总体、样本与统计量

概率论与数理统计 · 数理统计的基本概念

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 总体就是一个分布，样本是它的 $n$ 个独立复制

总体：研究对象的全体。在数学上，总体就是一个分布——
说「总体

X \sim N (μ, σ^{2})

」，指的是个体的那个指标服从这个分布。

样本：从总体中抽出的

n

个个体的指标

X_{1}, \dots, X_{n}

。
考研只用简单随机样本，它要求两条：

① 每个 $X_{i}$ 与总体同分布；② $X_{1}, \dots, X_{n}$ 相互独立。

合起来就是「独立同分布」——前面大数定律、中心极限定理的那个前提，
在这里换了个名字回来了。

抽样之前 $X_{i}$ 是随机变量，抽完之后得到的数 $x_{i}$ 叫样本值。

2. 样本的联合分布：独立就是连乘

由独立同分布，样本的联合分布直接连乘。

总体是离散型（分布律

P {X = x} = p (x)

）时：

P {X_{1} = x_{1}, \dots, X_{n} = x_{n}} = i = 1 \prod n p (x_{i}) .

总体是连续型（密度

f (x)

）时，联合密度

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = i = 1 \prod n f (x_{i}) .

这条就是下一章最大似然估计的全部出发点：
那里的「似然函数」写出来就是这个连乘式，
只不过把它看成未知参数的函数。

3. 统计量：样本的函数，但不许含未知参数

统计量是样本

X_{1}, \dots, X_{n}

的函数，且不含任何未知参数。

最常用的几个：

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i},

S^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2} .

k

阶样本原点矩与中心矩：

A_{k} = \frac{1}{n} \sum X_{i}^{k},

B_{k} = \frac{1}{n} \sum (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{k} .

「不含未知参数」这条是定义的要害：

\sum (X_{i} - μ)^{2}

在

μ

未知时不是统计量——
你算不出它的值。统计量必须是拿到样本值就能算出数来的东西。

4. 三个必须记住的数字特征

设总体期望

μ

、方差

σ^{2}

，

X_{1}, \dots, X_{n}

是简单随机样本。则

E (\overset{ˉ}{X}) = μ, D (\overset{ˉ}{X}) = \frac{σ ^{2}}{n},

E (S^{2}) = σ^{2} .

前两条说 $\overset{ˉ}{X}$ 瞄得准、而且越抽越稳；
第三条说

S^{2}

瞄得准——这正是分母取

n - 1

的原因。

这三条和总体服从什么分布无关，只要期望方差存在就成立。
下一条（正态总体）才开始用到正态这个条件。

三条合起来就是下一章「无偏性」的第一批例子。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

把统计量按对总体均值

μ

的偏差拆开，再逐项用期望的线性性设

X_{1}, \dots, X_{n}

是简单随机样本，总体期望

μ

、方差

σ^{2}

，

S^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2} .

证明

E (S^{2}) = σ^{2}

，并说明分母为什么不能取

n

。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断是不是统计量

第一步：看它是不是样本的函数。

第二步：逐个检查里面出现的符号，有没有未知参数（

μ

、

σ

、

λ

…）。

第三步：已知的常数可以出现（如

σ

已知时

\frac{X ˉ}{σ}

是统计量）。

第四步：判据一句话——拿到样本值能不能算出一个数。

例例. 设

X_{1}, \dots, X_{n}

来自

N (μ, σ^{2})

。下面哪些是统计量？

①

\overset{ˉ}{X}

　②

\frac{X ˉ - μ}{σ / n}

　③

\sum X_{i}^{2}

　④

\frac{X ˉ}{σ}

（

σ

已知、

μ

未知）

第一步，四个都是样本的函数 ✓

第二步，逐个找未知参数：① 没有 ✓ ② 含

μ

与

σ

，两者未知时不是统计量 ③ 没有 ✓ ④ 含

σ

，但题设

σ

已知。

第三步，已知的常数可以出现

\Rightarrow

④ 是统计量。

第四步，判据一句话：拿到一组样本值，能不能算出一个数？ ①③④ 能，② 不能（

μ

不知道）。

这个判据比背定义管用：代一组数进去试试，算不出来就不是。

写样本的联合分布

第一步：写出总体的分布律或密度。

第二步：连乘

n

个，把同类的因子合并（常数出

n

次方、指数相加）。

第三步：写清定义域——每个

x_{i}

的取值范围都要满足。

第四步：其余处补一句「其他为

0

」。

例例. 总体

X \sim E (λ)

（密度

λ e^{- λ x}

，

x > 0

），写出样本的联合密度。

第一步，总体密度已给。

第二步，连乘

n

个，同类因子合并——常数出 $n$ 次方、指数相加：

i = 1 \prod n λ e^{- λ x_{i}} = λ^{n} e^{- λ \sum x_{i}} .

第三步，写清定义域：每个 $x_{i}$ 都要满足

x_{i} > 0

。

第四步，其余处补一句：

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = {λ^{n} e^{- λ \sum x_{i}}, 0, x_{i} > 0 其他

这个式子就是下一章最大似然的

L (λ)

——现在写清楚，那里直接拿来用。

算样本统计量的数字特征

第一步：把统计量写成样本的线性组合。

第二步：期望用线性性逐项算，不需要独立。

第三步：方差先用独立可加，再把常数提出来平方。

第四步：遇到平方和，先用

X_{i} - \overset{ˉ}{X} = (X_{i} - μ) - (\overset{ˉ}{X} - μ)

拆开。

例例. 样本来自期望

μ

、方差

σ^{2}

的总体，求

E (\overset{ˉ}{X})

与

D (\overset{ˉ}{X})

。

第一步，写成线性组合：

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} \sum X_{i}

。

第二步，期望用线性性逐项算，不需要独立：

E (\overset{ˉ}{X}) = \frac{1}{n} \sum E (X_{i}) = μ .

第三步，方差先用独立可加，再把常数提出来平方：

D (\overset{ˉ}{X}) = \frac{1}{n ^{2}} \sum D (X_{i}) = \frac{σ ^{2}}{n} .

第四步，遇到平方和（如要证

E (S^{2}) = σ^{2}

）先拆：

X_{i} - \overset{ˉ}{X} = (X_{i} - μ) - (\overset{ˉ}{X} - μ)

，把两边都变成与

μ

的偏差再展开。

\frac{1}{n}

提到方差外面变成

\frac{1}{n ^{2}}

——这就是「样本越多、均值越稳」的来源。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把含未知参数的式子当统计量

\frac{X ˉ - μ}{σ / n}

在

μ

未知时不是统计量。

它是后面构造检验用的「枢轴量」，两个概念不能混。

判据：样本值代进去能不能算出数。

样本方差的分母写成 $n$

考研定义的

S^{2}

分母是

n - 1

，这样才有

E (S^{2}) = σ^{2}

。

分母取

n

的那个量（记作

B_{2}

或

S_{n}^{2}

）是有偏的。

两者差一个因子

\frac{n - 1}{n}

，换算时别弄反。

把 $D (\overset{ˉ}{X})$ 写成 $σ^{2}$

D (\overset{ˉ}{X}) = \frac{σ ^{2}}{n}

——提常数出方差要平方。

σ^{2}

是单个

X_{i}

的方差，不是样本均值的。

记法：样本越多，均值越稳，所以分母一定有

n

。

大写小写混着用

\overset{ˉ}{X}

是随机变量（可以谈分布、期望、方差）；

\overset{x}{ˉ}

是这一次抽到的一个数。

写「

\overset{x}{ˉ} \sim N (\cdot)

」是错的。

答题时统一用大写，只有代入具体数据那一步才换小写。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认概念

练 1

简单随机样本要求

X_{1}, \dots, X_{n}

与总体同分布，且相互 ________。

练 2

设

μ

未知。下列不是统计量的是（）。

A $\overset{ˉ}{X}$
B $\sum (X_{i} - μ)^{2}$
C $S^{2}$
D $X_{1} + X_{n}$

练 3

样本方差

S^{2}

的分母是 ________。

练 4

设总体

X \sim N (μ, σ^{2})

，

X_{1}, \dots, X_{n}

为简单随机样本，则

X_{3}

服从（）。

A $N (μ, σ^{2})$
B $N (μ, \frac{σ ^{2}}{3})$
C $N (0, 1)$
D $N (μ, \frac{σ ^{2}}{n})$

第二组 · 会算

练 5

总体方差

σ^{2} = 9

、

n = 36

，则

D (\overset{ˉ}{X}) =

________。

练 6

总体方差

σ^{2} = 9

、

n = 36

，则

E (S^{2}) =

________。

练 7

总体服从参数

λ

的指数分布，样本联合密度中

λ

的指数是（）。

A $1$
B $\sum x_{i}$
C $n - 1$
D $n$

练 8

设

E (X) = μ

，则

E [\frac{1}{n} \sum (X_{i} - μ)^{2}] =

________。

第三组 · 想清楚

练 9

\frac{1}{n} \sum (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}

的期望是（）。

A $σ^{2}$
B $\frac{σ ^{2}}{n}$
C $\frac{n - 1}{n} σ^{2}$
D $n σ^{2}$

练 10

关于

\overset{ˉ}{X}

与

\overset{x}{ˉ}

，正确的说法是（）。

A两者都是随机变量
B $\overset{ˉ}{X}$ 是随机变量， $\overset{x}{ˉ}$ 是一次抽样得到的数
C两者都是常数
D $\overset{x}{ˉ}$ 服从正态分布

练 11

恒等式

\sum (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2} = \sum (X_{i} - μ)^{2} - n □

，其中

□ =

________。

练 12

下列哪一条不要求总体服从正态分布（）。

A $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)$
B $\overset{ˉ}{X}$ 与 $S^{2}$ 相互独立
C $E (\overset{ˉ}{X}) = μ$ 与 $E (S^{2}) = σ^{2}$
D $\overset{ˉ}{X} \sim N (μ, \frac{σ ^{2}}{n})$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

总体、样本与统计量

先打基础

1. 总体就是一个分布，样本是它的 n 个独立复制

2. 样本的联合分布：独立就是连乘

3. 统计量：样本的函数，但不许含未知参数

4. 三个必须记住的数字特征

请你先证

常用结构

判断是不是统计量

写样本的联合分布

算样本统计量的数字特征

基础易错

把含未知参数的式子当统计量

样本方差的分母写成 n

把 D(Xˉ) 写成 σ2

大写小写混着用

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 总体就是一个分布，样本是它的 $n$ 个独立复制

样本方差的分母写成 $n$

把 $D (\overset{ˉ}{X})$ 写成 $σ^{2}$