假设检验的基本思想

概率论与数理统计 · 假设检验

这一条要先会：正态总体样本均值与方差的分布、三大抽样分布（χ²、t、F）、区间估计

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 小概率原理：一次就发生了，就怀疑前提

假设检验的全部逻辑是一条小概率原理：

概率很小的事件，在一次试验中几乎不会发生；
如果它真的发生了，就有理由怀疑原来的前提。

于是检验的做法是：先假定一个前提（叫原假设

H_{0}

），
在这个前提下算出「观测到如此极端的数据」的概率。
这个概率小到预先定好的

α

以下，就拒绝

H_{0}

。

像反证法，但不是反证法：数学的反证法由矛盾得到确定的结论；
这里得到的是「不太可能」，所以结论永远带着犯错的概率。

2. 两个假设怎么摆

原假设 $H_{0}$ 是被保护的那一个——没有充分证据就不推翻它；
备择假设 $H_{1}$ 是想要证明的那一个。

摆法的两条规矩：

① 把「怀疑、想证明的结论」放在 $H_{1}$ ，因为检验只会在证据够强时
才拒绝

H_{0}

；

② 等号总在 $H_{0}$ 一边（

=

、

\leq

、

\geq

），
因为算概率时要有一个确定的参数值可用。

三种常见搭配：

H_{0} : μ = μ_{0} \leftrightarrow H_{1} : μ \neq = μ_{0} (双侧),

H_{0} : μ \leq μ_{0} \leftrightarrow H_{1} : μ > μ_{0} (右侧),

H_{0} : μ \geq μ_{0} \leftrightarrow H_{1} : μ < μ_{0} (左侧) .

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

把拒绝域写成标准化统计量的事件，再用它在

H_{0}

边界上的分布算概率同样设总体

N (μ, σ^{2})

、

σ

已知。考虑右侧检验

H_{0} : μ \leq μ_{0}, H_{1} : μ > μ_{0},

取拒绝域

U \geq u_{α}

。证明：当

μ = μ_{0}

时犯第一类错误的概率
恰为

α

，而当

μ < μ_{0}

时这个概率小于

α

。

3. 两类错误： $α$ 管的是哪一类

检验的结论可能错两次：

第一类错误（弃真）：

H_{0}

为真却拒绝了它，概率记作

α

；

第二类错误（取伪）：

H_{0}

为假却没拒绝，概率记作

β

。

显著性水平 $α$ 控制的只是第一类错误。
通常的检验是「在

α

给定的前提下，尽量让

β

小」。

样本容量固定时，两者此消彼长：把拒绝域放宽（

α

变大），
更容易拒绝，

β

就小；收紧拒绝域则反过来。

要同时减小两者，只能加大 $n$ 。

4. 五步法与「不拒绝 $\neq =$ 接受」

做一道检验题，固定五步：

① 提出 $H_{0}$ 与 $H_{1}$ （等号在

H_{0}

，怀疑的结论在

H_{1}

）；

② 选统计量并写出它在

H_{0}

下的分布；

③ 由 $α$ 定拒绝域（双侧用

\frac{α}{2}

，单侧用

α

）；

④ 代入数据算出统计量的值；

⑤ 落在拒绝域内就拒绝 $H_{0}$ ，否则不拒绝。

第⑤步的措辞很要紧：没落进拒绝域，只能说「没有充分证据拒绝
$H_{0}$ 」，不能说「

H_{0}

成立」或「接受

H_{0}

为真」。

理由：证据不足只说明没抓到反例，不等于证明了原假设。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

摆假设

第一步：找出题目里「谁在怀疑、想证明什么」。

第二步：把想证明的结论写进

H_{1}

。

第三步：等号写进

H_{0}

（

=

、

\leq

、

\geq

）。

第四步：由

H_{1}

的方向定是双侧、左侧还是右侧。

例例. 某厂声称产品平均寿命不低于

1000

小时，质检员怀疑达不到。怎么摆假设？

第一步，找出「谁在怀疑、想证明什么」——质检员想证明达不到。

第二步，想证明的写进

H_{1}

：

H_{1} : μ < 1000

。

第三步，等号写进

H_{0}

：

H_{0} : μ \geq 1000

。

第四步，

H_{1}

指向左

\Rightarrow

左侧检验。

摆反了会怎样：若写成

H_{0} : μ < 1000

、

H_{1} : μ \geq 1000

，那么「证据不足」时反而会得出「达不到」的结论。假设检验的逻辑是「

H_{0}

受保护，只有证据充分才推翻它」——谁进 $H_{1}$ ，决定了举证责任在谁身上。

定拒绝域

第一步：写出统计量在

H_{0}

下的分布。

第二步：双侧把

α

对半分到两尾，单侧全放在

H_{1}

指的那一侧。

第三步：查分位点，写出拒绝域的不等式。

第四步：核对方向——

H_{1}

指右就只在右尾拒绝。

例例. 接上题，

σ = 100

已知、

n = 25

、

α = 0.05

。写出拒绝域。

第一步，

H_{0}

下

U = \frac{X ˉ - 1000}{100/ 25} = \frac{X ˉ - 1000}{20} \sim N (0, 1) .

第二步，单侧，

α

全放在

H_{1}

指的那一侧——

H_{1} : μ < 1000

指左，全放左尾。

第三步，查

u_{0.05} = 1.645

，临界值是

- 1.645

：

W = {U < - 1.645} .

第四步，核对方向：

H_{1}

指左就只在左尾拒绝 ✓

若是双侧（

H_{1} : μ \neq = 1000

），

α

要对半分到两尾，临界值变成

\pm u_{0.025} = \pm 1.96

。把

α

和

\frac{α}{2}

用混，是这一节最常见的错。

下结论

第一步：代数据算出统计量的值。

第二步：与分位点比较。

第三步：落入拒绝域写「在水平

α

下拒绝

H_{0}

」。

第四步：未落入写「没有充分证据拒绝

H_{0}

」，不要写「接受」。

例例. 接上题，测得

\overset{x}{ˉ} = 970

。下结论。

第一步，

u = \frac{970 - 1000}{20} = - 1.5

。

第二步，与临界值比：

- 1.5

对

- 1.645

。

第三步，

- 1.5 > - 1.645

，没有落入拒绝域。

第四步，结论写成：「在

α = 0.05

的水平下，没有充分证据拒绝

H_{0}

，即不能认为平均寿命低于

1000

小时。」

不要写「接受 $H_{0}$ 」——没拒绝只说明证据不够，不等于

H_{0}

为真。换成

α = 0.10

（临界值

- 1.282

），同一组数据就会落入拒绝域了：结论是跟着水平走的，这也说明「接受」这个词有多不妥。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把「不拒绝」写成「接受」

证据不足只说明没抓到反例，不等于证明了

H_{0}

。

正确措辞是「没有充分证据拒绝

H_{0}

」。

这是解答题的扣分点，一句话的事。

等号放到了 $H_{1}$ 一边

等号必须在

H_{0}

：算概率要有确定的参数值。

H_{1}

写成

μ \geq μ_{0}

是错的。

判据：

H_{0}

必须给得出一个

μ_{0}

来算分布。

单侧检验用了 $\frac{α}{2}$

双侧才把

α

对半分，单侧要把

α

全放在一侧。

用错下标，实际的显著性水平就不是题目要求的。

判据：

H_{1}

带

\neq =

是双侧，带

>

或

<

是单侧。

以为 $α$ 也控制了第二类错误

α

只管第一类（弃真），

β

另算。

n

固定时两者此消彼长，要同时减小只能加大

n

。

概念题常问「 $α$ 变小时 $β$ 怎么变」——变大。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认概念

练 1

第一类错误是「

H_{0}

为真却拒绝」，也叫 ________。

练 2

等号应当出现在（）。

A $H_{1}$
B $H_{0}$
C两者都要
D两者都不要

练 3

统计量未落入拒绝域时，正确的结论是（）。

A $H_{0}$ 一定成立
B接受 $H_{1}$
C没有充分证据拒绝 $H_{0}$
D检验失败

练 4

H_{1} : μ \neq = μ_{0}

对应的是 ________ 侧检验。

第二组 · 会做

练 5

σ = 100

、

n = 25

、

μ_{0} = 1000

、

\overset{x}{ˉ} = 950

，则

u =

________。

练 6

接上题，

α = 0.05

双侧（

u_{0.025} = 1.96

），结论是（）。

A拒绝 $H_{0}$
B不拒绝 $H_{0}$
C无法判断
D要改用 $t$ 检验

练 7

厂方称寿命不低于

1000

，消费者怀疑达不到，则

H_{1}

应写作

μ □ 1000

，

□ =

________。

练 8

右侧检验

H_{1} : μ > μ_{0}

的拒绝域形如（）。

A $∣ U ∣ \geq u_{α /2}$
B $U \leq - u_{α}$
C $U \geq u_{α /2}$
D $U \geq u_{α}$

第三组 · 想清楚

练 9

样本容量不变时，把

α

从

0.05

改成

0.01

，则

β

（）。

A不变
B变大
C变小
D也变成 $0.01$

练 10

「在水平

0.05

下差异显著」的含义是（）。

A差异很大
B $H_{0}$ 的概率小于 $0.05$
C若 $H_{0}$ 为真，出现如此极端数据的概率不超过 $0.05$
D下结论正确的概率是 $0.95$

练 11

单侧检验

H_{0} : μ \leq μ_{0}

中，第一类错误概率在（）处最大。

A $μ = μ_{0}$
B $μ \to - \infty$
C $μ = \overset{x}{ˉ}$
D各处相同

练 12

双侧检验的拒绝域

∣ U ∣ \geq u_{α /2}

在

H_{0}

下的概率为 ________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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