矩估计

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考频价值

0.15 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

0.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）总体、样本与统计量数学期望矩与协方差矩阵

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 未知参数的个数决定用到几阶矩；一阶矩不含参数时必须改用高阶矩★★ 必会

通常的做法是从低阶原点矩起逐阶取用：有几个未知参数，就列几个方程。只有一个参数时，一般只需

E (X) = \overset{ˉ}{X}

；有两个参数时，再补上

E (X^{2}) = A_{2}

（或

D (X) = B_{2}

）。

但这里有一处必须注意：如果 $E (X)$ 中不含待估参数，那么一阶矩方程里就没有 $θ$ ，方程无法求解。最典型的是关于原点对称的总体，此时

E (X) = 0

恒成立，与参数无关。于是上述做法应改为：从低阶矩起逐阶取用，跳过一切不含参数的矩，直到凑齐含参数且可解的方程组为止。

举例说明

设总体密度

f (x; θ) = \frac{1}{2 θ}

，

- θ < x < θ

（

θ > 0

未知），

X_{1}, \dots, X_{n}

为样本，求

θ

的矩估计量。

解. 密度关于原点对称，故

E (X) = 0

，一阶矩方程

0 = \overset{ˉ}{X}

中不含

θ

，无法求解。改用二阶矩：

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2} = \frac{( 2 θ ) ^{2}}{12} + 0 = \frac{θ ^{2}}{3} .

令

E (X^{2}) = A_{2} = \frac{1}{n} \sum X_{i}^{2}

，得

\frac{θ ^{2}}{3} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2} ⟹ \hat{θ} = \frac{3}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2} .

如果只机械地写出

E (X) = \overset{ˉ}{X}

，计算就无法进行。对称总体的试题往往在此处设问。

2. 矩估计不顾及参数应满足的约束，可能给出范围之外的取值★ 要懂

矩估计只是机械地令理论矩等于样本矩，完全不顾参数应满足的约束（例如支撑的端点应满足

X_{i} \leq θ

）。因此它可能给出自相矛盾的估计值，甚至比已观测到的数据还小。

这是矩估计与最大似然估计相比的主要不足：它没有利用样本必须落在参数所决定的范围之内这一信息。最大似然估计把定义域的约束写进了似然函数，所以不会越出范围。

举例说明

设

X \sim U [0, θ]

。由

E (X) = θ /2 = \overset{ˉ}{X}

得矩估计

\hat{θ}_{矩} = 2 \overset{ˉ}{X}

。

取样本

0.1, 0.2, 0.3, 3.4

（

n = 4

）：

\overset{ˉ}{X} = \frac{0.1 + 0.2 + 0.3 + 3.4}{4} = 1.0

，故

\hat{θ}_{矩} = 2

。

这里出现了矛盾：观测值中有

X_{(4)} = 3.4

，而

U [0, 2]

不可能产生大于

2

的值，矩估计把

θ

估成了比已观测数据还小的

2

，与观测结果矛盾。

作为对照，最大似然估计

\hat{θ}_{MLE} = X_{(n)} = 3.4

，它永远

\geq

一切观测值，是合理的。这个例子清楚地说明矩估计没有充分利用样本所含的信息，其结果有可能不合理。

3. 连续总体求矩估计的标准步骤：先积分把总体矩表为参数的函数，再反解★★ 必会

对连续总体，

E (X^{k}) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{k} f (x; θ) d x

必须先积出来，化成

θ

的显式函数，再令它等于样本矩，反解出

θ

。全部困难都集中在把矩表为参数的函数这一步：积分必须算对，尤其积分限就是分布的支撑，不能弄错。

举例说明

（数三 2004） 设随机变量

X

的分布函数为

F (x; β) = {1 - x^{- β}, 0, x > 1, x \leq 1,

其中

β > 1

未知，

X_{1}, \dots, X_{n}

为样本，求

β

的矩估计量。

解. 先把分布函数求导，得密度：当

x > 1

时

f (x; β) = F^{'} (x) = β x^{- β - 1}

，其余情形为

0

。第一步，把总体的一阶矩积成

β

的函数（积分限

x > 1

就是支撑，不可弄错）：

E (X) = \int_{1}^{+ \infty} x \cdot β x^{- β - 1} d x = β \int_{1}^{+ \infty} x^{- β} d x = β \cdot \frac{1}{β - 1} = \frac{β}{β - 1} .

第二步，令

E (X) = \overset{ˉ}{X}

，得

\frac{β}{β - 1} = \overset{ˉ}{X}

，即

β = \overset{ˉ}{X} (β - 1)

。第三步，反解，由

β (1 - \overset{ˉ}{X}) = - \overset{ˉ}{X}

得

\hat{β} = \frac{X ˉ}{X ˉ - 1} .

全部困难都集中在把

E (X)

积成参数的函数这一步；条件

\overset{ˉ}{X} > 1

保证分母为正，解才有意义。

■

4. 矩估计几乎总是相合的：大数定律加上连续函数保持依概率收敛

相合性，即样本容量越大估计越准确，是矩估计最可靠的性质。理由分为两步：

1. 样本矩依概率收敛于总体矩：由辛钦大数定律，

A_{k} = \frac{1}{n} \sum X_{i}^{k} P E (X^{k}) = μ_{k}

；
2. 连续函数保持依概率收敛：参数是矩的连续函数

\hat{θ} = h (A_{1}, \dots, A_{m})

，由连续映射定理，

\hat{θ} P h (μ_{1}, \dots, μ_{m}) = θ

。

所以，即使矩估计是有偏的（例如

B_{2}

低估

σ^{2}

），它仍然是相合的。有偏与相合是两个不同的概念，不可混淆。

证明 / 推导

下面就单参数的情形给出严格论证。设

\hat{θ} = h (A_{1})

，其中

A_{1} = \overset{ˉ}{X}

，

h

是（反解得到的）连续函数，真值满足

μ = E (X) = g (θ)

、

θ = h (μ)

。

由辛钦大数定律，

\overset{ˉ}{X} P μ

，即对任意

δ > 0

，

P {∣ \overset{ˉ}{X} - μ ∣ \geq δ} \to 0

。

又

h

在

μ

处连续，故对任意

ε > 0

，存在

δ > 0

，使得

∣ a - μ ∣ < δ \Rightarrow ∣ h (a) - h (μ) ∣ < ε

。于是

P {∣ \hat{θ} - θ ∣ \geq ε} = P {∣ h (\overset{ˉ}{X}) - h (μ) ∣ \geq ε} \leq P {∣ \overset{ˉ}{X} - μ ∣ \geq δ} \to 0 (n \to \infty) .

故

\hat{θ} = h (\overset{ˉ}{X}) P θ

，这就证明了矩估计是相合的。

■

💡 小知识

矩估计由英国统计学家卡尔·皮尔逊在 19 世纪末系统提出，是最早的通用参数估计方法。它的想法朴素到近乎天真：算得出来的样本平均，就拿去当作算不出来的总体平均。正因为不依赖分布的具体形式，它到今天仍是快速估计的常用手段。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设总体

X

服从参数为

λ

的泊松分布

P (λ)

（

λ > 0

未知），

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自

X

的样本。求

λ

的矩估计量。难度 1

第一步：把总体一阶矩写成参数的函数。 泊松分布的期望为

E (X) = λ

，它恰好就是待估参数。

第二步：令总体矩等于样本矩。 只有一个未知参数，故只需一阶矩这一个方程：

E (X) = \overset{ˉ}{X} ⟹ λ = \overset{ˉ}{X} .

第三步：写出矩估计量。

\hat{λ} = \overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i} .

注：泊松分布还有

D (X) = λ

，但按「优先用低阶原点矩」的约定，一个参数只用

E (X) = \overset{ˉ}{X}

即可。

例 2 （数三 2013） 设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{θ ^{2}}{x ^{3}} e^{- θ / x}, 0, x > 0, 其他,

其中

θ > 0

未知，

X_{1}, \dots, X_{n}

为样本。求

θ

的矩估计量。难度 2

第一步：把总体一阶矩算成 $θ$ 的函数。 直接积不好积，换元

t = \frac{θ}{x}

（则

d t = - \frac{θ}{x ^{2}} d x

）：

E (X) = \int_{0}^{+ \infty} x \cdot \frac{θ ^{2}}{x ^{3}} e^{- θ / x} d x = \int_{0}^{+ \infty} \frac{θ ^{2}}{x ^{2}} e^{- θ / x} d x = θ \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t = θ .

（

x : 0^{+} \to + \infty

对应

t : + \infty \to 0^{+}

，负号与上下限对调抵消，化成标准的

Γ

型积分。）

第二步：令 $E (X) = \overset{ˉ}{X}$ 。 因

E (X) = θ

恰好就是参数，

θ = \overset{ˉ}{X} ⟹ \hat{θ} = \overset{ˉ}{X} .

提醒：换元后

\int_{0}^{\infty} e^{- t} d t = 1

是关键，别把它算错成别的值。

例 3 （数三 2006） 设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ θ, 1 - θ, 0, 0 < x < 1, 1 \leq x < 2, 其他,

其中

0 < θ < 1

未知，

X_{1}, \dots, X_{n}

为样本。求

θ

的矩估计量。难度 2

第一步：分段积出 $E (X)$ 。 两段常值密度，分别积：

E (X) = \int_{0}^{1} θ x d x + \int_{1}^{2} (1 - θ) x d x = θ \cdot \frac{1}{2} + (1 - θ) \cdot \frac{3}{2} = \frac{θ}{2} + \frac{3 ( 1 - θ )}{2} = \frac{3}{2} - θ .

第二步：令 $E (X) = \overset{ˉ}{X}$ 。

\frac{3}{2} - θ = \overset{ˉ}{X} ⟹ \hat{θ} = \frac{3}{2} - \overset{ˉ}{X} .

分段密度先按区间拆开积分，再合并成

θ

的一次函数，最后反解——这是分段总体矩估计的标准动作。

例 4 （数三 2007） 设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2 θ}, \frac{1}{2 ( 1 - θ )}, 0, 0 < x < θ, θ \leq x < 1, 其他,

其中

0 < θ < 1

未知，

X_{1}, \dots, X_{n}

为样本，

\overset{ˉ}{X}

为样本均值。求

θ

的矩估计量

\hat{θ}

。难度 2

第一步：分段积出 $E (X)$ 。

E (X) = \int_{0}^{θ} \frac{x}{2 θ} d x + \int_{θ}^{1} \frac{x}{2 ( 1 - θ )} d x = \frac{1}{2 θ} \cdot \frac{θ ^{2}}{2} + \frac{1}{2 ( 1 - θ )} \cdot \frac{1 - θ ^{2}}{2} = \frac{θ}{4} + \frac{1 + θ}{4} = \frac{θ}{2} + \frac{1}{4} .

第二步：令 $E (X) = \overset{ˉ}{X}$ 反解。

\frac{θ}{2} + \frac{1}{4} = \overset{ˉ}{X} ⟹ \frac{θ}{2} = \overset{ˉ}{X} - \frac{1}{4} ⟹ \hat{θ} = 2 \overset{ˉ}{X} - \frac{1}{2} .

第二段积分用

\int_{θ}^{1} x d x = \frac{1 - θ ^{2}}{2} = \frac{( 1 - θ ) ( 1 + θ )}{2}

，正好约掉分母的

1 - θ

，是本题算

E (X)

的关键化简。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2017 年 · 数三 · 第 23 题 · 解答题 · 11 分

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做

n

次测量，该物体的质量

μ

是已知的。设

n

次测量结果

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

相互独立且均服从正态分布

N (μ, σ^{2})

。该工程师记录的是

n

次测量的绝对误差

Z_{i} = ∣ X_{i} - μ ∣ (i = 1, 2, \dots, n)

，利用

Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}

估计

σ

。

（Ⅰ）求

Z_{1}

的概率密度；

（Ⅱ）利用一阶矩求

σ

的矩估计量；

（Ⅲ）求

σ

的最大似然估计量。

2015 年 · 数三 · 第 23 题 · 解答题 · 11 分

设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{1 - θ}, 0, θ \leq x \leq 1, 其他,

其中

θ

为未知参数。

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自该总体的简单随机样本。

（Ⅰ）求

θ

的矩估计量；

（Ⅱ）求

θ

的最大似然估计量。

2013 年 · 数三 · 第 23 题 · 解答题 · 11 分

设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{θ ^{2}}{x ^{3}} e^{- θ / x}, 0, x > 0 其他

，其中

θ

为未知参数且大于零。

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本。

（Ⅰ）求

θ

的矩估计量；
（Ⅱ）求

θ

的最大似然估计量。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设总体

X

服从参数为

λ

的指数分布，密度

f (x) = λ e^{- λ x} (x > 0)

，

\overset{ˉ}{X}

为样本均值，则

λ

的矩估计量为（）。

A $\overset{ˉ}{X}$
B $\frac{1}{X ˉ}$
C $\frac{1}{X ˉ ^{2}}$
D $2 \overset{ˉ}{X}$

练习 2 · 填空题

设总体

X \sim U [0, θ]

（均匀分布，

θ > 0

未知），

X_{1}, \dots, X_{n}

为样本，则

θ

的矩估计量

\hat{θ} =

____。

练习 3 · 填空题

（数三 2002） 设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = {e^{- (x - θ)}, 0, x \geq θ, x < θ,

X_{1}, \dots, X_{n}

为样本，则未知参数

θ

的矩估计量为 ____。

练习 4 · 填空题

（数三 2015） 设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{1 - θ}, 0, θ \leq x \leq 1, 其他,

（即

X \sim U [θ, 1]

，

θ < 1

未知），

X_{1}, \dots, X_{n}

为样本，则

θ

的矩估计量

\hat{θ} =

____。

练习 5 · 填空题

（数三 2017） 用天平对已知质量

μ

的物体做

n

次独立测量，结果

X_{i} \sim N (μ, σ^{2})

，记绝对误差

Z_{i} = ∣ X_{i} - μ ∣

。已知

Z_{1}

的密度为

f_{Z} (z) = \frac{2}{2 π σ} e^{- z^{2} / (2 σ^{2})}

（

z > 0

，半正态分布），

\overset{ˉ}{Z} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}

。用一阶矩求

σ

的矩估计量

\overset{σ}{^} =

____。

2007 年 · 数三 · 第 24 题 · 解答题 · 11 分

设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2 θ}, \frac{1}{2 ( 1 - θ )}, 0, 0 < x < θ, θ \leq x < 1, 其他,

其中参数

θ (0 < θ < 1)

未知，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本，

\overline{X}

是样本均值。（Ⅰ）求参数

θ

的矩估计量

\hat{θ}

；（Ⅱ）判断

4 \overline{X}^{2}

是否为

θ^{2}

的无偏估计量，并说明理由。

2006 年 · 数三 · 第 23 题 · 解答题 · 13 分

设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ θ, 1 - θ, 0, 0 < x < 1, 1 \leq x < 2, 其他,

其中

θ

是未知参数

(0 < θ < 1)

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本，记

N

为样本值

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

中小于

1

的个数. 求：（Ⅰ）

θ

的矩估计；（Ⅱ）

θ

的最大似然估计.

2002 年 · 数三 · 第 5 题 · 填空题 · 3 分

设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = {e^{- (x - θ)}, 0, x \geq θ, x < θ,

而

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本，则未知参数

θ

的矩估计量为 ____。