随机变量与分布函数

§15.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.31 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

7.5 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）概率的定义与性质样本空间与随机事件③ 掌握后可解锁离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度二维随机变量与联合分布总体、样本与统计量

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 随机变量与分布函数的定义： $F (x) = P (X \leq x)$ ，这是描述一切分布的通用工具★★ 必会

① 随机变量的定义：设随机试验的样本空间为

Ω

，随机变量是定义在

Ω

上的实值函数

X ω = X (ω) \in Ω

也就是把每个试验结果对应到一个实数，并要求对任意实数

x

，

{ω : X (ω) \leq x}

都是事件，从而可以谈论它的概率。它的意义在于把事件的语言转换成数与函数的语言，使微积分的方法得以全面运用。以后

{X \leq x}, {X = a}, {a < X \leq b}

都是相应事件的简写。

② 分布函数的定义：

F (x) - \infty = P (X \leq x) < x < + \infty.

注意这里用的是

\leq

而不是

<

，这是本教材的约定，它决定了

F

是右连续的。

F

对一切随机变量都有定义，无论是离散型、连续型还是混合型，因而是描述分布的通用工具：知道了

F

，就能算出

X

落在任何区间内的概率，基本公式是

P (a < X \leq b) = F (b) - F (a)

各种端点开闭情形的换算，见后面用分布函数计算各类概率的要点。

③ 特征性质，这是充要条件：

F

是某随机变量的分布函数

⟺

(i) 单调不减；(ii)

x \to - \infty lim F (x) = 0, x \to + \infty lim F (x) = 1

；(iii) 右连续。判定题与含参数的题目见后面判定一个函数是不是分布函数的要点；右连续的严格证明见后面分布函数为什么右连续的要点。

④ 由 $F$ 的形态给随机变量分类：离散型

⟺ F

为阶梯函数，其跳跃点就是取值点，跳跃的高度就是相应的概率；连续型

⟺ F

可写成密度函数的变上限积分，从而

F

处处连续；跳跃与连续增长并存

\Rightarrow

混合型，见后面关于混合型随机变量的要点。此外恒有

P (X = a) = F (a) - F (a - 0),

即单点处的概率等于跳跃的高度。

证明 / 推导

先证基本公式

P (a < X \leq b) = F (b) - F (a)

。把事件分拆为

{X \leq b} = {X \leq a} \cup {a < X \leq b}

，右端的两个事件互斥，由有限可加性得

F (b) = P (X \leq b) = P (X \leq a) + P (a < X \leq b) = F (a) + P (a < X \leq b),

移项即得所要的公式；同时由左端的概率

\geq 0

，可知它单调不减。其余各类区间的概率，都可以由这个公式配合取极限（

P (X < a) = F (a - 0)

）与取对立事件得到。可见一个

F

就携带了分布的全部信息。

■

举例说明

2010·数三选择：设随机变量

X

的分布函数为

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{2}, 1 - e^{- x}, x < 0, 0 \leq x < 1, x \geq 1,

则

P (X = 1) =

（　）(A)

0

；(B)

\frac{1}{2}

；(C)

\frac{1}{2} - e^{- 1}

；(D)

1 - e^{- 1}

。
解：单点处的概率等于跳跃的高度，即

P (X = 1) = F (1) - F (1 - 0)

。先看清

x = 1

属于哪一分段：它落在第三段，故

F (1) = 1 - e^{- 1}

；而左极限来自第二段，

F (1 - 0) = \frac{1}{2}

。所以

P (X = 1) = (1 - e^{- 1}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - e^{- 1},

选 C。易错之一：不比较左极限与函数值，想当然地以为总有

P (X = a) = 0

，因而误选 (A)；本题的

F

并非处处连续。易错之二：把

x = 1

划入第二段，就会把跳跃的高度算成

0

。顺带指出：这个

F

在

x = 0, 1

处各有一次跳跃，在

[1, + \infty)

上还连续增长，因此是混合型分布，只有分布函数的语言才能把它完整地描述出来。

2. 分布函数为什么右连续：用概率的连续性给出严格证明★ 要懂

分布函数

F (x) = P (X \leq x)

处处右连续，即

F (x + 0) = F (x)

，但未必左连续，这来源于定义中用的是右端封闭的

\leq x

。严格的证明要用到上一章的概率连续性，即概率对递减事件列的上连续性。理解了这一点，才能正确处理跳跃点处的一切细节，例如单点概率

P (X = a)

的算法，以及

P (X < a)

必须用左极限来表示。

证明 / 推导

取任意

h_{n} ↓ 0

，令

A_{n} = {X \leq x + h_{n}}

。因为

h_{n}

递减，所以

A_{1} \supset A_{2} \supset \dots

也递减，且

n ⋂ A_{n} = {X \leq x}

这是因为

X \leq x + h_{n}

对一切

n

成立

⟺ X \leq x

，其中用到了

h_{n} \to 0

。由概率的上连续性，

F (x + 0) = n \to \infty lim P (X \leq x + h_{n}) = P (n ⋂ A_{n}) = P (X \leq x) = F (x),

这就是右连续。类似地，

{X \leq x - h_{n}}

递增并趋于

{X < x}

，故左极限

F (x - 0) = P (X < x)

，于是

F (x) - F (x - 0) = P (X \leq x) - P (X < x) = P (X = x)

这就严格得出了跳跃的高度即单点处的概率。

举例说明

设

F (x) = 0 (x < 0)

，

= \frac{1}{2} (0 \leq x < 1)

，

= 1 (x \geq 1)

。

在

x = 0

处：

F (0 - 0) = 0

，

F (0) = \frac{1}{2}

，右极限

F (0 + 0) = \frac{1}{2} = F (0)

，可见它右连续，跳跃的高度

\frac{1}{2} = P (X = 0)

。
在

x = 1

处：跳跃的高度

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = P (X = 1)

。

这是一个只取

0, 1

两个值、概率各为

\frac{1}{2}

的离散型分布的分布函数，阶梯在取值点处向上跳，跳跃的高度就是概率。

3. 混合型随机变量： $F$ 既有跳跃又有连续增长的部分

除了纯离散型（

F

为阶梯函数）与纯连续型（

F

连续）以外，还有混合型：

F

在某些点处跳跃，对应于具有正概率的原子，而在其余各处连续增长，对应于密度。这类随机变量常由截断或取最值产生。分布函数的三条性质，即单调不减、

F (\pm \infty) = 0, 1

、右连续，对它同样成立，这正体现了

F

的通用性。处理的办法是：在跳跃点处用跳跃的高度计算

P (X = a)

，在连续段上用

F

的增量计算区间的概率。

举例说明

设顾客的等待时间为

X

：以概率

\frac{1}{3}

无需等待，即

X = 0

；否则等待时间在

(0, 2)

上服从均匀分布。于是

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x}{2} = \frac{1}{3} + \frac{x}{3}, 1, x < 0 0 \leq x < 2 x \geq 2.

在

x = 0

处的跳跃为

F (0) - F (0 - 0) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} = P (X = 0)

，这是一个原子；在

(0, 2)

上

F

连续，斜率为

\frac{1}{3}

，这就是连续部分的密度。于是

P (X P (X > 1) = 1 - F (1) = 1 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} = 0) = \frac{1}{3} .

它既不是离散型也不是连续型，却完全由一个

F

描述清楚。

4. 用分布函数计算各类概率：端点、开闭与跳跃都能统一处理★★ 必会

掌握一张对照表，就能从

F

读出任何区间或单点的概率，其要点在于分清

F (a)

（含

a

）与左极限

F (a - 0)

（不含

a

）：

P (X P (X P (X \leq a) = F (a) < a) = F (a - 0) = a) = F (a) - F (a - 0)

P (X P (X > a) = 1 - F (a) \geq a) = 1 - F (a - 0)

P (a P (a P (a < X \leq b) = F (b) - F (a) \leq X \leq b) = F (b) - F (a - 0) < X < b) = F (b - 0) - F (a) .

在连续点处

F (a - 0) = F (a)

，端点的开闭无关紧要；在跳跃点处二者相差一个

P (X = a)

，必须按表区分。

证明 / 推导

证对照表中的各式，都可以由两条基本事实推出。第一条是分布函数的定义

P (X \leq a) = F (a)

；第二条是它的左极限

P (X < a) = F (a - 0)

。下面逐条推导。

取对立事件. 事件

{X > a}

与

{X \leq a}

互为对立，故

P (X > a) = 1 - P (X \leq a) = 1 - F (a) .

同理

{X \geq a}

与

{X < a}

互为对立，故

P (X \geq a) = 1 - F (a - 0)

。

作事件的分拆. 由两条基本事实相减，先得单点概率

P (X = a) = P (X \leq a) - P (X < a) = F (a) - F (a - 0)

。事件

{X = a}

与

{a < X \leq b}

互斥，二者之并为

{a \leq X \leq b}

，故

P (a \leq X \leq b) = P (X = a) + P (a < X \leq b) = [F (a) - F (a - 0)] + [F (b) - F (a)] = F (b) - F (a - 0) .

又

{a < X < b}

与

{X = b}

互斥，二者之并为

{a < X \leq b}

，故

P (a < X < b) = P (a < X \leq b) - P (X = b) = [F (b) - F (a)] - [F (b) - F (b - 0)] = F (b - 0) - F (a) .

表中未列的一种情形同样可得：

P (a \leq X < b) = F (b - 0) - F (a - 0)

。

由此看出一条规律. 每个端点只有两种处理。右端点含在事件内就取

F (b)

，不含就取

F (b - 0)

；左端点含在事件内就减去

F (a - 0)

，不含就减去

F (a)

。八个公式因此统一成了一条规则。

■

举例说明

设某

F

在

x = 1

处由

0.4

跳到

0.7

，即

F (1 - 0) = 0.4, F (1) = 0.7

，而在

x = 2

处连续且

F (2) = 0.9

。于是

P (X P (X P (X P (X = 1) = 0.7 - 0.4 = 0.3 < 1) = 0.4 \leq 1) = 0.7 \geq 1) = 1 - 0.4 = 0.6

P (1 P (1 < X \leq 2) = 0.9 - 0.7 = 0.2 \leq X \leq 2) = 0.9 - 0.4 = 0.5.

把含端点与不含端点的情形逐一对应到

F (a)

或

F (a - 0)

，就不会出错。

5. 判定一个函数是不是分布函数：三条性质缺一不可★ 要懂

F

是某随机变量的分布函数，当且仅当：① 单调不减；②

F (- \infty) = 0, F (+ \infty) = 1

；③ 右连续。这三条既充分又必要，缺一不可，去掉任何一条都能举出反例。判定题与含参数的题目，实际做法是：先由单调性确定参数的符号，再由

F (\pm \infty)

定出常数，最后对分段函数验证右连续性与各段的衔接。

证明 / 推导

证分布函数必须满足这三条。其中单调不减与右连续前面已经证过，

F (\pm \infty)

的两式由概率的连续性同样可得。下面要证的是另一件事：这三条彼此独立，去掉任何一条，余下的两条都不足以保证

F

是分布函数。为此对每一条各作一个反例。

① 去掉单调不减。取

F_{1} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 1, \frac{1}{2}, 1, x < 0 0 \leq x < 1 1 \leq x < 2 x \geq 2

容易验证

F_{1} (- \infty) = 0, F_{1} (+ \infty) = 1

；又在每个分段点处函数值都与右极限相等，故

F_{1}

右连续。可见第二条与第三条都成立。但

F_{1}

在

x = 1

处由

1

降为

\frac{1}{2}

。如果它是某个

X

的分布函数，那么

P (0 < X \leq 1) = F_{1} (1) - F_{1} (0) = \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2} < 0,

概率成了负数，这是不可能的。

② 去掉

F (+ \infty) = 1

。取

F_{2} (x) = 0 (x < 0)

，

F_{2} (x) = \frac{1}{2} (x \geq 0)

。它单调不减，处处右连续，且

F_{2} (- \infty) = 0

，可见第一条与第三条都成立。但

F_{2} (+ \infty) = \frac{1}{2}

。如果它是分布函数，那么

P (X \leq x) \leq \frac{1}{2}

对一切

x

成立，令

x \to + \infty

得

P (Ω) \leq \frac{1}{2}

，与

P (Ω) = 1

矛盾。

③ 去掉右连续。取

F_{3} (x) = 0 (x \leq 0)

，

F_{3} (x) = 1 (x > 0)

。它单调不减，且

F_{3} (- \infty) = 0, F_{3} (+ \infty) = 1

，可见第一条与第二条都成立。但在

x = 0

处

F_{3} (0) = 0

而右极限为

1

，故不右连续。如果它是分布函数，那么

P (X \leq 0) = 0

，而

P (X \leq \frac{1}{n}) = 1

对一切

n

成立。事件

{X \leq \frac{1}{n}}

随

n

增大而递减，其交集为

{X \leq 0}

，由概率的上连续性得

P (X \leq 0) = n \to \infty lim P (X \leq \frac{1}{n}) = 1,

与前面算出的

0

矛盾。

三个反例合起来，就证明了这三条性质缺一不可。

■

至于充分性，可以这样构造：在

(0, 1)

上取服从均匀分布的随机变量

U

，令

X = in f {x : F (x) \geq U}

。利用

F

的右连续性可以验证

{X \leq x} = {U \leq F (x)}

，于是

P (X \leq x) = F (x)

。因此三条同时成立时，确实存在以

F

为分布函数的随机变量。

举例说明

判断下列各函数是否为分布函数。

(a)

F (x) = \frac{1}{π} arctan x + \frac{1}{2}

：它单调增加；

F (- \infty) = \frac{1}{π} (- \frac{π}{2}) + \frac{1}{2} = 0

，

F (+ \infty) = \frac{1}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{1}{2} = 1

；且处处连续，因而右连续。所以它是分布函数，这就是柯西分布的

F

。

(b)

G (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, x < 0 0 \leq x < 1 x \geq 1

：在

x = 1

处由

\frac{1}{2}

降到

\frac{1}{3}

，违反单调不减，所以不是。

(c)

H (x) = 1 - e^{- x}

对所有实数

x

都成立，即未作分段：当

x \to - \infty

时

H \to - \infty

，既违反

F \geq 0

又违反

F (- \infty) = 0

，所以不是。必须像指数分布那样，把

x < 0

的一段截为

0

才行。

可见判定就是逐条对照，缺一条即予以否定。

💡 小知识

分布函数

F (x) = P (X \leq x)

在概率论里少有地通用：随机变量是离散的、连续的，还是二者混合的，它都能描述。正因如此，现代概率论常常直接以分布函数（或者更一般的概率测度）为出发点，把离散和连续看成它的两种特例。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设离散型随机变量

X

的分布律为

X P 0 0.2 1 0.5 2 0.3

求

(1) F (1.5)

；

(2) P (0 < X \leq 2)

。难度 1

分布函数 $F (x) = P (X \leq x)$ ，把不超过 $x$ 的所有概率相加。

(1)

F (1.5) = P (X \leq 1.5) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0.2 + 0.5 = 0.7

（

X = 2

超过

1.5

，不计入）。

(2)

P (0 < X \leq 2) = P (X = 1) + P (X = 2) = 0.5 + 0.3 = 0.8

（左端开，不含

X = 0

）。

例 2 设连续型随机变量

X

的分布函数为

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, A x^{2}, 1, x < 0, 0 \leq x < 1, x \geq 1.

求

(1)

常数

A

；

(2) P (X > 0.5)

。难度 2

定常数用连续型 $F$ 的连续性；求 $P (X > a) = 1 - F (a)$ 。

(1)

连续型随机变量的分布函数处处连续，在衔接点

x = 1

处：

F (1^{-}) = A \cdot 1^{2} = A, F (1) = 1.

由连续性

A = 1

。故

F (x) = x^{2} (0 \leq x < 1)

。

(2)

P (X > 0.5) = 1 - F (0.5) = 1 - 0. 5^{2} = 1 - 0.25 = 0.75

。

例 3 设随机变量

X

的分布函数为

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, 0.3, 0.7, 1, x < 0, 0 \leq x < 1, 1 \leq x < 2, x \geq 2.

求

(1) P (X = 1)

；

(2) P (X < 1)

；

(3) P (0 < X \leq 2)

。难度 2

阶梯型 $F$ 对应离散型 $X$ ：跳跃高度 = 单点概率。

(1)

P (X = 1) = F (1) - F (1^{-}) = 0.7 - 0.3 = 0.4

（

F

在

x = 1

处的跳跃高度）。

(2)

P (X < 1) = F (1^{-}) = 0.3

（左极限，不含

x = 1

处的跳跃）。

(3)

P (0 < X \leq 2) = F (2) - F (0) = 1 - 0.3 = 0.7

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2020 年 · 数三 · 第 23 题 · 解答题 · 11 分

设某种元件的使用寿命

T

的分布函数为

F (t) = {1 - e^{- (t / θ)^{m}}, 0, t \geq 0 其他

其中

θ, m

为参数且均大于零.（Ⅰ）求概率

P {T > t}

与

P {T > s + t ∣ T > s}

，其中

s > 0, t > 0

；（Ⅱ）任取

n

个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为

t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}

. 若

m

已知，求

θ

的最大似然估计值

\hat{θ}

2019 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {\frac{x}{2}, 0, 0 < x < 2 其他

，

F (x)

为

X

的分布函数，

E (X)

为

X

的数学期望，则

P {F (X) > E (X) - 1} =

2018 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X

的概率密度

f (x)

满足

f (1 + x) = f (1 - x)

，且

\int_{0}^{2} f (x) d x = 0.6

，则

P {X < 0} =

（　　）

A $0.2$
B $0.3$
C $0.4$
D $0.5$

2013 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

X_{1}, X_{2}, X_{3}

是随机变量，且

X_{1} \sim N (0, 1)

，

X_{2} \sim N (0, 2^{2})

，

X_{3} \sim N (5, 3^{2})

，

p_{i} = P {- 2 \leq X_{i} \leq 2}

（

i = 1, 2, 3

），则（　　）

A $p_{1} > p_{2} > p_{3}$ .
B $p_{2} > p_{1} > p_{3}$ .
C $p_{3} > p_{1} > p_{2}$ .
D $p_{1} > p_{3} > p_{2}$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

下列不是任意随机变量分布函数

F (x)

必备性质的是（　）。

A单调不减
B右连续
C $F (- \infty) = 0, F (+ \infty) = 1$
D处处连续

练习 2 · 填空题

设

X

的分布函数为

F (x) = {0, 1 - e^{- 2 x}, x < 0 x \geq 0

，则

P (X > 1) =

____。

练习 3 · 选择题

设

F (x)

为随机变量

X

的分布函数，已知

F (2) = 0.8

，

F (2^{-}) = 0.5

，则

P (X = 2) =

（　）。

A $0.3$
B $0.8$
C $0.5$
D $1.3$

练习 4 · 填空题

设

X

的分布函数为

F (x)

，已知

F (1) = 0.6

，

F (3) = 0.9

，则

P (1 < X \leq 3) =

____。

练习 5 · 选择题

设连续型随机变量

X

的分布函数为

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, a ln x, 1, x < 1 1 \leq x < e x \geq e

，则

a =

（　）。

A $1$
B $e$
C $\frac{1}{e}$
D $2$

练习 6 · 选择题

设随机变量

X

的分布函数为

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{x + 1}{4}, 1, x < 0, 0 \leq x < 1, x \geq 1,

则下列结论中错误的是（　）。

A $P (X = 0) = \frac{1}{4}$
B $P (X = 1) = \frac{1}{2}$
C $P (0 < X < 1) = \frac{1}{4}$
D $X$ 是连续型随机变量

练习 7 · 填空题

设随机变量

X

的分布函数为

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{x ^{2}}{4}, \frac{x + 1}{4}, 1, x < 0, 0 \leq x < 1, 1 \leq x < 3, x \geq 3,

则

P (\frac{1}{2} < X \leq 2) =

____。

练习 8 · 解答题

设随机变量

X

的分布函数为

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, a x + b, 1, x < 0, 0 \leq x < 2, x \geq 2,

且

P (X = 0) = P (X = 2) = \frac{1}{4}

。

(1) 求常数

a, b

；

(2) 求

P (X \geq 1)

与

P (0 < X < 2)

；

(3) 指出

X

是离散型、连续型还是混合型，并把它的分布分解为「离散部分

+

连续部分」。

2010 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X

的分布函数

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{2}, 1 - e^{- x}, x < 0, 0 \leq x < 1, x \geq 1,

则

P {X = 1} =

（　　）

A $0$
B $\frac{1}{2}$
C $\frac{1}{2} - e^{- 1}$
D $1 - e^{- 1}$

1998 年 · 数三 · 第 10 题 · 选择题 · 3 分

设

F_{1} (x)

与

F_{2} (x)

分别为随机变量

X_{1}

与

X_{2}

的分布函数。为使

F (x) = a F_{1} (x) - b F_{2} (x)

是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（　　）

A $a = \frac{3}{5}, b = - \frac{2}{5}$
B $a = \frac{2}{3}, b = \frac{2}{3}$
C $a = - \frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}$
D $a = \frac{1}{2}, b = - \frac{3}{2}$

随机变量与分布函数

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 随机变量与分布函数的定义：F(x)=P(X≤x)，这是描述一切分布的通用工具★★ 必会

2. 分布函数为什么右连续：用概率的连续性给出严格证明★ 要懂

3. 混合型随机变量：F 既有跳跃又有连续增长的部分

4. 用分布函数计算各类概率：端点、开闭与跳跃都能统一处理★★ 必会

5. 判定一个函数是不是分布函数：三条性质缺一不可★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 随机变量与分布函数的定义： $F (x) = P (X \leq x)$ ，这是描述一切分布的通用工具★★ 必会

3. 混合型随机变量： $F$ 既有跳跃又有连续增长的部分