随机变量函数的分布

§15.6 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

3.34 分/卷近 11 年平均

8/11 年出现年份

4.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）连续型随机变量及其概率密度离散型随机变量及其分布律③ 掌握后可解锁二维随机变量函数的分布

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 公式法的由来与递减的情形：为什么要取 $∣ h^{'} (y) ∣$ ★★ 必会

连续型随机变量作单调变换时所用的公式

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) ∣ h^{'} (y) ∣

不必死记，它可由分布函数法一步推出，其中的绝对值来自把递增与递减两种情形统一写成一式。弄清这个推导，才不会在

g

递减时漏掉负号，也不会忘记限定

Y

的值域。

证明 / 推导

设

y = g (x)

严格单调且可导，其反函数为

x = h (y)

。

递增的情形：

F_{Y} (y) = P (g (X) \leq y) = P (X \leq h (y)) = F_{X} (h (y))

，两边求导得

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) h^{'} (y)

，而

h^{'} > 0

，故

= f_{X} (h (y)) ∣ h^{'} (y) ∣

。

递减的情形：不等式

g (X) \leq y

反号成为

X \geq h (y)

，于是

F_{Y} (y) = P (X \geq h (y)) = 1 - F_{X} (h (y))

，求导得

f_{Y} (y) = - f_{X} (h (y)) h^{'} (y)

，而此时

h^{'} < 0

，使

- h^{'} = ∣ h^{'} ∣ > 0

，故仍有

= f_{X} (h (y)) ∣ h^{'} (y) ∣

。

把两种情形合起来，就写成一个带绝对值的公式。

举例说明

设

X \sim U (0, 1)

，求

Y = - ln X

的密度，这就是由均匀分布生成指数分布。

g (x) = - ln x

在

(0, 1)

上严格递减，

y \in (0, \infty)

，反函数为

x = h (y) = e^{- y}

，

h^{'} (y) = - e^{- y}

，故

∣ h^{'} (y) ∣ = e^{- y}

。又

f_{X} (h (y)) = 1

，因为

e^{- y} \in (0, 1)

。于是

f_{Y} (y) = 1 \cdot e^{- y} = e^{- y} (y > 0),

即

Y \sim E (1)

。如果漏掉绝对值，就会得出负的密度。这说明递减时必须取

∣ h^{'} ∣

。

2. 非单调变换：分布函数法与多分支的一般公式★★ 必会

当

g

不是单调函数时，上面的公式不再适用，必须回到分布函数法；如果

g

在若干段上分别单调，还可以推出多分支公式：设方程

g (x) = y

在

X

的取值范围内有反函数的各个分支

x = h_{1} (y), \dots, h_{m} (y)

，则

f_{Y} (y) = i = 1 \sum m f_{X} (h_{i} (y)) h_{i}^{'} (y),

也就是把各个单调分支各算一份，再相加。

Y = X^{2}, Y = ∣ X ∣

都是两个分支的典型例子。

证明 / 推导

设

X

为一般的连续型随机变量，密度为

f_{X}

，求

Y = X^{2}

的密度。对

y > 0

，有

{X^{2} \leq y} = {- y \leq X \leq y}

，故

F_{Y} (y) = F_{X} (y) - F_{X} (- y) .

两边对

y

求导，注意

\frac{d}{d y} y = \frac{1}{2 y}

，得

f_{Y} (y) = f_{X} (y) \cdot \frac{1}{2 y} + f_{X} (- y) \cdot \frac{1}{2 y} = \frac{1}{2 y} [f_{X} (y) + f_{X} (- y)] (y > 0),

当

y \leq 0

时其值为

0

。这就是两个分支

h_{1, 2} (y) = \pm y

、

∣ h_{1, 2}^{'} (y) ∣ = \frac{1}{2 y}

所对应的多分支公式。

举例说明

作为特例，设

X \sim N (0, 1)

。此时

f_{X} (\pm y) = \frac{1}{2 π} e^{- y /2}

，代入上式得

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 y} \cdot \frac{2}{2 π} e^{- y /2} = \frac{1}{2 π y} e^{- y /2} (y > 0),

即自由度为

1

的卡方分布

χ^{2} (1)

。有了多分支公式，

Y = X^{2}

这类非单调变换的问题就有了统一的算法。

3. 概率积分变换与逆变换抽样★★ 必会

下面是一条既简洁又实用的结论：设连续型随机变量

X

的分布函数

F

连续且严格递增，则

Y = F (X) \sim U (0, 1)

；反过来，取

U \sim U (0, 1)

，令

X = F^{- 1} (U)

，则

X

的分布函数恰好是

F

。前一条称为概率积分变换，后一条是计算机作逆变换抽样的原理：计算机只能产生均匀随机数，正是靠这一步函数变换才得到任意的分布。

证明 / 推导

设

F

连续且严格递增，值域为

(0, 1)

。对

y \in (0, 1)

，有

P (Y \leq y) = P (F (X) \leq y) = P (X \leq F^{- 1} (y)) = F (F^{- 1} (y)) = y,

其中第二步用到

F

严格递增因而可以反解。上式右端就是

U (0, 1)

的分布函数，故

Y \sim U (0, 1)

。

反过来，令

X = F^{- 1} (U)

，则

P (X \leq x) = P (F^{- 1} (U) \leq x) = P (U \leq F (x)) = F (x),

所以

X

的分布函数为

F

。

举例说明

2003·数三解答：设

X

的概率密度为

f (x) = \frac{1}{3 3 x ^{2}} (x \in [1, 8])

，其余各处为

0

，

F (x)

为

X

的分布函数，求

Y = F (X)

的分布函数。
解：本题直接考查概率积分变换，并不需要求出

F

的表达式。

X

是连续型随机变量，且在

[1, 8]

上

f > 0

，故

F

在

[1, 8]

上连续且严格递增，值域为

[0, 1]

，于是

Y = F (X)

的取值落在

[0, 1]

内。对

0 \leq y < 1

，由

F

严格递增可以反解，得

F_{Y} (y) = P (F (X) \leq y) = P (X \leq F^{- 1} (y)) = F (F^{- 1} (y)) = y,

再补上当

y < 0

时为

0

、当

y \geq 1

时为

1

，便得

F_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, y, 1, y < 0, 0 \leq y < 1, y \geq 1,

即

Y \sim U (0, 1)

。要点是：这一结论只依赖于

F

连续且严格递增，与

f

的具体形式无关，题中所给含

3 x^{2}

的密度根本不必积分。这也是计算机作逆变换抽样的理论根据。

4. 截断与取最值会产生混合型分布★★ 必会

变换

Y = g (X)

未必仍是连续型：如果

g

把

X

的一整段取值压缩到一个点上，例如

max (X, 0)

把所有负值都压成

0

，

min (X, c)

把超过上界的值都取为

c

，那么

Y

就会在该点出现具有正概率的原子，从而成为混合型，即既有跳跃又有连续的一段。这类题目不能只用密度来描述，应当用分布函数统一处理：先分出原子点，再计算连续的部分。

举例说明

2002·数三解答：某设备开机后无故障工作的时间

X

服从指数分布，平均无故障时间

E (X) = 5

小时；设备即使无故障也最多工作 $2$ 小时便关机，故实际工作时间

Y = min (X, 2)

。求

Y

的分布函数。
解：由

E (X) = \frac{1}{λ} = 5

得

λ = \frac{1}{5}

，即

X \sim E (\frac{1}{5})

，

F_{X} (x) = 1 - e^{- x /5} (x \geq 0)

。变换

Y = min (X, 2)

把

{X \geq 2}

这一整段压缩到一个点

y = 2

上，会在该点产生原子，故用分布函数统一处理：
- 当

y < 0

时：

F_{Y} (y) = 0

；
- 当

0 \leq y < 2

时：

{Y \leq y} = {X \leq y}

，故

F_{Y} (y) = 1 - e^{- y /5}

；
- 当

y \geq 2

时：

Y

不可能超过

2

，故

F_{Y} (y) = 1

。

于是

F_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 1 - e^{- y /5}, 1, y < 0, 0 \leq y < 2, y \geq 2.

在

y = 2

处

F_{Y}

由

1 - e^{- 2/5}

跳到

1

，原子为

P (Y = 2) = e^{- 2/5} = P (X \geq 2)

，它就是一直工作到强制关机的概率；而在

[0, 2)

上分布函数连续，这是连续的一段。可见

Y

既不是连续型也不是离散型，而是典型的混合型，如果只写密度，必然漏掉这个大小为

e^{- 2/5}

的原子。

💡 小知识

取

U \sim U (0, 1)

，令

X = F^{- 1} (U)

，那么

X

就服从分布

F

。这条由随机变量函数分布推出的结论叫逆变换采样，几乎所有编程语言的随机数库都建立在它之上：计算机本身只会生成均匀随机数，其余各式各样的分布，都是靠这一步函数变换得到的。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设离散型随机变量

X

的分布律为

X P - 1 0.1 0 0.2 1 0.3 2 0.4

求

Y = X^{2}

的分布律。难度 1

离散型口诀：值搬家、同值合并概率。

把每个

x

代入

y = x^{2}

：

(- 1)^{2} = 1

，

0^{2} = 0

，

1^{2} = 1

，

2^{2} = 4

。故

Y

取

0, 1, 4

。
合并取值相同者：

P (Y = 0) = P (X = 0) = 0.2,

P (Y = 1) = P (X = - 1) + P (X = 1) = 0.1 + 0.3 = 0.4,

P (Y = 4) = P (X = 2) = 0.4.

分布律：

Y P 0 0.2 1 0.4 4 0.4

（概率之和

0.2 + 0.4 + 0.4 = 1

，验证无误。）

例 2 设

X \sim U (0, 1)

，密度

f_{X} (x) = 1 (0 < x < 1)

。求

Y = 2 X + 1

的概率密度。难度 1

线性变换 $Y = a X + b$ 用公式 $f_{Y} (y) = \frac{1}{∣ a ∣} f_{X} (\frac{y - b}{a})$ 。

这里

a = 2, b = 1

。当

0 < x < 1

时

y = 2 x + 1

落在

(1, 3)

，故

Y

的取值范围是

(1, 3)

。

f_{Y} (y) = \frac{1}{∣2∣} f_{X} (\frac{y - 1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}, 1 < y < 3,

其他处为

0

。即

Y \sim U (1, 3)

。

例 3 设

X \sim U (0, 1)

，密度

f_{X} (x) = 1 (0 < x < 1)

。求

Y = e^{X}

的概率密度。难度 2

用分布函数法（也可用单调公式法），先写 $F_{Y}$ 再求导。

因

0 < X < 1

，故

Y = e^{X}

取值于

(e^{0}, e^{1}) = (1, e)

。
对

1 < y < e

，由

e^{X} \leq y ⟺ X \leq ln y

：

F_{Y} (y) = P (e^{X} \leq y) = P (X \leq ln y) = F_{X} (ln y) = ln y

（因

0 < ln y < 1

，而

U (0, 1)

的

F_{X} (t) = t

）。求导：

f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y) = \frac{1}{y}, 1 < y < e,

其他处为

0

。
（验证：

\int_{1}^{e} \frac{1}{y} d y = ln e - ln 1 = 1

。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

假设某种元件的寿命服从指数分布，其均值

θ

是未知参数。为估计

θ

，取

n

个这种元件同时做寿命试验，试验到出现

k

（

1 \leq k \leq n

）个元件失效时停止。

（1）若

k = 1

，失效元件的寿命记为

T

，（i）求

T

的概率密度；（ii）确定

a

，使得

\hat{θ} = a T

是

θ

的无偏估计，并求

D (\hat{θ})

；

（2）已知

k

个失效元件的寿命值分别为

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{k}

，且

t_{1} \leq t_{2} \leq \dots \leq t_{k}

，似然函数为

L (θ) = \frac{1}{θ ^{k}} e^{- \frac{1}{θ} [\sum_{i = 1}^{k} t_{i} + (n - k) t_{k}]}

，求

θ

的最大似然估计值。

2025 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额

Y

与投保人的损失额

X

的关系为

Y = {0, X - 100, X \leq 100 X > 100

，设损失事件发生时，投保人的损失额

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 \times 10 0 ^{2}}{( 100 + x ) ^{3}}, 0, x > 0 x \leq 0

。

（Ⅰ）求

P {Y > 0}

及

E (Y)

；

（Ⅱ）这种损失事件在一年内发生的次数记为

N

，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为

M

。假设

N

服从参数为

8

的泊松分布，在

N = n (n \geq 1)

的条件下，

M

服从二项分布

B (n, p)

，其中

p = P {Y > 0}

，求

M

的概率分布。

2024 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

设总体

X

服从

[0, θ]

上的均匀分布，其中

θ \in (0, + \infty)

为未知参数，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本。记

X_{(n)} = max {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}

，

T_{c} = c X_{(n)}

。（Ⅰ）求

c

，使得

E (T_{c}) = θ

；（Ⅱ）记

h (c) = E [(T_{c} - θ)^{2}]

，求

c

使得

h (c)

最小。

2023 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = \frac{e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}}, - \infty < x < + \infty

，令

Y = e^{X}

。（Ⅰ）求

X

的分布函数；（Ⅱ）求

Y

的概率密度；（Ⅲ）

Y

的数学期望是否存在？

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X

的分布律为

X P - 1 0.3 0 0.3 1 0.4

，令

Y = X^{2}

，则

P (Y = 1) =

（　）。

A $0.7$
B $0.4$
C $0.3$
D $1$

练习 2 · 填空题

设

X \sim U (0, 1)

，

Y = 3 X

，则

Y

的概率密度在

0 < y < 3

上的值

f_{Y} (y) =

____。

练习 3 · 选择题

设

X \sim N (0, 1)

，令

Y = 2 X + 1

，则

Y

服从（　）。

A $N (1, 4)$
B $N (0, 1)$
C $N (1, 2)$
D $N (2, 1)$

练习 4 · 填空题

设

X \sim U (0, 2)

，密度

f_{X} (x) = \frac{1}{2} (0 < x < 2)

，令

Y = X^{2}

，则

Y

的概率密度在

0 < y < 4

上为

f_{Y} (y) =

____。

练习 5 · 选择题

设

X

的分布律为

X P 1 1/3 2 1/3 3 1/3

，令

Y = 2 X - 1

，则

P (Y = 3) =

（　）。

A $\frac{1}{3}$
B $\frac{1}{2}$
C $\frac{2}{3}$
D $\frac{1}{6}$

练习 6 · 选择题

设连续型随机变量

X

的分布函数

F (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续且严格单调增加，令

Y = F (X)

，则

Y

服从（　）。

A与 $X$ 相同的分布
B参数为 $1$ 的指数分布
C区间 $(0, 1)$ 上的均匀分布
D标准正态分布 $N (0, 1)$

练习 7 · 填空题

设

X \sim U (0, π)

，令

Y = sin X

，则当

0 < y < 1

时

Y

的概率密度

f_{Y} (y) =

____。

练习 8 · 解答题

设

X \sim U (0, 3)

，令

Y = min {X, 2}

。

(1) 求

Y

的分布函数

F_{Y} (y)

；

(2) 说明

Y

既不是离散型也不是连续型随机变量，并求

P (Y = 2)

；

(3) 求

E Y

。

2021 年 · 数三 · 第 22 题 · 解答题 · 12 分

在区间

(0, 2)

上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为

X

，较长一段的长度记为

Y

，令

Z = \frac{Y}{X}

。

（Ⅰ）求

X

的概率密度；（Ⅱ）求

Z

的概率密度；（Ⅲ）求

E (\frac{X}{Y})

。

2009 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X

与

Y

相互独立，且

X

服从标准正态分布

N (0, 1)

，

Y

的概率分布为

P {Y = 0} = P {Y = 1} = \frac{1}{2}

。记

F_{Z} (z)

为随机变量

Z = X Y

的分布函数，则函数

F_{Z} (z)

的间断点个数为（　　）。

A $0$ .
B $1$ .
C $2$ .
D $3$ .

随机变量函数的分布

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 公式法的由来与递减的情形：为什么要取 ∣h′(y)∣★★ 必会

2. 非单调变换：分布函数法与多分支的一般公式★★ 必会

3. 概率积分变换与逆变换抽样★★ 必会

4. 截断与取最值会产生混合型分布★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 公式法的由来与递减的情形：为什么要取 $∣ h^{'} (y) ∣$ ★★ 必会