样本空间与随机事件

§14.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.33 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

6.3 分支撑的下游价值

前置诊断

这是地基知识点，无前置要求，可以直接学习。

③ 掌握后可解锁概率的定义与性质古典概型与几何概型条件概率与乘法公式随机变量与分布函数

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 样本空间与随机事件的定义： $Ω$ 、样本点、必然事件与不可能事件、互斥与对立关系★★ 必会

① 样本空间与样本点：随机试验

E

的一切可能结果组成的集合称为样本空间，记作

Ω

；每个结果

ω \in Ω

称为样本点。例如掷一颗骰子，

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

。

② 随机事件：

Ω

的子集

A \subset Ω

称为随机事件，简称事件；当试验的结果

ω \in A

时，称事件 $A$ 发生。由单个样本点组成的事件称为基本事件。有两个极端的情形：

Ω

本身每次试验必然发生，称为必然事件；空集

\emptyset

永远不发生，称为不可能事件。

③ 事件的关系与运算（与集合的语言一一对应）：
- 包含

A \subset B

：

A

发生必导致

B

发生；

A = B ⟺ A \subset B

且

B \subset A

；
- 并（和）

A \cup B

：

A, B

中至少有一个发生；交（积）

A B = A \cap B

：二者同时发生；差

A - B = A \overset{ˉ}{B}

：

A

发生而

B

不发生；
- 互斥（互不相容）：

A B = \emptyset

，即

A

与

B

不能同时发生；
- 对立（互逆）：

A B = \emptyset

且

A \cup B = Ω

，这时记

B = \overset{ˉ}{A} = Ω - A

，它表示

A

不发生。

④ 互斥与对立的区别（常考的辨析）：对立必互斥，互斥未必对立。对立要求二者不能同时发生且必有其一发生，而互斥只要求前一条。对立只对一对事件而言，而

n (n \geq 3)

个事件可以两两互斥。由此对概率有两条推论：互斥时

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

；对立时还有

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

。

证明 / 推导

对立 $\Rightarrow$ 互斥：对立的定义中已经含有

A B = \emptyset

，故对立必互斥。互斥 $\neq \Rightarrow$ 对立，反例如下：掷骰子，取

A = {1}, B = {2}

，则

A B = \emptyset

，二者互斥，但

A \cup B = {1, 2} \neq = Ω

（掷出

3

时二者都不发生），故它们并不对立。再证一条常用的恒等式

A - B = A \overset{ˉ}{B}

，用元素法：

ω \in A - B ⟺ ω \in A

且

ω \in / B ⟺ ω \in A

且

ω \in \overset{ˉ}{B} ⟺ ω \in A \overset{ˉ}{B}

。

■

举例说明

数三 2019 选择：设

A, B

为随机事件，则

P (A) = P (B)

的充分必要条件是（　）(A)

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

；(B)

P (A B) = P (A) P (B)

；(C)

P (A \overset{ˉ}{B}) = P (B \overset{ˉ}{A})

；(D)

P (A B) = P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B})

。
解：把差事件化为概率，由减法公式

P (A \overset{ˉ}{B}) = P (A) - P (A B)

、

P (B \overset{ˉ}{A}) = P (B) - P (A B)

，两式的右端只相差

P (A)

与

P (B)

，故

P (A \overset{ˉ}{B}) = P (B \overset{ˉ}{A}) ⟺ P (A) - P (A B) = P (B) - P (A B) ⟺ P (A) = P (B),

可见它是充分必要条件，选 C。下面逐项辨析，这几项都是本节的关系与运算中最易混淆的地方：(A) 仅当

A, B

互斥时成立；(B) 是独立性的条件，属于独立性的范畴；(D) 二者都发生与都不发生等概率，只能推出

P (A) + P (B) = 1

，与

P (A) = P (B)

没有必然的联系。

A \overset{ˉ}{B}

（即

A

发生而

B

不发生）与

B \overset{ˉ}{A}

方向相反，它们的概率相等，正说明两个事件的地位是对称的。

2. 事件运算的基本定律：分配律与德摩根（对偶）公式，即长杠变短杠、并变交、交变并★★ 必会

事件的交、并、补运算与集合完全一致。除交换律、结合律外，最常用的是下面两条：

① 分配律：

A (B \cup C) = A B \cup A C

；

A \cup (B C) = (A \cup B) (A \cup C)

。

② 德摩根（De Morgan）对偶公式：

\overline{A \cup B} \overline{A B} = \overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} = \overset{ˉ}{A} \cup \overset{ˉ}{B}

可以记作长杠变短杠，并变交、交变并；对

n

个事件逐字推广，有

\overline{⋃_{i} A_{i}} = ⋂_{i} \overset{ˉ}{A}_{i}

，

\overline{⋂_{i} A_{i}} = ⋃_{i} \overset{ˉ}{A}_{i}

。

最常用的用法（正面难求则从反面求）：至少有一个发生与全都不发生互为对立事件，

P (i = 1 ⋃ n A_{i}) P (\overset{ˉ}{A}_{1} \dots \overset{ˉ}{A}_{n}) = 1 - P (\overset{ˉ}{A}_{1} \overset{ˉ}{A}_{2} \dots \overset{ˉ}{A}_{n}) = 1 - P (i = 1 ⋃ n A_{i}) .

凡是题中出现至少、全不、都不这类字样，首先就应当想到取对偶加以转化。

差事件也应一并记住：

A - B = A \overset{ˉ}{B} = A - A B

，故

P (A - B) = P (A) - P (A B)

（这里并不要求

B \subset A

）。

证明 / 推导

证

\overline{A \cup B} = \overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}

，用元素法（两边互相包含）：

ω \in \overline{A \cup B} ⟺ ω \in / A \cup B ⟺ ω \in / A

且

ω \in / B ⟺ ω \in \overset{ˉ}{A}

且

ω \in \overset{ˉ}{B} ⟺ ω \in \overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}

。故这两个集合相等。第二条对偶式只需把

A, B

换成

\overset{ˉ}{A}, \overset{ˉ}{B}

，再对全式取补即得。

n

个事件的情形同法可证：不属于并集

⟺

一个都不属于

⟺

属于每个补集的交集。

■

举例说明

数三 2009 选择：设事件

A

与

B

互不相容（即互斥），则（　）(A)

P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}) = 0

；(B)

P (A B) = P (A) P (B)

；(C)

P (A) = 1 - P (B)

；(D)

P (\overset{ˉ}{A} \cup \overset{ˉ}{B}) = 1

。
解：互不相容即

A B = \emptyset

，故

P (A B) = 0

。对 (D) 用德摩根对偶公式，长杠变短杠、交变并，得

\overset{ˉ}{A} \cup \overset{ˉ}{B} = \overline{A B}

，于是

P (\overset{ˉ}{A} \cup \overset{ˉ}{B}) = P (\overline{A B}) = 1 - P (A B) = 1 - 0 = 1,

它恒成立，故选 D。下面逐项排除：(A) 由另一条德摩根公式得

\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} = \overline{A \cup B}

，而

P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}) = 1 - P (A) - P (B)

未必为

0

；(B) 互斥只给出

P (A B) = 0

，而

P (A) P (B)

未必为

0

；(C) 只有当

A, B

对立时才有

P (A) + P (B) = 1

。这里容易出错的地方在于互斥未必对立。两条德摩根公式在此一正一反地使用，是从反面求解的典型例子。

3. 样本空间的选取不唯一；等可能是建立模型时所作的假设，而不是事件本身的属性★ 要懂

同一个随机试验，样本空间可以有多种取法，这取决于把基本结果定义得多细。例如掷两颗骰子：若只关心点数之和，可取

Ω_{1} = {2, 3, \dots, 12}

（共

11

个样本点）；若要使各样本点等可能，就必须取有序数对

Ω_{2} = {(i, j) : 1 \leq i, j \leq 6}

（共

36

个样本点）。同一个事件和为

7

，在

Ω_{1}

中是

1

个样本点，在

Ω_{2}

中却是

6

个样本点。

由此可见：等可能并不是事件本身的属性，而是在选定样本空间时所附加的假设。古典概型中的

m / n

只有在等可能的样本空间上才成立。选取样本空间的准则是：① 足够细，能表达所关心的每一个事件；② 若要使用古典概型，还须细到使各样本点等可能。

举例说明

求

P (两骰子点数之和 = 7)

。

错误的做法：

Ω_{1}

中共有

11

种和，若认为每种的概率都是

1/11

，就得到

1/11

。错在

Ω_{1}

的样本点并不等可能：和为

2

的只有

(1, 1)

，而和为

7

的有

6

种。

正确的做法：改用等可能的

Ω_{2}

，其中有

36

个有序数对，和为

7

的含

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

，共

6

个，故

P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} .

同一个事件，只有选对样本空间才能数对。这是初学时在建立模型上最容易出错的一步。

拓展 · 考纲外（选读；历年真题从未直接考） 4. 示性函数：把事件的交、并、补与计数化为算术运算

给事件

A

配一个示性函数（它是一个随机变量）

1_{A} (ω) = 1

（当

ω \in A

时）、

= 0

（否则）。于是事件的运算全都化为算术运算：

1_{\overset{ˉ}{A}} 1_{A B} 1_{A \cup B} = 1 - 1_{A} = 1_{A} 1_{B} = 1 - (1 - 1_{A}) (1 - 1_{B}) .

特别地，这

n

个事件中发生了几个，就是随机变量

N = \sum_{i = 1}^{n} 1_{A_{i}}

，从而恰好

k

个发生即

= {N = k}

，至少

k

个发生即

= {N \geq k}

。

示性函数把冗长的文字叙述与集合关系化为可以运算的代数式，它把事件与随机变量、期望联系起来，后面的

E N = \sum_{i} P (A_{i})

就是由此而来的。

证明 / 推导

证

1_{A \cup B} = 1_{A} + 1_{B} - 1_{A B}

。逐点验证四种情形：

-

ω \in / A \cup B

：三项都是

0

，左端

=

右端

= 0

；
-

ω \in A, ω \in / B

：左端

= 1

，右端

= 1 + 0 - 0 = 1

；
-

ω \in / A, ω \in B

：与上一情形对称，右端

= 0 + 1 - 0 = 1

；
-

ω \in A B

：左端

= 1

，右端

= 1 + 1 - 1 = 1

。

四种情形都相符，故恒等式成立。在两边取期望（

E 1_{E} = P (E)

），即得概率的加法公式

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)

。这就是加法公式的代数来源。

举例说明

三人射击，

A_{i} = {第 i 人命中}

。用示性函数表示恰好两人命中，就是

{N = 2}

，其中

N = 1_{A_{1}} + 1_{A_{2}} + 1_{A_{3}}

；把它展开成集合，是三个互斥事件之并

A_{1} A_{2} \overset{ˉ}{A}_{3} \cup A_{1} \overset{ˉ}{A}_{2} A_{3} \cup \overset{ˉ}{A}_{1} A_{2} A_{3} .

命中人数为偶数则是

{N \in {0, 2}} = \overset{ˉ}{A}_{1} \overset{ˉ}{A}_{2} \overset{ˉ}{A}_{3} \cup (A_{1} A_{2} \overset{ˉ}{A}_{3} \cup A_{1} \overset{ˉ}{A}_{2} A_{3} \cup \overset{ˉ}{A}_{1} A_{2} A_{3})

。用

N

来计数，可以避免遗漏。

拓展 · 考纲外（选读；历年真题从未直接考） 5. 事件也可以取极限：单调事件列与事件域（σ-代数）

概率论要处理无穷多次试验，就必须使事件对可列运算封闭：可列并

⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}

、可列交

⋂_{i = 1}^{\infty} A_{i}

仍须是事件。含有

Ω

、对求补封闭、对可列并封闭的事件全体称为事件域（ $σ$ -代数）。这说明了为什么不能简单地把任意子集都当作事件，而要有这样一层结构，在不可数的样本空间上尤其如此。

对单调事件列可以定义极限：当

A_{1} \subset A_{2} \subset \dots

递增时，

lim_{n} A_{n} = ⋃_{n} A_{n}

；当

A_{1} \supset A_{2} \supset \dots

递减时，

lim_{n} A_{n} = ⋂_{n} A_{n}

。这为下一节讨论概率的连续性

P (lim_{n} A_{n}) = lim_{n} P (A_{n})

作了准备。

举例说明

不断抛硬币，

A_{n} = {前 n 次至少有一次正面}

。显然

A_{1} \subset A_{2} \subset \dots

是递增的，且

n ⋃ A_{n} n ⋂ \overset{ˉ}{A}_{n} = {终将出现正面} = {永不出现正面} .

从几何上看也是这样：

B_{n} = [0, 1 - \frac{1}{n}]

递增，

⋃_{n} B_{n} = [0, 1)

，可列并把够不到的端点

1

留在了外面。正是因为有这种细致的现象，才需要区分开区间与闭区间，并引入可列运算。

6. 恰好发生 $m$ 个事件的一般集合表示与用对偶公式化简★ 要懂

对

n

个事件

A_{1}, \dots, A_{n}

，常常要把恰好

m

个发生、至少

m

个发生写成规范的集合表达式。

- 恰好 $m$ 个发生：从

n

个事件中选出

m

个取原事件，其余

n - m

个取对立事件，共

(m n)

种选法，把它们并起来（这些项两两互斥）；
- 至少 $m$ 个发生

= ⋃_{j \geq m} {恰好 j 个}

。

利用对偶（德摩根）公式常可化简：至少有一个发生即

⋃_{i} A_{i} = \overline{⋂_{i} \overset{ˉ}{A}_{i}}

，至多

m - 1

个发生即

= \overline{{至少 m 个}}

。稳妥的做法是：先归结到恰好

j

个发生这一组互斥事件上，再按需要求并或取对立。

举例说明

设

n = 3

，

B_{i} = {第 i 只元件失效}

。

恰好一只失效即

= B_{1} \overset{ˉ}{B}_{2} \overset{ˉ}{B}_{3} \cup \overset{ˉ}{B}_{1} B_{2} \overset{ˉ}{B}_{3} \cup \overset{ˉ}{B}_{1} \overset{ˉ}{B}_{2} B_{3}

（共

(1 3) = 3

项）。

至少两只失效即

= B_{1} B_{2} \cup B_{1} B_{3} \cup B_{2} B_{3}

（它也等于恰好两只失效

\cup

恰好三只失效）。

至多一只失效即

= \overline{至少两只} = \overline{B_{1} B_{2} \cup B_{1} B_{3} \cup B_{2} B_{3}}

，这里用对立事件比正面并起

4

个互斥项要简便。三种写法可以互相检验，以免遗漏或重复。

💡 小知识

把随机事件严格定义为样本空间的子集，是苏联数学家柯尔莫哥洛夫 1933 年在《概率论基础》中确立的。把事件翻译成集合的这一步，让概率论接上了集合论与测度论，从赌桌上的经验之谈变成了严密的现代数学分支。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 掷一颗骰子，观察出现的点数。

(1)

写出样本空间

Ω

；

(2)

设

A = {

点数为偶数

}

，

B = {

点数大于

3}

，用集合列出

A

、

B

、

A B

、

A \cup B

、

\overset{ˉ}{A}

。难度 1

思路：把每个中文事件翻译成 $Ω$ 的子集，再按交、并、补运算。

(1)

掷骰子的基本结果是点数

1

到

6

，故

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .

(2)

逐一翻译：

A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} .

积事件

A B

（同时发生，即偶数且大于

3

）：

A B = {4, 6}

。
和事件

A \cup B

（至少一个发生）：

A \cup B = {2, 4, 5, 6}

。
对立事件

\overset{ˉ}{A}

（

A

不发生，即点数为奇数）：

\overset{ˉ}{A} = {1, 3, 5}

。

例 2 甲、乙两人各向目标射击一次，记

A = {

甲命中

}

，

B = {

乙命中

}

。用

A, B

及其运算表示下列事件：

(1)

两人都命中；

(2)

至少一人命中；

(3)

恰好一人命中；

(4)

两人都没命中。难度 1

口诀：「都」译成积，「至少一个」译成并，「恰好一个」译成互斥情形之并，「都不」用对立。

(1)

两人都命中：

A B

。

(2)

至少一人命中：

A \cup B

。

(3)

恰好一人命中 = 「甲中乙不中」或「甲不中乙中」，两种互斥情形之并：

A \overset{ˉ}{B} \cup \overset{ˉ}{A} B

。

(4)

两人都没命中：

\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}

（由德摩根律也等于

\overline{A \cup B}

）。

例 3 设

A, B, C

为三个随机事件，用它们的运算表示：

(1)

A, B, C

中恰好有一个发生；

(2)

A, B, C

中至少有两个发生。难度 2

思路：「恰好一个」列出三种互斥情形之并；「至少两个」把「两两都发生」并起来。

(1)

恰好一个发生 = 「只有

A

」或「只有

B

」或「只有

C

」，三者互斥：

A \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C} \cup \overset{ˉ}{A} B \overset{ˉ}{C} \cup \overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} C .

(2)

至少两个发生 = 「

A, B

都发生」或「

A, C

都发生」或「

B, C

都发生」（这三者可以重叠，用并即可，不必互斥）：

A B \cup A C \cup B C .

注：此式已自动包含「三个都发生」

A B C

的情形。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2020 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

A, B, C

为三个随机事件，且

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{4}

，

P (A B) = 0

，

P (A C) = P (B C) = \frac{1}{12}

，则

A, B, C

中恰有一个事件发生的概率为（　　）

A $\frac{3}{4}$
B $\frac{2}{3}$
C $\frac{1}{2}$
D $\frac{5}{12}$

2019 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设

A, B

为随机事件，则

P (A) = P (B)

的充分必要条件是（　　）

A $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$
B $P (A B) = P (A) P (B)$
C $P (A \overset{ˉ}{B}) = P (B \overset{ˉ}{A})$
D $P (A B) = P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B})$

2016 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 4 分

设袋中有红、白、黑球各

1

个，从中有放回地取球，每次取

1

个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为

4

的概率为 ______.

2015 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

若

A, B

为任意两个随机事件，则（　　）。

A $P (A B) \leq P (A) P (B)$ .
B $P (A B) \geq P (A) P (B)$ .
C $P (A B) \leq \frac{P ( A ) + P ( B )}{2}$ .
D $P (A B) \geq \frac{P ( A ) + P ( B )}{2}$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

A, B

为两个事件，则事件「

A

发生而

B

不发生」可表示为（　）。

A $A \cup B$
B $A B$
C $A - B$
D $\overset{ˉ}{A} B$

练习 2 · 选择题

下列各式中，与

\overline{A \cup B}

恒相等的是（　）。

A $\overset{ˉ}{A} \cup \overset{ˉ}{B}$
B $\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}$
C $\overset{ˉ}{A} B$
D $A \overset{ˉ}{B}$

练习 3 · 选择题

关于事件的「互斥」与「对立」，下列说法正确的是（　）。

A互斥必对立
B对立必互斥
C互斥与对立是同一概念
D对立不一定互斥

练习 4 · 填空题

掷一颗骰子，设

A = {

点数为偶数

}

，

B = {

点数不超过

3}

，则事件

A \cup B

所含的样本点为 ____。

练习 5 · 填空题

设事件

A \subset B

，则

A \cup B =

____（用

A

或

B

表示）。

2009 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 4 分

设事件

A

与事件

B

互不相容，则（　　）。

A $P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}) = 0$ .
B $P (A B) = P (A) P (B)$ .
C $P (A) = 1 - P (B)$ .
D $P (\overset{ˉ}{A} \cup \overset{ˉ}{B}) = 1$ .

2000 年 · 数三 · 第 10 题 · 选择题 · 3 分

在电炉上安装了

4

个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度

t_{0}

，电炉就断电。以

E

表示事件「电炉断电」，而

T_{(1)} \leq T_{(2)} \leq T_{(3)} \leq T_{(4)}

为

4

个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件

E

等于（　　）

A ${T_{(1)} \geq t_{0}}$ .
B ${T_{(2)} \geq t_{0}}$ .
C ${T_{(3)} \geq t_{0}}$ .
D ${T_{(4)} \geq t_{0}}$ .

样本空间与随机事件

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 样本空间与随机事件的定义：Ω、样本点、必然事件与不可能事件、互斥与对立关系★★ 必会

2. 事件运算的基本定律：分配律与德摩根（对偶）公式，即长杠变短杠、并变交、交变并★★ 必会

3. 样本空间的选取不唯一；等可能是建立模型时所作的假设，而不是事件本身的属性★ 要懂

6. 恰好发生 m 个事件的一般集合表示与用对偶公式化简★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 样本空间与随机事件的定义： $Ω$ 、样本点、必然事件与不可能事件、互斥与对立关系★★ 必会

6. 恰好发生 $m$ 个事件的一般集合表示与用对偶公式化简★ 要懂