分布，

Y

的分布律为

P (Y = 1) = P (Y = 2) = \frac{1}{2}

。令

Z = X Y

，则

P (Z \leq \frac{1}{2}) =

____。

练习 7 · 解答题

设随机变量

X

与

Y

相互独立，

X

在区间

(0, 2)

上服从均匀分布，

Y

服从参数

λ = 1

的指数分布。

(1) 求

Z = max {X, Y}

的分布函数

F_{Z} (z)

与概率密度

f_{Z} (z)

；

(2) 求

P (X > Y)

。

2017 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设随机变量

X, Y

相互独立，且

X

的概率分布为

P {X = 0} = P {X = 2} = \frac{1}{2}

，

Y

的概率密度为

f (y) = {2 y, 0, 0 < y < 1, 其他 .

（Ⅰ）求

P {Y \leq E (Y)}

；

（Ⅱ）求

Z = X + Y

的概率密度。

2016 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 11 分

设二维随机变量

(X, Y)

在区域

D = {(x, y) ∣ 0 < x < 1, x^{2} < y < x}

上服从均匀分布，令

U = {1, 0, X \leq Y, X > Y .

（Ⅰ）写出

(X, Y)

的概率密度；（Ⅱ）问

U

与

X

是否相互独立？并说明理由；（Ⅲ）求

Z = U + X

的分布函数

F (z)

。

二维随机变量函数的分布

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 和的分布（卷积公式）：fX+Y​(z)=∫−∞+∞​f(x,z−x)dx，独立时 =∫fX​(x)fY​(z−x)dx，积分限由非零区域确定★★ 必会

2. 独立正态随机变量之和仍服从正态分布：用卷积公式与配方法证明★ 要懂

3. 离散卷积与泊松可加性：P(λ1​)+P(λ2​)=P(λ1​+λ2​) 的证明

4. 最大值与最小值的分布：由分布函数求密度；独立指数分布的最小值仍服从指数分布★★ 必会

5. 商与积的分布：用分布函数法作出区域、分段、再求导★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 和的分布（卷积公式）： $f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, z - x) d x$ ，独立时 $= \int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ ，积分限由非零区域确定★★ 必会

3. 离散卷积与泊松可加性： $P (λ_{1}) + P (λ_{2}) = P (λ_{1} + λ_{2})$ 的证明