三大抽样分布（χ²、t、F）

§20.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.57 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

1.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）总体、样本与统计量常见连续分布（均匀、指数、正态）随机变量的独立性③ 掌握后可解锁正态总体样本均值与方差的分布区间估计假设检验的基本思想正态总体参数的假设检验

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 三大抽样分布的构造定义： $χ^{2} (n) = \sum X_{i}^{2}$ 、 $t (n) = \frac{X}{Y / n}$ 、 $F (n_{1}, n_{2}) = \frac{U / n _{1}}{V / n _{2}}$ 与上 $α$ 分位点★★ 必会

这三个分布不是用密度公式来定义的，而是用由标准正态随机变量作出的构造来定义的；一切判别题都是把统计量化回这三种构造。每个定义中的独立性条件都不可缺少。

① $χ^{2}$ 分布：设

X_{1}, \dots, X_{n}

相互独立且均服从

N (0, 1)

，则

χ^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2} \sim χ^{2} (n),

其中自由度

n =

相互独立的标准正态随机变量的平方的个数。它的数字特征为

E (χ^{2}) = n

、

D (χ^{2}) = 2 n

（推导见下一条）。可加性：如果

χ_{1}^{2} \sim χ^{2} (m)

与

χ_{2}^{2} \sim χ^{2} (n)

相互独立，那么

χ_{1}^{2} + χ_{2}^{2} \sim χ^{2} (m + n)

。

② $t$ 分布：设

X \sim N (0, 1)

，

Y \sim χ^{2} (n)

，且

X

与

Y

相互独立，则

t = \frac{X}{Y / n} \sim t (n) .

它的密度关于

0

对称（当

n > 1

时

E (t) = 0

）；当

n \to \infty

时趋于

N (0, 1)

。

③ $F$ 分布：设

U \sim χ^{2} (n_{1})

，

V \sim χ^{2} (n_{2})

，且

U

与

V

相互独立，则

F = \frac{U / n _{1}}{V / n _{2}} \sim F (n_{1}, n_{2}),

这里两个自由度都要除在各自的 $χ^{2}$ 之下，且分子的自由度写在前面。由此直接得到

\frac{1}{F} \sim F (n_{2}, n_{1})

（见证明）。

④ 上 $α$ 分位点：对随机变量

X

与给定

α \in (0, 1)

，满足

P {X > x_{α}} = α

的数

x_{α}

称为该分布的上 $α$ 分位点，即右侧尾部的面积为

α

，其记号如

z_{α}, χ_{α}^{2} (n), t_{α} (n), F_{α} (n_{1}, n_{2})

。查表时常用两条换算式：

t_{1 - α} (n) = - t_{α} (n)

，

F_{1 - α} (n_{1}, n_{2}) = \frac{1}{F _{α} ( n _{2} , n _{1} )}

（证明见本节后条）。

证明 / 推导

证 由构造定义证明 $\frac{1}{F} \sim F (n_{2}, n_{1})$ 。 设

F = \frac{U / n _{1}}{V / n _{2}}

，其中

U \sim χ^{2} (n_{1})

、

V \sim χ^{2} (n_{2})

且相互独立。取倒数得

\frac{1}{F} = \frac{V / n _{2}}{U / n _{1}},

右端恰好是相互独立的

χ^{2} (n_{2})

除以自身的自由度，再比上

χ^{2} (n_{1})

除以自身的自由度，这就是

F (n_{2}, n_{1})

的构造定义，因此

\frac{1}{F} \sim F (n_{2}, n_{1})

。取倒数时两个自由度必须随分子、分母一起对调，这就是分位数换算式

F_{1 - α} (n_{1}, n_{2}) = 1/ F_{α} (n_{2}, n_{1})

中自由度次序颠倒的来源。

■

举例说明

真题（2005·数一）. 设

X_{1}, \dots, X_{n} (n \geq 2)

来自

N (0, 1)

，

\overset{ˉ}{X}

为样本均值，

S^{2}

为样本方差，问下列哪个正确：(A)

n \overset{ˉ}{X} \sim N (0, 1)

；(B)

n S^{2} \sim χ^{2} (n)

；(C)

\frac{( n - 1 ) X ˉ}{S} \sim t (n - 1)

；(D)

\frac{( n - 1 ) X _{1}^{2}}{\sum _{i = 2}^{n} X _{i}^{2}} \sim F (1, n - 1)

。

解. 逐项与构造定义对照。

X_{1} \sim N (0, 1) \Rightarrow X_{1}^{2} \sim χ^{2} (1)

；

X_{2}, \dots, X_{n}

独立同

N (0, 1) \Rightarrow i = 2 \sum n X_{i}^{2} \sim χ^{2} (n - 1)

，且二者由不相交的样本构成，因而相互独立。按

F

分布的定义，

\frac{X _{1}^{2} /1}{( \sum _{i = 2}^{n} X _{i}^{2} ) / ( n - 1 )} = \frac{( n - 1 ) X _{1}^{2}}{\sum _{i = 2}^{n} X _{i}^{2}} \sim F (1, n - 1),

故 (D) 正确。其余三项都错在系数不对：

\overset{ˉ}{X} \sim N (0, \frac{1}{n})

，应为

n \overset{ˉ}{X} \sim N (0, 1)

，故 A 错；正确的结论是

(n - 1) S^{2} \sim χ^{2} (n - 1)

，而不是

n S^{2} \sim χ^{2} (n)

，故 B 错；

\frac{X ˉ}{S / n} = \frac{n X ˉ}{S} \sim t (n - 1)

，系数是

n

而不是

n - 1

，故 C 错。答案为 D。

■

2. $E (χ^{2}) = n$ 与 $D (χ^{2}) = 2 n$ 的来历，以及 χ² 与 Gamma 分布、指数分布的关系

在三大抽样分布中

χ^{2}

分布是基础，它的两个数字特征

E [χ^{2} (n)] = n

、

D [χ^{2} (n)] = 2 n

不必强记，可以直接由定义

χ^{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}

（其中

X_{i}

独立同服从

N (0, 1)

）算出。所需要的只是标准正态的两个矩：

E (X^{2}) = 1

与

E (X^{4}) = 3

。

顺便说明

χ^{2}

分布的来历：它是 Gamma 分布的特例，即

χ^{2} (n) = Γ (\frac{n}{2}, \frac{1}{2})

；特别地，

χ^{2} (1)

就是一个标准正态随机变量的平方，而

χ^{2} (2)

恰是参数为 $\frac{1}{2}$ 的指数分布（密度为

\frac{1}{2} e^{- x /2}

，均值为

2

）。知道了这些关系，分布之间的许多换算就容易理解了。

证明 / 推导

证 推导 $E [χ^{2} (n)] = n$ 、 $D [χ^{2} (n)] = 2 n$ 。 设

X \sim N (0, 1)

。标准正态的矩为

E (X^{2}) = D (X) = 1

与

E (X^{4}) = 3

（后者可由

E (X^{2 k}) = (2 k - 1)!!

取

E (X^{4}) = 3!! = 3

得到，也可用分部积分算出）。于是对单项有

E (X^{2}) D (X^{2}) = 1 = E (X^{4}) - [E (X^{2})]^{2} = 3 - 1 = 2.

因

χ^{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}

，且各

X_{i}^{2}

相互独立，故

E (χ^{2}) = i = 1 \sum n E (X_{i}^{2}) = n, D (χ^{2}) = i = 1 \sum n D (X_{i}^{2}) = 2 n . ■

3. t 分布与 F 分布的联系： $t^{2} (n) = F (1, n)$

t

分布与

F

分布看似互不相干，其实二者有一个简洁的联系：若 $T \sim t (n)$ ，则 $T^{2} \sim F (1, n)$ 。原因就在定义的结构之中：

t

的分子是一个标准正态随机变量

X

，平方后

X^{2} \sim χ^{2} (1)

，于是

t

的平方自然成为

χ^{2} (1)

比

χ^{2} (n)

之比的形式，这就是

F (1, n)

。

这一关系在解题时很有用：凡是能化为

t (n)

的统计量，它的平方自动服从

F (1, n)

；反之，遇到分子自由度为

1

的

F

分布，可以回过头把它看作某个

t

的平方。它把两张分布表联系了起来，也是假设检验中单参数情形下

t

检验与

F

检验等价的根据。

证明 / 推导

证 下面证明 $T^{2} \sim F (1, n)$ 。 按定义

T = \frac{X}{Y / n}

，其中

X \sim N (0, 1)

，

Y \sim χ^{2} (n)

，且

X ⊥ Y

。取平方得

T^{2} = \frac{X ^{2}}{Y / n} = \frac{X ^{2} /1}{Y / n} .

因

X \sim N (0, 1)

，故

X^{2} \sim χ^{2} (1)

；又

Y \sim χ^{2} (n)

；且

X^{2}

与

Y

相互独立（这是因为

X ⊥ Y

）。这就是

F

分布的定义结构

\frac{χ ^{2} ( 1 ) /1}{χ ^{2} ( n ) / n}

，因此

T^{2} \sim F (1, n)

。

■

再看一个典型例子：当

X_{1}, \dots, X_{4}

独立同服从

N (0, 1)

时，

Y_{2} = \frac{X _{1}}{( X _{2}^{2} + X _{3}^{2} + X _{4}^{2} ) /3} \sim t (3)

，而

Y_{3} = \frac{3 X _{1}^{2}}{X _{2}^{2} + X _{3}^{2} + X _{4}^{2}} = Y_{2}^{2}

。由上述结论立即知道

Y_{3} \sim F (1, 3)

，这与直接判别的结果完全一致。

4. 分位数换算式可以证明： $t_{1 - α} = - t_{α}$ 与 $F_{1 - α} (m, n) = 1/ F_{α} (n, m)$ ★ 要懂

t_{1 - α} (n) = - t_{α} (n)

和

F_{1 - α} (n_{1}, n_{2}) = \frac{1}{F _{α} ( n _{2} , n _{1} )}

这两条换算式不必强记，它们可以由分布的对称性与倒数性质直接证明。弄清了证法，就不会把自由度的次序写反，而这是

F

分布换算中最常见的失分之处。

先记牢上侧 $α$ 分位数的定义：

P {\cdot > (分位数)} = α

，即右侧尾部的概率为

α

。

t

的换算依据是密度关于

0

对称；

F

的换算依据是

F \sim F (n_{1}, n_{2}) \Rightarrow \frac{1}{F} \sim F (n_{2}, n_{1})

这条倒数性质。正因为取了倒数，两个自由度才必须一起对调。

证明 / 推导

证 （1） $t$ 的对称换算。 设

T \sim t (n)

，它的密度关于

0

对称。由定义

P {T > t_{α} (n)} = α

。又由对称性得

P {T > - a} = P {T < a} = 1 - P {T > a}

（这里是连续型）。取

a = t_{α} (n)

，得

P {T > - t_{α} (n)} = 1 - P {T > t_{α} (n)} = 1 - α,

而这恰是

t_{1 - α} (n)

的定义，故

t_{1 - α} (n) = - t_{α} (n)

。

（2） $F$ 的倒数换算。 设

F \sim F (n_{1}, n_{2})

，则

\frac{1}{F} \sim F (n_{2}, n_{1})

。由定义

P {F > F_{1 - α} (n_{1}, n_{2})} = 1 - α

，取对立事件，得

P {F \leq F_{1 - α} (n_{1}, n_{2})} = α

，即

P {\frac{1}{F} \geq \frac{1}{F _{1 - α} ( n _{1} , n _{2} )}} = α .

又

\frac{1}{F} \sim F (n_{2}, n_{1})

，故上式说明

\frac{1}{F _{1 - α} ( n _{1} , n _{2} )}

是

F (n_{2}, n_{1})

的上侧

α

分位数，即有

\frac{1}{F _{1 - α} ( n _{1} , n _{2} )} = F_{α} (n_{2}, n_{1})

，整理得

F_{1 - α} (n_{1}, n_{2}) = \frac{1}{F _{α} ( n _{2} , n _{1} )} . ■

5. 综合判别的要领：先把非标准正态标准化，再对照定义确定常数★★ 必会

判别抽样分布的题目，难点常常不在套用定义，而在两处预备工作：（1）总体不是标准正态时要先作标准化，若

X_{i} \sim N (μ, σ^{2})

，必须先化为

\frac{X _{i} - μ}{σ} \sim N (0, 1)

，它们的平方和才是

χ^{2}

变量；（2）出现待定常数时，靠化成标准形来确定它。这里有一个常见的现象：只要统计量中各量的搭配正确，未知的 $σ$ 会在 $t$ 、 $F$ 中自动约去。下面这道题两点兼有，是求常数使统计量服从

t

分布的典型。

举例说明

例。设

X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}, X_{5}

独立同分布于

N (0, σ^{2})

（

σ

未知）。求常数

c

，使

Y = c \cdot \frac{X _{1} + X _{2}}{X _{3}^{2} + X _{4}^{2} + X _{5}^{2}} \sim t (k),

并指出自由度

k

。

解. 分子：

X_{1} + X_{2} \sim N (0, 2 σ^{2})

，标准化后

U = \frac{X _{1} + X _{2}}{2 σ} \sim N (0, 1)

。
分母：每个

\frac{X _{i}}{σ} \sim N (0, 1)

，故

V = \frac{X _{3}^{2} + X _{4}^{2} + X _{5}^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (3)

。又

U

只依赖

X_{1}, X_{2}

，而

V

只依赖

X_{3}, X_{4}, X_{5}

，因此二者相互独立。按

t

分布的定义，

\frac{U}{V /3} = \frac{( X _{1} + X _{2} ) / ( 2 σ )}{( X _{3}^{2} + X _{4}^{2} + X _{5}^{2} ) / ( 3 σ ^{2} )} = \frac{3}{2} \cdot \frac{X _{1} + X _{2}}{X _{3}^{2} + X _{4}^{2} + X _{5}^{2}} \sim t (3) .

可见

σ

已自动约去。与所求的式子对照，得

c = \frac{3}{2} = \frac{6}{2}

，自由度

k = 3

。

■

💡 小知识

t

分布由吉尼斯啤酒厂的质检员戈塞特（W. S. Gosset）提出。公司不许员工用真名对外发表成果，他便化名 Student 投稿，这一分布从此被称作学生氏

t

分布。一个啤酒厂里的小样本质量控制问题，就这样催生了现代小样本统计推断的基石。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}

相互独立且都服从标准正态分布

N (0, 1)

。问

Y = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X_{3}^{2}

服从什么分布？难度 1

χ^{2}

分布的定义：若

X_{1}, \dots, X_{n}

相互独立且都服从

N (0, 1)

，则平方和

\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

，自由度等于独立标准正态变量的个数。

本题是

3

个独立

N (0, 1)

的平方和，故

Y = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X_{3}^{2} \sim χ^{2} (3) .

例 2 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{6}

相互独立且都服从

N (0, 1)

。问统计量

Y = \frac{X _{1}}{( X _{2}^{2} + X _{3}^{2} + \dots + X _{6}^{2} ) /5}

服从什么分布？难度 2

t

分布的定义：若

X \sim N (0, 1)

，

Z \sim χ^{2} (n)

，且

X

与

Z

相互独立，则

\frac{X}{Z / n} \sim t (n)

。

对本题逐块识别：
- 分子

X_{1} \sim N (0, 1)

；
- 分母根号内

Z = X_{2}^{2} + X_{3}^{2} + X_{4}^{2} + X_{5}^{2} + X_{6}^{2}

是

5

个独立

N (0, 1)

的平方和，故

Z \sim χ^{2} (5)

；
-

X_{1}

与

Z

相互独立（涉及的是不同的

X_{i}

）。

于是

Y = \frac{X _{1}}{Z /5}

恰为

\frac{N ( 0 , 1 )}{χ ^{2} ( 5 ) /5}

的形式，故

Y \sim t (5) .

例 3 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}, X_{5}

相互独立且都服从

N (0, 1)

。问统计量

Y = \frac{( X _{1}^{2} + X _{2}^{2} ) /2}{( X _{3}^{2} + X _{4}^{2} + X _{5}^{2} ) /3}

服从什么分布？难度 2

F

分布的定义：若

U \sim χ^{2} (n_{1})

，

V \sim χ^{2} (n_{2})

，且

U

与

V

相互独立，则

\frac{U / n _{1}}{V / n _{2}} \sim F (n_{1}, n_{2})

。

识别各部分：
-

U = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} \sim χ^{2} (2)

，自由度

n_{1} = 2

；
-

V = X_{3}^{2} + X_{4}^{2} + X_{5}^{2} \sim χ^{2} (3)

，自由度

n_{2} = 3

；
-

U

与

V

相互独立。

于是

Y = \frac{U /2}{V /3}

正是

F

分布定义式，故

Y \sim F (2, 3) . ■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数一 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

N (μ_{1}, σ^{2})

的简单随机样本，

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{m}

为来自总体

N (μ_{2}, 2 σ^{2})

的简单随机样本，且两样本相互独立。记

\overline{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}, \overline{Y} = \frac{1}{m} i = 1 \sum m Y_{i}, S_{1}^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}, S_{2}^{2} = \frac{1}{m - 1} i = 1 \sum m (Y_{i} - \overline{Y})^{2}

，则（　　）

A $\frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n, m)$ .
B $\frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n - 1, m - 1)$ .
C $\frac{2 S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n, m)$ .
D $\frac{2 S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n - 1, m - 1)$ .

2017 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n \geq 2)

为来自总体

N (μ, 1)

的简单随机样本，记

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

，则下列结论中不正确的是（　　）

A $i = 1 \sum n (X_{i} - μ)^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布.
B $2 (X_{n} - X_{1})^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布.
C $i = 1 \sum n (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布.
D $n (\overset{ˉ}{X} - μ)^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布.

2013 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X \sim t (n)

，

Y \sim F (1, n)

，给定

α (0 < α < 0.5)

，常数

c

满足

P {X > c} = α

，则

P {Y > c^{2}} =

（　　）

A $α$ .
B $1 - α$ .
C $2 α$ .
D $1 - 2 α$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

相互独立且都服从

N (0, 1)

，则

\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}

服从（　）。

A $N (0, n)$
B $χ^{2} (n)$
C $t (n)$
D $F (n, 1)$

练习 2 · 选择题

设

X \sim N (0, 1)

，

Y \sim χ^{2} (n)

，且

X

与

Y

相互独立，则

\frac{X}{Y / n}

服从（　）。

A $χ^{2} (n)$
B $F (1, n)$
C $t (n)$
D $N (0, 1)$

练习 3 · 填空题

设

X \sim χ^{2} (8)

，则

D (X) =

____。

练习 4 · 选择题

设随机变量

T \sim t (n)

，则

T^{2}

服从（　）。

A $F (1, n)$
B $F (n, 1)$
C $χ^{2} (1)$
D $t (n)$

练习 5 · 填空题

设

F \sim F (m, n)

，则

\frac{1}{F}

服从的分布是 ____（用

F (\cdot, \cdot)

表示）。

练习 6 · 选择题

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

（

n \geq 2

）是来自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

，

S^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}

。则下列结论中错误的是（　）。

A $\frac{X ˉ - μ}{σ / n} \sim N (0, 1)$
B $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)$
C $\frac{X ˉ - μ}{S / n} \sim t (n - 1)$
D $\frac{1}{σ ^{2}} i = 1 \sum n (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2} \sim χ^{2} (n)$

练习 7 · 填空题

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{6}

相互独立且都服从

N (0, σ^{2})

（

σ > 0

），则

Y = \frac{( X _{1} + X _{2} + X _{3} ) ^{2}}{X _{4}^{2} + X _{5}^{2} + X _{6}^{2}}

服从的分布是 ____。

练习 8 · 解答题

设

X_{1}, \dots, X_{16}

是来自正态总体

N (μ_{1}, σ^{2})

的简单随机样本，

\overset{ˉ}{X}

与

S_{X}^{2}

分别为其样本均值与样本方差；又设

Y_{1}, \dots, Y_{9}

是来自正态总体

N (μ_{2}, σ^{2})

的简单随机样本，

S_{Y}^{2}

为其样本方差，且两组样本相互独立。

（1）指出

\frac{15 S _{X}^{2}}{σ ^{2}}

所服从的分布，并由此求

E (S_{X}^{2})

与

D (S_{X}^{2})

；

（2）说明统计量

T = \frac{4 ( X ˉ - μ _{1} )}{S _{X}}

服从什么分布；

（3）指出

F = \frac{S _{X}^{2}}{S _{Y}^{2}}

所服从的分布，并求

E (F)

。

2005 年 · 数一 · 第 14 题 · 选择题 · 4 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n \geq 2)

为来自总体

N (0, 1)

的简单随机样本，

\overset{ˉ}{X}

为样本均值，

S^{2}

为样本方差，则（　　）

A $n \overset{ˉ}{X} \sim N (0, 1)$ .
B $n S^{2} \sim χ^{2} (n)$ .
C $\frac{( n - 1 ) X ˉ}{S} \sim t (n - 1)$ .
D $\frac{( n - 1 ) X _{1}^{2}}{i = 2 \sum n X _{i}^{2}} \sim F (1, n - 1)$ .

2003 年 · 数一 · 第 12 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X \sim t (n) (n > 1)

，

Y = \frac{1}{X ^{2}}

，则（　　）

A $Y \sim χ^{2} (n)$ .
B $Y \sim χ^{2} (n - 1)$ .
C $Y \sim F (n, 1)$ .
D $Y \sim F (1, n)$ .

三大抽样分布（χ²、t、F）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 三大抽样分布的构造定义：χ2(n)=∑Xi2​、t(n)=Y/n​X​、F(n1​,n2​)=V/n2​U/n1​​ 与上 α 分位点★★ 必会

2. E(χ2)=n 与 D(χ2)=2n 的来历，以及 χ² 与 Gamma 分布、指数分布的关系

3. t 分布与 F 分布的联系：t2(n)=F(1,n)

4. 分位数换算式可以证明：t1−α​=−tα​ 与 F1−α​(m,n)=1/Fα​(n,m)★ 要懂

5. 综合判别的要领：先把非标准正态标准化，再对照定义确定常数★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 三大抽样分布的构造定义： $χ^{2} (n) = \sum X_{i}^{2}$ 、 $t (n) = \frac{X}{Y / n}$ 、 $F (n_{1}, n_{2}) = \frac{U / n _{1}}{V / n _{2}}$ 与上 $α$ 分位点★★ 必会

2. $E (χ^{2}) = n$ 与 $D (χ^{2}) = 2 n$ 的来历，以及 χ² 与 Gamma 分布、指数分布的关系

3. t 分布与 F 分布的联系： $t^{2} (n) = F (1, n)$

4. 分位数换算式可以证明： $t_{1 - α} = - t_{α}$ 与 $F_{1 - α} (m, n) = 1/ F_{α} (n, m)$ ★ 要懂