区间估计

概率论与数理统计 · 参数估计

这一条要先会：总体、样本与统计量、三大抽样分布（χ²、t、F）、正态总体样本均值与方差的分布

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 置信区间：随机的是区间，不是参数

点估计给一个数，区间估计给一个范围，并附上可信的程度。

设

\underline{θ}

与

\overline{θ}

是两个统计量，若

P {\underline{θ} < θ < \overline{θ}} = 1 - α,

就称

(\underline{θ}, \overline{θ})

是

θ

的置信水平为 $1 - α$
的置信区间，

1 - α

叫置信度，

α

叫显著性水平。

这句话的主语是区间：

θ

是个固定的未知常数，
两个端点才是随机变量。

1 - α

说的是这个随机区间盖住真值的概率。

所以不能说「

θ

落在区间里的概率是

0.95

」——

θ

不会乱跑。

2. 枢轴量法：三步做出区间

做置信区间只有一套办法，叫枢轴量法。

① 找枢轴量：构造一个含

θ

的随机变量

G

，
要求它的分布已知且不含任何未知参数。

② 用分位点把它夹住：由分布查出两个分位点，使

P {a < G < b} = 1 - α .

③ 把不等式解成关于 $θ$ 的，两端就是置信区间。

枢轴量不是统计量——它含着待估的

θ

。
两个概念的区别正在这里：统计量不许含未知参数，枢轴量必须含。

3. 正态总体的三个常用区间

① 估 $μ$ ， $σ$ 已知（枢轴量

U \sim N (0, 1)

）：

\overset{ˉ}{X} \pm u_{α /2} \frac{σ}{n} .

② 估 $μ$ ， $σ$ 未知（枢轴量

T \sim t (n - 1)

）：

\overset{ˉ}{X} \pm t_{α /2} (n - 1) \frac{S}{n} .

③ 估 $σ^{2}$ ， $μ$ 未知（枢轴量

χ^{2} \sim χ^{2} (n - 1)

）：

左端

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{χ _{α /2}^{2} ( n - 1 )}

，
右端

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{χ _{1 - α /2}^{2} ( n - 1 )}

。

第③个要特别小心：

χ^{2}

在分母上，所以
大的分位点配左端点，两个下标别写反。

4. 精度、置信度与样本量

区间的半长叫精度，以

μ

（

σ

已知）为例：

d = u_{α /2} \frac{σ}{n} .

三件事互相牵制：

① 置信度 $1 - α$ 越高，

u_{α /2}

越大，区间越宽；

② $n$ 越大，区间越窄；

③ 要同时提高置信度和精度，只能加大 $n$ 。

由精度定样本量：要求

d \leq d_{0}

，解出

n \geq (\frac{u _{α /2} σ}{d _{0}})^{2} .

注意是平方：精度提高一倍，样本量要变成四倍。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

估正态总体的均值

第一步：看

σ

是否已知。

第二步：已知用

u_{α /2}

配

\frac{σ}{n}

。

第三步：未知用

t_{α /2} (n - 1)

配

\frac{S}{n}

。

第四步：写成「

\overset{ˉ}{X} \pm

分位点

\times

标准误」。

例例.

X_{1}, \dots, X_{16}

来自

N (μ, σ^{2})

，

\overset{x}{ˉ} = 10

。求

μ

的

95%

置信区间。

第一步，看

σ

是否已知。

第二步，

σ = 2

已知：用

u_{0.025} = 1.96

配

\frac{σ}{n} = 0.5

，

10 \pm 1.96 \times 0.5 = (9.02, 10.98) .

第三步，

σ

未知、算得

s = 2

：改用

t_{0.025} (15) = 2.131

配

\frac{s}{n} = 0.5

，

10 \pm 2.131 \times 0.5 = (8.93, 11.07) .

第四步，结构一律是「

\overset{ˉ}{X} \pm

分位点

\times

标准误」。

两者对比：

σ

未知时区间更宽（

t

的分位点比

u

大）——少知道一件事，就要付出更宽的代价，这不是巧合。

估正态总体的方差

第一步：取枢轴量

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

。

第二步：查两个分位点

χ_{1 - α /2}^{2}

与

χ_{α /2}^{2}

。

第三步：解不等式时取倒数要翻号。

第四步：核对左端小于右端。

例例. 接上题（

n = 16

、

s^{2} = 4

），求

σ^{2}

的

95%

置信区间。已知

χ_{0.025}^{2} (15) = 27.49

、

χ_{0.975}^{2} (15) = 6.262

。

第一步，枢轴量

\frac{15 S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (15)

。

第二步，

χ^{2}

不对称，两侧分别查。

第三步，由

6.262 < \frac{15 S ^{2}}{σ ^{2}} < 27.49

解

σ^{2}

，取倒数要翻号：

\frac{15 s ^{2}}{27.49} < σ^{2} < \frac{15 s ^{2}}{6.262},

代入

s^{2} = 4

得

(2.18, 9.58)

。

第四步，核对左端小于右端 ✓ 大的分位点落在分母的左边（给出下限）——翻号翻错会得到一个左大右小的「区间」，一眼就能看出来。

由精度定样本量

第一步：写出半长

d = u_{α /2} \frac{σ}{n}

。

第二步：令

d \leq d_{0}

，解出

n

。

第三步：两边平方得到

n

的下界。

第四步：向上取整。

例例. 设

σ = 2

，要使

μ

的

95%

置信区间半长不超过

0.5

，

n

至少多大？

第一步，半长

d = u_{0.025} \frac{σ}{n} = 1.96 \times \frac{2}{n} .

第二步，令

d \leq 0.5

：

\frac{3.92}{n} \leq 0.5

，即

n \geq 7.84

。

第三步，两边平方：

n \geq 61.5

。

第四步，向上取整：

n = 62

。

和中心极限定理那条「定

n

」的题是同一个式子——置信区间的半长和那里的

ε

本来就是一回事，只是问法不同。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

说成「参数落在区间内的概率」

θ

是固定的未知常数，随机的是区间的两个端点。

正确的说法是「这个随机区间盖住

θ

的概率为

1 - α

」。

概念题最常考的一句，主语要摆对。

$σ$ 未知还用 $u$ 分位点

σ

未知时枢轴量是

t (n - 1)

，要查

t

表。

用

1.96

代替

t_{0.025} (15) = 2.131

会让区间偏窄，置信度达不到。

$n$ 很大时两者接近，小样本必须用

t

。

估方差时两个分位点写反

χ^{2}

在分母上，取倒数翻号，大分位点配左端点。

写反了会得到左端大于右端的「区间」。

算完看一眼左右大小，这是现成的自检。

单双侧的分位点下标混用

双侧两边各留

\frac{α}{2}

，单侧把

α

全留在一边。

下标写错，置信度就不是题目要求的那个。

判据：题目问「区间」用

\frac{α}{2}

，问「下限 / 上限」用

α

。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认概念

练 1

置信度为

1 - α

的区间，其中

α

称为 ________ 水平。

练 2

「

95%

置信区间」的正确含义是（）。

A参数有 $95%$ 的概率落在该区间内
B重复抽样做出的区间约 $95%$ 盖住真值
C样本有 $95%$ 落在区间内
D估计值有 $95%$ 的准确率

练 3

枢轴量与统计量的区别是（）。

A枢轴量含待估参数，统计量不含未知参数
B枢轴量不含参数
C两者完全相同
D统计量必须服从正态分布

练 4

σ

未知时估计

μ

，枢轴量服从 ________ 分布。

第二组 · 会做区间

练 5

σ

已知时

μ

的置信区间为

\overset{ˉ}{X} \pm u_{α /2} \cdot □

，其中

□ =

________。

练 6

n = 16

、

\overset{x}{ˉ} = 10

、

s = 2

，

t_{0.025} (15) = 2.131

，则

μ

的

95%

区间半长为 ________。

练 7

σ^{2}

的置信区间左端点是（）。

A $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{χ _{1 - α /2}^{2} ( n - 1 )}$
B $(n - 1) S^{2} χ_{α /2}^{2} (n - 1)$
C $\frac{S ^{2}}{n - 1}$
D $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{χ _{α /2}^{2} ( n - 1 )}$

练 8

σ = 2

，要使

μ

的

95%

区间半长不超过

0.5

（

u_{0.025} = 1.96

），

n

至少为 ________。

第三组 · 看关系

练 9

其他条件不变，把置信度从

95%

提高到

99%

，区间（）。

A变窄
B不变
C变宽
D无法判断

练 10

要把区间半长缩小一半，样本量约需变为原来的（）。

A $2$ 倍
B $4$ 倍
C不变
D $2$ 倍

练 11

求

μ

的单侧置信下限（置信度

1 - α

，

σ

未知），分位点应取（）。

A $t_{α /2} (n - 1)$
B $t_{α} (n)$
C $u_{α /2}$
D $t_{α} (n - 1)$

练 12

枢轴量的分布必须不含 ________ 参数，否则分位点查不出来。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解大学版 · 完整讲解