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正态总体样本均值与方差的分布

概率论与数理统计 · 数理统计的基本概念

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 样本均值：正态总体下仍是正态

设总体

X \sim N (μ, σ^{2})

，

X_{1}, \dots, X_{n}

是简单随机样本。则

\overset{ˉ}{X} \sim N (μ, \frac{σ ^{2}}{n}) .

标准化就得到第一个枢轴量：

\frac{X ˉ - μ}{σ / n} \sim N (0, 1) .

两处要分清：分母是

\frac{σ}{n}

（

\overset{ˉ}{X}

的标准差），
不是

σ

也不是

\frac{σ ^{2}}{n}

。

期望方差那两条上一节就有了，正态这个条件新添的是
「形状仍是正态」——这要靠正态分布的可加性。

2. 样本方差：卡方，而且与 $\overset{ˉ}{X}$ 独立

仍设总体

X \sim N (μ, σ^{2})

。则

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1),

并且

\overset{ˉ}{X}

与

S^{2}

相互独立。

自由度是 $n - 1$ 不是 $n$ ：

n

个偏差

X_{i} - \overset{ˉ}{X}

之间有一条
恒等关系

\sum (X_{i} - \overset{ˉ}{X}) = 0

，真正自由的只有

n - 1

个。

「独立」这一条是正态总体独有的，别的总体没有。
它是下一条能凑出

t

分布的关键——

t

的定义要求分子分母独立。

3. $σ$ 未知时换成 $t$

实际问题里

σ

几乎总是未知的。把前面那个枢轴量的

σ

换成

S

，分布就从正态变成

t

：

\frac{X ˉ - μ}{S / n} \sim t (n - 1) .

为什么能换：分子

\frac{X ˉ - μ}{σ / n} \sim N (0, 1)

，
分母

\frac{S}{σ} = \frac{( n - 1 ) S ^{2} / σ ^{2}}{n - 1}

正是「卡方除以自由度再开方」，两者独立——正好凑成

t

的定义。

这条是整章最常用的一条：区间估计与

t

检验都靠它。

自由度仍是 $n - 1$ ，跟着

S^{2}

走。

4. 两个正态总体：差与比

设

X

与

Y

两组样本相互独立，来自

N (μ_{1}, σ_{1}^{2})

与

N (μ_{2}, σ_{2}^{2})

。

① 均值之差仍是正态：

\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y} \sim N (μ_{1} - μ_{2}, τ^{2}),

其中

τ^{2} = \frac{σ _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{σ _{2}^{2}}{n _{2}}

。
方差是相加，哪怕原式是减法——独立时方差可加。

② 方差之比服从 $F$ ：

\frac{S _{1}^{2} / σ _{1}^{2}}{S _{2}^{2} / σ _{2}^{2}} \sim F (n_{1} - 1, n_{2} - 1) .

特别地，若

σ_{1} = σ_{2}

，则

\frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n_{1} - 1, n_{2} - 1)

。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

单总体：认枢轴量

第一步：看

σ

是否已知。

第二步：已知

\Rightarrow

用

\frac{X ˉ - μ}{σ / n} \sim N (0, 1)

。

第三步：未知

\Rightarrow

换成

S

，用

t (n - 1)

。

第四步：问的是方差

\Rightarrow

用

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

。

例例. 设

X_{1}, \dots, X_{16}

来自

N (μ, σ^{2})

，三种问法各用哪个枢轴量？

第一步，先看

σ

是否已知——这一句要在题面里找到明确依据。

第二步，

σ = 2

已知、问

μ

：

\frac{X ˉ - μ}{2/ 16} = \frac{X ˉ - μ}{0.5} \sim N (0, 1) .

第三步，

σ

未知、问

μ

：换成样本标准差

S

，

\frac{X ˉ - μ}{S / 16} \sim t (15),

自由度是

n - 1 = 15

，不是

16

。

第四步，问的是方差：

\frac{15 S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (15)

。

三个枢轴量分管三类题，选错一个，后面查的表就全错了。

算 $S^{2}$ 的数字特征

第一步：令

Y = \frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

。

第二步：写出

E (Y) = n - 1

、

D (Y) = 2 (n - 1)

。

第三步：把

S^{2}

表示成

\frac{σ ^{2}}{n - 1} Y

。

第四步：期望直接提常数，方差提常数要平方。

例例. 样本来自

N (μ, σ^{2})

，

n = 16

。求

E (S^{2})

与

D (S^{2})

。

第一步，令

Y = \frac{15 S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (15)

。

第二步，

χ^{2} (k)

的期望是

k

、方差是

2 k

：

E (Y) = 15

、

D (Y) = 30

。

第三步，反解：

S^{2} = \frac{σ ^{2}}{15} Y

。

第四步，期望直接提常数，方差提常数要平方：

E (S^{2}) = \frac{σ ^{2}}{15} \times 15 = σ^{2}, D (S^{2}) = \frac{σ ^{4}}{225} \times 30 = \frac{2 σ ^{4}}{15} .

E (S^{2}) = σ^{2}

正是「

S^{2}

是无偏估计」那句话——分母取

n - 1

而不是

n

，根子就在这里。

双总体

第一步：确认两组样本相互独立。

第二步：比较均值

\Rightarrow

看

\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y}

，方差相加。

第三步：比较方差

\Rightarrow

看

\frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}}

，服从

F

。

第四步：两个自由度各减一，次序跟着分子分母。

例例.

X_{1}, \dots, X_{10}

来自

N (μ_{1}, σ^{2})

，

Y_{1}, \dots, Y_{15}

来自

N (μ_{2}, σ^{2})

，两组独立。

\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y}

与

\frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}}

各服从什么？

第一步，两组相互独立 ✓

第二步，比较均值看

\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y}

，方差相加（差也是加）：

D (\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y}) = \frac{σ ^{2}}{10} + \frac{σ ^{2}}{15} = \frac{σ ^{2}}{6},

故

\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y} \sim N (μ_{1} - μ_{2}, \frac{σ ^{2}}{6})

。

第三步，比较方差看比值：

\frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (9, 14)

。

第四步，两个自由度各减一，次序跟着分子分母——分子是

S_{1}^{2}

，所以

9

写在前面。倒过来写就是另一个分布了。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

标准化时分母用 $σ$ 而不是 $\frac{σ}{n}$

\overset{ˉ}{X}

的标准差是

\frac{σ}{n}

，不是

σ

。

少了

n

，分位点就小了

n

倍，答案全错。

自检：

n

越大，

\overset{ˉ}{X}

应当越集中，分母应当越小。

卡方的自由度写成 $n$

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

，自由度少一个。

只有把中心换成已知的

μ

时，

\frac{1}{σ ^{2}} \sum (X_{i} - μ)^{2}

才是

χ^{2} (n)

。

判据：中心是估出来的就减一。

$σ$ 未知还用正态分位点

σ

未知时分母换成

S

，分布变成

t (n - 1)

，要查

t

表。

用

u_{0.025} = 1.96

代替

t_{0.025} (15) = 2.131

，区间会偏窄。

$n$ 很大时两者接近，但小样本必须用

t

。

把 $\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y}$ 的方差写成相减

独立时

D (\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y}) = D (\overset{ˉ}{X}) + D (\overset{ˉ}{Y})

——负号被平方吃掉了。

两组误差只会叠加，不会抵消。

写出来若出现负方差，一定是这里错了。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认结论

练 1

总体

X \sim N (μ, σ^{2})

时，

\overset{ˉ}{X}

服从

N (μ, □)

，其中

□ =

________。

练 2

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}}

服从 ________ 分布。

练 3

σ

未知时，

\frac{X ˉ - μ}{S / n}

服从（）。

A $N (0, 1)$
B $t (n - 1)$
C $t (n)$
D $χ^{2} (n - 1)$

练 4

正态总体下，

\overset{ˉ}{X}

与

S^{2}

（）。

A相关
B一定相等
C相互独立
D服从同一分布

第二组 · 会算

练 5

总体

X \sim N (10, 4)

、

n = 16

，则

\overset{ˉ}{X}

的标准差为 ________。

练 6

总体

X \sim N (μ, 4)

、

n = 10

，则

D (S^{2}) =

________。

练 7

两组独立样本来自同方差正态总体，

n_{1} = 10

、

n_{2} = 16

，则

\frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim

（）。

A $F (10, 16)$
B $F (15, 9)$
C $F (9, 15)$
D $χ^{2} (24)$

练 8

已知

σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2} = 4

、

n_{1} = n_{2} = 8

，则

D (\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y}) =

________。

第三组 · 想清楚

练 9

\frac{1}{σ ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ)^{2}

（

μ

已知）服从（）。

A $χ^{2} (n - 1)$
B $t (n)$
C $F (n, 1)$
D $χ^{2} (n)$

练 10

总体服从均匀分布时，下列哪一条仍然成立（）。

A $\overset{ˉ}{X} \sim N (μ, \frac{σ ^{2}}{n})$
B $E (\overset{ˉ}{X}) = μ$ 且 $D (\overset{ˉ}{X}) = \frac{σ ^{2}}{n}$
C $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)$
D $\overset{ˉ}{X}$ 与 $S^{2}$ 独立

练 11

n = 16

、

σ

未知，求

μ

的双侧

95%

区间时分位点应取（）。

A $t_{0.025} (15)$
B $u_{0.025} = 1.96$
C $t_{0.05} (16)$
D $χ_{0.025}^{2} (15)$

练 12

\frac{X ˉ - μ}{S / n}

的分子除以

σ / n

后服从

N (0, 1)

，分母

\frac{S}{σ}

可写成

Y / (n - 1)

，其中

Y =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

正态总体样本均值与方差的分布

先打基础

1. 样本均值：正态总体下仍是正态

2. 样本方差：卡方，而且与 Xˉ 独立

3. σ 未知时换成 t

4. 两个正态总体：差与比

常用结构

单总体：认枢轴量

算 S2 的数字特征

双总体

基础易错

标准化时分母用 σ 而不是 n​σ​

卡方的自由度写成 n

σ 未知还用正态分位点

把 Xˉ−Yˉ 的方差写成相减

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 样本方差：卡方，而且与 $\overset{ˉ}{X}$ 独立

3. $σ$ 未知时换成 $t$

算 $S^{2}$ 的数字特征

标准化时分母用 $σ$ 而不是 $\frac{σ}{n}$

卡方的自由度写成 $n$

$σ$ 未知还用正态分位点

把 $\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y}$ 的方差写成相减