假设检验的基本思想

§22.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.71 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

0.9 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）正态总体样本均值与方差的分布三大抽样分布（χ²、t、F）区间估计③ 掌握后可解锁正态总体参数的假设检验

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 假设检验的基本框架：小概率原理、 $H_{0} / H_{1}$ 、拒绝域、显著性水平 $α$ 与五个步骤★★ 必会

① 小概率原理（实际推断原理）：概率很小的事件，在一次试验中实际上是不会发生的。假设检验就是依据这一原理所作的概率反证法：先假定

H_{0}

为真；在此前提下，如果观测数据竟成了小概率事件，那么就有充分理由拒绝 $H_{0}$ ；否则不拒绝。这里的措辞必须严谨：不拒绝

\neq =

已经证明

H_{0}

为真，只是证据不足以把它推翻。

② 原假设与备择假设：原假设 $H_{0}$ 是受到保护、不轻易推翻的命题，例如

μ = μ_{0}

、

μ \leq μ_{0}

；备择假设 $H_{1}$ 是拒绝

H_{0}

以后所接受的对立命题。

H_{1}

的形式决定检验的方向：

H_{1} : μ \neq = μ_{0}

是双侧检验，

H_{1} : μ > μ_{0}

（或

μ < μ_{0}

）是单侧检验。

H_{0}

与

H_{1}

都必须在看数据之前确定。

③ 检验统计量与拒绝域：检验统计量是当

H_{0}

为真时分布完全已知的统计量，例如

Z = \frac{X ˉ - μ _{0}}{σ / n} \sim N (0, 1)

；拒绝域 $W$ 是预先划定的区域，如果统计量的观测值落入

W

，那么就拒绝

H_{0}

。

W

的边界称为临界值。

④ 两类错误与显著性水平：

α β = P {拒绝 H_{0} ∣ H_{0} 真} (第一类错误：弃真) = P {接受 H_{0} ∣ H_{0} 假} (第二类错误：取伪) .

显著性水平 $α$ 是预先给定的（如

0.05

、

0.01

），它就是小概率的界限。拒绝域按下述要求划定：当

H_{0}

为真时，统计量落入

W

的概率等于

α

。样本容量固定时，

α

与

β

此增彼减，不能同时降低（

β

的计算见下一条）。

⑤ 五个步骤：(1) 由实际问题提出

H_{0}

与

H_{1}

；(2) 选取检验统计量，要求它在

H_{0}

为真时分布已知；(3) 按

α

与

H_{1}

所指的方向划定拒绝域，双侧检验在两端各留

α /2

，单侧检验在一端留

α

，方向与

H_{1}

一致；(4) 代入样本观测值，算出统计量的值；(5) 若它落入

W

则拒绝

H_{0}

，否则不拒绝，最后用原问题的语言陈述结论。

证明 / 推导

下面验证：按分位点划定的拒绝域，其第一类错误的概率恰为 $α$ . 以

σ

已知的双侧

Z

检验为例。当

H_{0} : μ = μ_{0}

为真时

Z = \frac{X ˉ - μ _{0}}{σ / n} \sim N (0, 1)

，取

W = {∣ Z ∣ \geq z_{α /2}}

。于是

P {拒绝 H_{0} ∣ H_{0} 真} = P {∣ Z ∣ \geq z_{α /2}} = P {Z \geq z_{α /2}} + P {Z \leq - z_{α /2}} = \frac{α}{2} + \frac{α}{2} = α .

由此可见，用上

α /2

分位点划定界限，与要求第一类错误的概率

= α

，是同一件事的两种说法。单侧检验与此相类似：把整个

α

放到

H_{1}

所指的那一侧，取

W = {Z \geq z_{α}}

（右侧备择）或

W = {Z \leq - z_{α}}

（左侧备择）。

■

举例说明

真题（2018·数一第 8 题，选择 4 分）. 设总体

X \sim N (μ, σ^{2})

，

X_{1}, \dots, X_{n}

是简单随机样本，据此检验假设

H_{0} : μ = μ_{0}

，

H_{1} : μ \neq = μ_{0}

，则（　　）

(A) 如果在检验水平

α = 0.05

下拒绝

H_{0}

，那么

α = 0.01

下必拒绝

H_{0}

.
(B) 如果在检验水平

α = 0.05

下拒绝

H_{0}

，那么

α = 0.01

下必接受

H_{0}

.
(C) 如果在检验水平

α = 0.05

下接受

H_{0}

，那么

α = 0.01

下必拒绝

H_{0}

.
(D) 如果在检验水平

α = 0.05

下接受

H_{0}

，那么

α = 0.01

下必接受

H_{0}

.

解. 关键在于考察拒绝域随 $α$ 如何变化。双侧检验的拒绝域为

∣ Z ∣ \geq z_{α /2}

（若

σ

未知则为

∣ t ∣ \geq t_{α /2} (n - 1)

）。当

α

由

0.05

降为

0.01

时，分位点

z_{α /2}

变大，于是拒绝域缩小，接受域扩大。因此，如果在

α = 0.05

下已经接受

H_{0}

，那么统计量落在较小的接受域之内，换到

α = 0.01

所对应的更大的接受域中，必仍被接受，即 $0.05$ 下接受 $\Rightarrow$ $0.01$ 下必接受（答案选 D）；反过来，由

0.05

下拒绝并不能推出

0.01

下也拒绝。从直观上说，

α

越小，就越不肯错误地否定

H_{0}

，拒绝的门槛也就越高。

■

2. 第二类错误 $β$ 与检验功效 $1 - β$ 的计算★ 要懂

第一类错误的概率

α

是预先给定的，计算并不困难；困难的是第二类错误

β = P {不拒绝 H_{0} ∣ H_{0} 假}

，它必须在某个具体的备择参数值下才能算出。计算分两步：

1. 把拒绝域用

\overset{ˉ}{X}

（或原来的统计量）明确表示出来；
2. 在真实参数（即备择值

μ_{1}

）所对应的分布之下，求样本落入接受域的概率，它就是

β

。

功效

1 - β

是当

H_{0}

不真时能正确察觉并加以拒绝的能力，功效越大，检验就越灵敏。

证明 / 推导

下面导出单侧检验中 $β$ 的一般公式. 设

X \sim N (μ, σ^{2})

，

σ

已知，检验

H_{0} : μ = μ_{0}

对

H_{1} : μ > μ_{0}

，显著性水平为

α

。

第一步，把拒绝域用

\overset{ˉ}{X}

表示。由

\frac{X ˉ - μ _{0}}{σ / n} \geq z_{α}

得

\overset{ˉ}{X} \geq μ_{0} + z_{α} \frac{σ}{n},

因此接受域为

\overset{ˉ}{X} < μ_{0} + z_{α} \frac{σ}{n}

。

第二步，在真值

μ = μ_{1}

之下求这一事件的概率。此时

\overset{ˉ}{X} \sim N (μ_{1}, σ^{2} / n)

，把它标准化，得

β (μ_{1}) = P {\frac{X ˉ - μ _{1}}{σ / n} < \frac{μ _{0} - μ _{1} + z _{α} σ / n}{σ / n}} = Φ (z_{α} - \frac{μ _{1} - μ _{0}}{σ / n}) .

这就证明了所用的公式。左侧备择的情形只须把不等号反向，结果的形式相同。

■

由这个公式可以看出两件事。

①

β

是

μ_{1}

的函数，而不是一个数。

μ_{1}

离

μ_{0}

越远，

Φ

的自变量越小，

β

越小，功效越大。当

μ_{1} \to μ_{0}

时

β \to Φ (z_{α}) = 1 - α

，可见备择值离原假设很近时，检验几乎察觉不出差别。

② 样本容量

n

越大，

\frac{μ _{1} - μ _{0}}{σ / n}

越大，

β

越小。如果要在给定的

α

之下把

β

压到指定的水平，那么可以由这个公式反解出所需的

n

。

举例说明

设

X \sim N (μ, 1)

（

σ = 1

已知），

n = 25

，检验

H_{0} : μ = 0

对

H_{1} : μ > 0

，取

α = 0.05

（

z_{0.05} = 1.645

）。求当真值为

μ_{1} = 0.5

时的第二类错误概率

β

与功效。

解. 拒绝域为

Z = \frac{X ˉ - 0}{1/5} > z_{0.05} = 1.645

，即

\overset{ˉ}{X} > 1.645 \times \frac{1}{5} = 0.329

，因而接受域为

\overset{ˉ}{X} \leq 0.329

。

当真值为

μ_{1} = 0.5

时

\overset{ˉ}{X} \sim N (0.5, 1/25)

，其标准差为

1/5 = 0.2

，故

β = P {\overset{ˉ}{X} \leq 0.329 ∣ μ = 0.5} = Φ (\frac{0.329 - 0.5}{0.2}) = Φ (- 0.855) \approx 0.196.

于是功效

1 - β \approx 0.804

。（一般地可写成

β = Φ (z_{α} - \frac{μ _{1} - μ _{0}}{σ / n}) = Φ (1.645 - 2.5)

。）

■

3. $α$ 与 $β$ 此增彼减的定量刻画； $α$ 为什么不能取成 0

利用上一条中的一般式

β = Φ (z_{α} - c)

（其中

c = \frac{μ _{1} - μ _{0}}{σ / n}

在样本容量固定时是常数），就可以把两类错误之间的矛盾表述为定量的事实：

α ↓\Rightarrow z_{α} ↑\Rightarrow β ↑

。

如果把

α

一直减小到

0

，那么

z_{α} \to + \infty

，拒绝域退化为空集，于是永远不会拒绝

H_{0}

，这时

β \to 1

、功效

\to 0

，检验也就失去了作用。所以取

α

为

0.05/0.01

，是在弃真与取伪之间所作的折中。若要同时降低这两个概率，唯一的办法是增大 $n$ ，使

c

变大。

证明 / 推导

$β$ 是 $α$ 的严格减少函数. 设

σ

已知，检验

H_{0} : μ = μ_{0}

对

H_{1} : μ = μ_{1} > μ_{0}

，拒绝域为

{Z \geq z_{α}}

，其中

Z = \frac{X ˉ - μ _{0}}{σ / n}

。当真值为

μ_{1}

时

\overset{ˉ}{X} \sim N (μ_{1}, σ^{2} / n)

，把接受域

\overset{ˉ}{X} < μ_{0} + z_{α} σ / n

标准化，即得

β (α) c = Φ (z_{α} - c) = \frac{μ _{1} - μ _{0}}{σ / n} > 0.

分位点由

Φ (z_{α}) = 1 - α

确定，即

z_{α} = Φ^{- 1} (1 - α)

。

Φ

是严格增加的连续函数，其反函数

Φ^{- 1}

也严格增加。当

α

减小时

1 - α

增大，故

z_{α}

增大。再由

Φ

严格增加，

Φ (z_{α} - c)

随之增大。这就证明了在

n

固定时

β

随

α

的减小而严格增大。

两端的极限. 当

α \to 0^{+}

时

z_{α} \to + \infty

，故

β = Φ (z_{α} - c) \to 1

，功效

1 - β \to 0

。这时样本落入拒绝域的概率趋于零，检验几乎不会拒绝

H_{0}

，因而察觉不出任何差异。当

α \to 1^{-}

时

z_{α} \to - \infty

，

β \to 0

，但这时几乎总要拒绝

H_{0}

，弃真的风险又达到最大。所以

α

只能取在两端之间。

同时降低两者只能靠增大 $n$ . 设要求

β \leq β_{0}

。因

Φ (- z_{β_{0}}) = 1 - Φ (z_{β_{0}}) = β_{0}

，且

Φ

严格增加，故

Φ (z_{α} - c) \leq β_{0}

与

z_{α} - c \leq - z_{β_{0}}

等价，即

c \geq z_{α} + z_{β_{0}}

。代入

c = \frac{( μ _{1} - μ _{0} ) n}{σ}

，得

n \geq [\frac{( z _{α} + z _{β_{0}} ) σ}{μ _{1} - μ _{0}}]^{2} .

式中

α

与

β_{0}

可以同时取小，代价是右端变大。由此可见，当

n

固定时两类错误只能彼此让步；要同时压低，办法只有增大样本容量。

■

举例说明

接上例，其中

c = \frac{0.5}{0.2} = 2.5

。如果把显著性水平由

α = 0.05

收紧为

α = 0.01

（

z_{0.01} = 2.326

），那么

β = Φ (z_{0.01} - c) = Φ (2.326 - 2.5) = Φ (- 0.174) \approx 0.431.

β

由

0.196

升至

0.431

。由此可以清楚地看到，越是不愿弃真（

α

越小），就越容易取伪（

β

越大）。

■

4. 同一组数据，单侧检验与双侧检验可能给出相反的结论★ 要懂

拒绝域的方向与临界值都由 $H_{1}$ 决定：双侧检验用

z_{α /2}

，两端各留

α /2

；单侧检验用

z_{α}

，一端留

α

。因此同一个观测值在单侧与双侧检验下，可能一个落入拒绝域而另一个不落入，从而得出相反的结论。

这就是

H_{0}

、

H_{1}

必须在看数据之前根据实际问题确定的原因。如果先看数据再挑选单侧还是双侧，那就等于人为放宽标准、夸大显著性，在统计上是不允许的。

证明 / 推导

① 分歧区间必定存在. 上

α

分位点由

P {Z > z_{α}} = α

确定，即

z_{α} = Φ^{- 1} (1 - α)

，其中

Φ

为标准正态分布函数。因

Φ

严格增，故

Φ^{- 1}

也严格增，从而

z_{α}

随

α

的增大而减小。设

0 < α < 1

，由

\frac{α}{2} < α

得

z_{α /2} > z_{α} .

因此开区间

(z_{α}, z_{α /2})

非空。若观测值

z

落在其中，则右侧检验因

z > z_{α}

而拒绝

H_{0}

，双侧检验却因

∣ z ∣ < z_{α /2}

而不拒绝

H_{0}

，两者的结论相反。

② 分歧的概率. 当

H_{0}

为真时

Z \sim N (0, 1)

，故

P {z_{α} < Z < z_{α /2}} = Φ (z_{α /2}) - Φ (z_{α}) = (1 - \frac{α}{2}) - (1 - α) = \frac{α}{2} .

左侧的情形与此相同。这是单侧拒绝而双侧不拒绝的情形，其概率为

α /2

。另一种分歧是双侧拒绝而右侧不拒绝，即

z < - z_{α /2}

，其概率为

P {Z < - z_{α /2}} = α /2

。两者互不相交，因此两种检验结论不一致的总概率为

α

。取

α = 0.05

时两段各为

0.025

，合计

0.05

。这说明例中的现象不是巧合，而是一段必定存在的区间。

③ 为什么必须事先确定 $H_{1}$ . 设想先看数据再定方向：若

z > 0

就用右侧检验，若

z < 0

就用左侧检验，两者都取水平

α

。这时实际的拒绝域是

{z > z_{α}} \cup {z < - z_{α}}

，即

{∣ z ∣ > z_{α}}

。当

H_{0}

为真时，犯第一类错误的概率为

P {∣ Z ∣ > z_{α}} = 2 P {Z > z_{α}} = 2 α,

是所声称的水平

α

的两倍。取

α = 0.05

，实际水平为

0.10

。因此按数据挑选备择假设，会使真实的显著性水平高于名义水平，结论不再可靠。这就证明了

H_{1}

必须在取得数据之前确定。

■

举例说明

设某检验算得统计量

z = 1.8

，取

α = 0.05

。

- 双侧检验（

H_{1} : μ \neq = μ_{0}

）：拒绝域为

∣ z ∣ > z_{0.025} = 1.96

。因

1.8 < 1.96

，故不拒绝

H_{0}

。
- 右侧单侧检验（

H_{1} : μ > μ_{0}

）：拒绝域为

z > z_{0.05} = 1.645

。因

1.8 > 1.645

，故拒绝

H_{0}

。

同一个

z = 1.8

，双侧检验的结论是无显著差异，单侧检验的结论是显著偏大，两者截然相反。由此可见预先设定

H_{1}

是何等重要。

■

5. 统计显著并不等于实际重要：样本容量的两面作用

检验统计量中普遍含有

n

，例如

Z = \frac{X ˉ - μ _{0}}{σ / n}

。当

n

很大时，标准误

σ / n \to 0

，于是即使真实偏差 $μ - μ_{0}$ 微不足道， $∣ Z ∣$ 也会被放大到显著的程度。反之，如果

n

太小，功效就低，真实存在的差异也可能检测不出来。

因此，规范的结论必须把两件事区分开来：一是统计显著（

p < α

，即认为有差异），二是效应大小（差异本身有多大，是否具有实际意义）。拒绝

H_{0}

只说明所观察到的差异不像是纯粹的抽样波动，并不表明差异很大、很重要。这一点在应用统计中最容易被误解。

💡 小知识

现代假设检验的框架，是由费希尔的显著性检验与奈曼–皮尔逊的两类错误这两套思想融合而成的。两派当年争得不可开交，费希尔尤其反对机械地设定备择假设。今天课本里先定 α、再看拒绝域的标准流程，其实是这两种统计哲学握手言和之后的产物。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 某产品尺寸

X \sim N (μ, σ^{2})

，

σ = 5

已知，标准值

μ_{0} = 100

。抽取

n = 25

件，测得

\overset{x}{ˉ} = 101.5

。在显著性水平

α = 0.05

下检验

H_{0} : μ = 100

对

H_{1} : μ \neq = 100

。（

z_{0.025} = 1.96

）难度 1

第一步：提出假设。

H_{0} : μ = 100

，

H_{1} : μ \neq = 100

（双侧）。

第二步：选检验统计量。

σ

已知，取

Z = \frac{X ˉ - μ _{0}}{σ / n}, H_{0} 为真时 Z \sim N (0, 1) .

第三步：定拒绝域。 双侧检验，拒绝域为

∣ Z ∣ > z_{α /2} = z_{0.025} = 1.96

。

第四步：算观测值。

z = \frac{101.5 - 100}{5/ 25} = \frac{1.5}{5/5} = \frac{1.5}{1} = 1.5.

第五步：下结论。 因

∣ z ∣ = 1.5 < 1.96

，未落入拒绝域，故不拒绝

H_{0}

，即无充分证据认为尺寸偏离标准值。

■

注意措辞：结论是「不拒绝

H_{0}

」，而非「接受

H_{0}

」——未落入拒绝域只说明证据不足，并不能证明

H_{0}

为真。

例 2 某种元件寿命

X \sim N (μ, σ^{2})

，

σ = 10

已知。厂家宣称平均寿命

μ_{0} = 500

小时。抽

n = 25

只测得

\overset{x}{ˉ} = 505

。在

α = 0.05

下检验

H_{0} : μ = 500

对

H_{1} : μ > 500

（是否显著更长）。（

z_{0.05} = 1.645

）难度 1

第一步：假设。

H_{0} : μ = 500

，

H_{1} : μ > 500

（右侧单侧检验）。

第二步：统计量。

σ

已知，

Z = \frac{X ˉ - μ _{0}}{σ / n} \sim N (0, 1)

（在

H_{0}

下）。

第三步：拒绝域。 单侧检验，

α

全放右尾，拒绝域为

Z > z_{α} = z_{0.05} = 1.645

。

第四步：观测值。

z = \frac{505 - 500}{10/ 25} = \frac{5}{10/5} = \frac{5}{2} = 2.5.

第五步：结论。 因

z = 2.5 > 1.645

，落入拒绝域，故拒绝

H_{0}

，认为平均寿命显著大于

500

小时。

■

对比上一题：单侧检验拒绝域只在一端、用

α

分位数（不是

α /2

），方向由

H_{1}

指向决定。

例 3 某工厂检验一批产品是否合格，取

H_{0}

：这批产品合格。（1）说明此检验中第一类错误、第二类错误各指什么；（2）「把合格产品判为不合格」属于第几类错误？其概率通常记作什么？难度 2

（1）两类错误的含义。
- 第一类错误（弃真）：

H_{0}

实际为真却拒绝

H_{0}

，即「产品本合格，却被判为不合格」，其概率记作

α

；
- 第二类错误（取伪）：

H_{0}

实际为假却不拒绝

H_{0}

，即「产品本不合格，却被判为合格」，其概率记作

β

。

（2）判别。 「把合格产品判为不合格」＝「

H_{0}

（合格）为真却拒绝

H_{0}

（判不合格）」，正是第一类错误，其概率为显著性水平

α

。

■

要点：判断属于哪类错误，先看真实状态（

H_{0}

真还是假），再看检验结论（拒绝还是不拒绝）。

H_{0}

真却拒绝

\to

第一类；

H_{0}

假却不拒绝

\to

第二类。

例 4 设对简单假设

H_{0} : μ = 0

对

H_{1} : μ = 1

作检验，观测单个

X \sim N (μ, 1)

，拒绝域取为

{X > c}

。（1）若显著性水平

α = 0.05

，求临界值

c

（

z_{0.05} = 1.645

）；（2）求此检验犯第二类错误的概率

β

（已知

Φ (0.645) \approx 0.741

）。难度 2

（1）由 $α$ 定 $c$ 。 第一类错误概率

α = P {X > c ∣ H_{0} 真} = P {X > c ∣ μ = 0} = 0.05.

在

H_{0}

下

X \sim N (0, 1)

，故

c = z_{0.05} = 1.645

。

（2）算 $β$ 。 第二类错误＝

H_{0}

假（此时

μ = 1

）却不拒绝（即

X \leq c

）：

β = P {X \leq c ∣ μ = 1} = P {X \leq 1.645 ∣ μ = 1} .

在

H_{1}

下

X \sim N (1, 1)

，标准化

\frac{X - 1}{1} \sim N (0, 1)

：

β = P {\frac{X - 1}{1} \leq 1.645 - 1} = Φ (0.645) \approx 0.741.

结论：

c = 1.645

，

β \approx 0.741

。

■

可见

α

定得很小（

0.05

）时

β

反而不小——两类错误此消彼长。若想同时减小

α

与

β

，只能增大样本容量

n

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自正态总体

N (μ, 2)

的简单随机样本，记

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

，

\overset{x}{ˉ}

为

\overset{ˉ}{X}

的观察值，

z_{α}

表示标准正态分布的上侧

α

分位数。假设检验问题

H_{0} : μ \leq 1, H_{1} : μ > 1

的显著性水平为

α

的检验的拒绝域为（　　）

A ${(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \overset{x}{ˉ} > 1 + \frac{2}{n} z_{α}} .$
B ${(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \overset{x}{ˉ} > 1 + \frac{2}{n} z_{α}} .$
C ${(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \overset{x}{ˉ} > 1 + \frac{2}{n} z_{α}} .$
D ${(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \overset{x}{ˉ} > 1 + \frac{2}{n} z_{α}} .$

2021 年 · 数一 · 第 10 题 · 选择题 · 5 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{16}

是来自总体

N (μ, 4)

的简单随机样本，考虑假设检验问题

H_{0} : μ \leq 10

，

H_{1} : μ > 10

，

Φ (x)

表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为

W = {\overset{ˉ}{X} > 11}

，其中

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{16} i = 1 \sum 16 X_{i}

，则

μ = 11.5

时，该检验犯第二类错误的概率为（　　）

A $1 - Φ (0.5) .$
B $1 - Φ (1) .$
C $1 - Φ (1.5) .$
D $1 - Φ (2) .$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

在假设检验中，第一类错误（弃真）是指（）。

A $H_{0}$ 为真却拒绝 $H_{0}$
B $H_{0}$ 为假却拒绝 $H_{0}$
C $H_{0}$ 为真却不拒绝 $H_{0}$
D $H_{0}$ 为假却不拒绝 $H_{0}$

练习 2 · 填空题

设总体

X \sim N (μ, σ^{2})

，

σ = 6

已知，检验

H_{0} : μ = 50

。抽

n = 9

得

\overset{x}{ˉ} = 52

，则检验统计量

Z = \frac{X ˉ - μ _{0}}{σ / n}

的观测值为 ____。

练习 3 · 选择题

若备择假设为

H_{1} : μ \neq = μ_{0}

，则该检验为（）。

A双侧检验，拒绝域在两端
B单侧检验，拒绝域在右端
C单侧检验，拒绝域在左端
D双侧检验，拒绝域在中间

练习 4 · 选择题

在显著性水平

α

下作检验，若样本统计量的观测值未落入拒绝域，正确的结论是（）。

A接受 $H_{0}$ ，即 $H_{0}$ 一定为真
B不拒绝 $H_{0}$
C拒绝 $H_{1}$ ，即 $H_{1}$ 一定为假
D $H_{0}$ 与 $H_{1}$ 都不成立

练习 5 · 填空题

在显著性水平

α = 0.05

下作双侧

Z

检验，其临界值

z_{α /2} = z_{0.025} =

____（保留两位小数的标准数值）。

2018 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设总体

X

服从正态分布

N (μ, σ^{2})

。

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本，据此样本检验假设：

H_{0} : μ = μ_{0}, H_{1} : μ \neq = μ_{0}

，则（　　）

A如果在检验水平 $α = 0.05$ 下拒绝 $H_{0}$ ，那么 $α = 0.01$ 下必拒绝 $H_{0}$
B如果在检验水平 $α = 0.05$ 下拒绝 $H_{0}$ ，那么 $α = 0.01$ 下必接受 $H_{0}$
C如果在检验水平 $α = 0.05$ 下接受 $H_{0}$ ，那么 $α = 0.01$ 下必拒绝 $H_{0}$
D如果在检验水平 $α = 0.05$ 下接受 $H_{0}$ ，那么 $α = 0.01$ 下必接受 $H_{0}$

假设检验的基本思想

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 假设检验的基本框架：小概率原理、H0​/H1​、拒绝域、显著性水平 α 与五个步骤★★ 必会

2. 第二类错误 β 与检验功效 1−β 的计算★ 要懂

3. α 与 β 此增彼减的定量刻画；α 为什么不能取成 0

4. 同一组数据，单侧检验与双侧检验可能给出相反的结论★ 要懂

5. 统计显著并不等于实际重要：样本容量的两面作用

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 假设检验的基本框架：小概率原理、 $H_{0} / H_{1}$ 、拒绝域、显著性水平 $α$ 与五个步骤★★ 必会

2. 第二类错误 $β$ 与检验功效 $1 - β$ 的计算★ 要懂

3. $α$ 与 $β$ 此增彼减的定量刻画； $α$ 为什么不能取成 0