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三大抽样分布（χ²、t、F）

概率论与数理统计 · 数理统计的基本概念

这一条要先会：总体、样本与统计量、常见连续分布（均匀、指数、正态）、随机变量的独立性

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. $χ^{2}$ 分布：独立标准正态的平方和

设

X_{1}, \dots, X_{n}

相互独立且都服从

N (0, 1)

，则

χ^{2} = i = 1 \sum n X_{i}^{2} \sim χ^{2} (n),

n

叫自由度，就是平方项的个数。

两个必记的数字特征：

E [χ^{2} (n)] = n,

D [χ^{2} (n)] = 2 n .

可加性：若

U \sim χ^{2} (m)

、

V \sim χ^{2} (n)

且独立，则

U + V \sim χ^{2} (m + n) .

取值非负，所以它的密度只在正半轴上，图形不对称。

2. $t$ 分布：正态除以一个开了方的卡方

设

X \sim N (0, 1)

、

Y \sim χ^{2} (n)

，且

X

与

Y

相互独立，则

t = \frac{X}{Y / n} \sim t (n) .

三个要点：分子是标准正态；分母是卡方除以自己的自由度再开方；
两者必须独立。

性质：

① 密度关于 $y$ 轴对称，所以

t_{1 - α} (n) = - t_{α} (n)

；

② $n$ 越大越接近标准正态（

n > 45

时常用正态近似）；

③ 比标准正态「尾巴厚」——分母的随机性把尾部抬起来了。

3. $F$ 分布：两个卡方各除自由度再相比

设

U \sim χ^{2} (n_{1})

、

V \sim χ^{2} (n_{2})

且相互独立，则

F = \frac{U / n _{1}}{V / n _{2}} \sim F (n_{1}, n_{2}) .

n_{1}

叫第一自由度（分子的），

n_{2}

叫第二自由度，次序不能反。

两条常用性质：

① 倒数性质：

F \sim F (n_{1}, n_{2}) \Rightarrow \frac{1}{F} \sim F (n_{2}, n_{1})

；

② 分位点的翻转：

F_{1 - α} (n_{1}, n_{2}) = \frac{1}{F _{α} ( n _{2} , n _{1} )} .

第②条是查表时必须的——表上通常只印

α

小的那一侧。

4. 上侧分位点：表怎么查

对给定的

α \in (0, 1)

，上侧分位点

x_{α}

由

P {X > x_{α}} = α

定义——右边尾巴的面积是 $α$ 。

三张表各有一条翻转规则：

标准正态（对称）：

u_{1 - α} = - u_{α}

；

$t$ 分布（对称）：

t_{1 - α} (n) = - t_{α} (n)

；

$F$ 分布（不对称）：

F_{1 - α} (n_{1}, n_{2}) = \frac{1}{F _{α} ( n _{2} , n _{1} )}

。

$χ^{2}$ 没有翻转规则——它不对称，两侧分位点都得查表。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断服从哪个分布

第一步：数一数有几个独立的标准正态在平方相加——是

χ^{2}

，自由度就是项数。

第二步：形如「正态

\div 卡方 / 自由度

」——是

t

。

第三步：形如「卡方

/ n_{1}

比卡方

/ n_{2}

」——是

F (n_{1}, n_{2})

，次序别反。

第四步：每一步都要先确认独立，并把非标准的正态先标准化。

例例. 设

X_{1}, \dots, X_{5}

独立且都服从

N (0, 1)

，下面各服从什么分布？

①

i = 1 \sum 5 X_{i}^{2}

　②

\frac{X _{1}}{( X _{2}^{2} + X _{3}^{2} ) /2}

　③

\frac{( X _{1}^{2} + X _{2}^{2} ) /2}{( X _{3}^{2} + X _{4}^{2} + X _{5}^{2} ) /3}

第一步，① 是

5

个独立标准正态的平方和

\Rightarrow

χ^{2} (5)

，自由度就是项数。

第二步，② 形如「正态

\div 卡方 / 自由度

」：分子

\sim N (0, 1)

，分母里

X_{2}^{2} + X_{3}^{2} \sim χ^{2} (2)

且除以了自由度

2

✓

\Rightarrow

t (2)

。

第三步，③ 形如「卡方

/ n_{1}

比卡方

/ n_{2}

」

\Rightarrow

F (2, 3)

。次序别反，分子的自由度写在前面。

第四步，每一步都靠独立（各

X_{i}

互不相同 ✓），非标准的正态要先除以

σ

标准化。

凑形状

第一步：把题给的式子和定义式并排写出来。

第二步：缺的自由度因子补到分子上（如

Y /9

补成

Y /3

）。

第三步：非标准正态先除以

σ

。

第四步：核对独立性——定义里的两块必须独立。

例例. 设

X \sim N (0, 4)

、

Y \sim χ^{2} (9)

相互独立，

\frac{X}{Y}

乘上什么常数才服从

t

分布？

第一步，并排写出目标形状：

\frac{N ( 0 , 1 )}{χ ^{2} ( 9 ) /9}

。

第二步，分母缺自由度因子：

Y /9 = \frac{Y}{3}

。

第三步，分子的正态不标准（

σ = 2

）：

\frac{X}{2} \sim N (0, 1)

。

第四步，合起来

\frac{X /2}{Y /3} = \frac{3 X}{2 Y} \sim t (9),

所以要乘的常数是

\frac{3}{2}

。

核对独立：

X

与

Y

独立 ✓ 定义里那两块必须独立，否则结论不成立。

查分位点

第一步：看清是上侧还是下侧，上侧分位点满足

P {X > x_{α}} = α

。

第二步：对称分布（正态、

t

）用负号翻转。

第三步：

F

分布用倒数翻转，两个自由度要交换。

第四步：

χ^{2}

不对称也没有倒数规则，两侧分别查。

例例. 已知

u_{0.05} = 1.645

、

t_{0.05} (10) = 1.812

、

F_{0.05} (3, 5) = 5.41

，求

u_{0.95}

、

t_{0.95} (10)

、

F_{0.95} (5, 3)

。

第一步，上侧分位点满足

P {X > x_{α}} = α

。所以

u_{0.95}

右边尾巴占

95%

——它在左边，是负的。

第二步，正态与

t

对称，用负号翻转：

u_{0.95} = - 1.645, t_{0.95} (10) = - 1.812.

第三步，

F

用倒数翻转，两个自由度要交换：

F_{0.95} (5, 3) = \frac{1}{F _{0.05} ( 3 , 5 )} = \frac{1}{5.41} \approx 0.185.

第四步，

χ^{2}

既不对称、也没有倒数规则，两侧必须分别查表——这正是区间估计方差时要查两个值的原因。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

平方之前忘了标准化

χ^{2}

的定义要求标准正态。

X_{i} \sim N (0, σ^{2})

时，

\sum X_{i}^{2}

不服从

χ^{2} (n)

，

\frac{1}{σ ^{2}} \sum X_{i}^{2}

才是。

先除以 $σ$ 再平方，这是本节第一多的错。

$F$ 的两个自由度写反

F (n_{1}, n_{2})

里

n_{1}

是分子的自由度。

写反了分布就变了，倒数性质也跟着错。

记法：先分子后分母，和写分数的顺序一致。

$t$ 的分位点用倒数翻转

t

对称，用负号：

t_{1 - α} (n) = - t_{α} (n)

。

倒数那条是

F

分布专有的，而且要交换两个自由度。

$χ^{2}$ 两条都不能用，只能老实查表。

忘了检查独立

三个定义里都要求各块相互独立。

\frac{X}{X ^{2} /1}

不是

t (1)

——分子分母是同一个

X

，不独立。

做题时先说一句「由独立性」，再往下凑形状。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义

练 1

n

个独立标准正态变量的平方和服从 ________ 分布。

练 2

E [χ^{2} (n)] =

________。

练 3

t

分布的定义中，分母是（）。

A $Y$
B $Y / n$
C $Y$
D $Y / n$

练 4

F (n_{1}, n_{2})

中的

n_{1}

是（）的自由度。

A分子
B分母
C两者之和
D样本容量

第二组 · 凑形状

练 5

设

X_{1}, X_{2}, X_{3}

独立同服从

N (0, 4)

，则

\frac{1}{4} \sum X_{i}^{2} \sim

________。

练 6

设

X \sim N (0, 1)

、

Y \sim χ^{2} (9)

相互独立，则

\frac{3 X}{Y} \sim

________。

练 7

设

T \sim t (n)

，则

T^{2} \sim

（）。

A $χ^{2} (n)$
B $F (1, n)$
C $F (n, 1)$
D $t (2 n)$

练 8

设

U \sim χ^{2} (3)

、

V \sim χ^{2} (5)

相互独立，则

U + V \sim

________。

第三组 · 查表与翻转

练 9

已知

t_{0.05} (10) = 1.812

，则

t_{0.95} (10) =

________。

练 10

F_{1 - α} (n_{1}, n_{2})

等于（）。

A $- F_{α} (n_{1}, n_{2})$
B $\frac{1}{F _{α} ( n _{1} , n _{2} )}$
C $F_{α} (n_{2}, n_{1})$
D $\frac{1}{F _{α} ( n _{2} , n _{1} )}$

练 11

设

X \sim N (0, 1)

，则

\frac{X}{X ^{2} /1}

（）。

A服从 $t (1)$
B服从 $N (0, 1)$
C不服从 $t (1)$ ，因为分子分母不独立
D服从 $F (1, 1)$

练 12

关于

t

分布与标准正态，正确的是（）。

A $t$ 的尾部更厚， $n$ 越大越接近标准正态
B $t$ 的尾部更薄
C两者完全相同
D $t$ 不对称

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

三大抽样分布（χ²、t、F）

先打基础

1. χ2 分布：独立标准正态的平方和

2. t 分布：正态除以一个开了方的卡方

3. F 分布：两个卡方各除自由度再相比

4. 上侧分位点：表怎么查

常用结构

判断服从哪个分布

凑形状

查分位点

基础易错

平方之前忘了标准化

F 的两个自由度写反

t 的分位点用倒数翻转

忘了检查独立

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. $χ^{2}$ 分布：独立标准正态的平方和

2. $t$ 分布：正态除以一个开了方的卡方

3. $F$ 分布：两个卡方各除自由度再相比

$F$ 的两个自由度写反

$t$ 的分位点用倒数翻转