正态总体样本均值与方差的分布

§20.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.24 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

1.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）三大抽样分布（χ²、t、F）总体、样本与统计量常见连续分布（均匀、指数、正态）③ 掌握后可解锁区间估计假设检验的基本思想正态总体参数的假设检验

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 正态总体的四条抽样定理： $\overset{ˉ}{X} \sim N (μ, σ^{2} / n)$ 、 $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)$ 、 $\overset{ˉ}{X}$ 与 $S^{2}$ 独立、 $\frac{X ˉ - μ}{S / n} \sim t (n - 1)$ ★★ 必会

设

X_{1}, \dots, X_{n}

是来自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，

\overset{ˉ}{X}

、

S^{2}

为样本均值与样本方差。下面四条是区间估计与假设检验的基本依据，必须成套地掌握：

① $\overset{ˉ}{X}$ 的分布：

\overset{ˉ}{X} \sim N (μ, \frac{σ ^{2}}{n})

，即

\frac{X ˉ - μ}{σ / n} \sim N (0, 1)

。这是精确分布，因为相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布；它对任意

n

都成立，不需要中心极限定理。

② $S^{2}$ 的分布：

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

。自由度是

n - 1

，这是因为中心用

\overset{ˉ}{X}

代替了

μ

，损失了一个自由度（用分解法所作的证明见下一条）。作为对照，当

μ

已知时

\frac{1}{σ ^{2}} i = 1 \sum n (X_{i} - μ)^{2} \sim χ^{2} (n)

。

③ 独立性：

\overset{ˉ}{X}

与

S^{2}

相互独立。这是正态总体所特有的性质，也是把二者合成

t

、

F

统计量的前提。

④ $t$ 统计量：

\frac{X ˉ - μ}{S / n} \sim t (n - 1)

。把 ① 中未知的

σ

换成

S

，代价是

N (0, 1)

变为尾部更厚的

t (n - 1)

。它是

σ

未知时对

μ

作推断的主要工具。

如何选用：对

μ

作推断时，

σ

已知用 ①（

Z

型），

σ

未知用 ④（

t

型）；对

σ^{2}

作推断时，用 ②（

χ^{2}

型）。

证明 / 推导

证 由 ①②③ 合成 ④（ $t$ 统计量的由来）。 记

U W = \frac{X ˉ - μ}{σ / n} \sim N (0, 1) (由 ①) = \frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1) (由 ②) .

因

U

是

\overset{ˉ}{X}

的函数，

W

是

S^{2}

的函数，由 ③ 知

U

与

W

相互独立。按

t

分布的构造定义（§20.2），

\frac{U}{W / ( n - 1 )} = \frac{\frac{X ˉ - μ}{σ / n}}{\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \cdot \frac{1}{n - 1}} = \frac{X ˉ - μ}{σ / n} \cdot \frac{σ}{S} = \frac{X ˉ - μ}{S / n} \sim t (n - 1) .

可见未知的

σ

在比值中自动约去。这就是 ④ 能在

σ

未知时使用的原因；它的自由度

n - 1

完全来自 ②。

■

举例说明

真题（1998·数一）. 从

N (3.4, 6^{2})

中抽取容量为

n

的样本，要使样本均值落在

(1.4, 5.4)

内的概率不小于

0.95

，问

n

至少应取多大？（

Φ (1.96) = 0.975

）

解. 由定理 ①，

\overset{ˉ}{X} \sim N (3.4, \frac{36}{n})

，即

\frac{X ˉ - 3.4}{6/ n} \sim N (0, 1)

。区间

(1.4, 5.4)

关于

3.4

对称，半宽为

2

，故

P {1.4 < \overset{ˉ}{X} < 5.4} = P {\frac{X ˉ - 3.4}{6/ n} < \frac{2}{6/ n}} = 2Φ (\frac{n}{3}) - 1 \geq 0.95,

即

Φ (\frac{n}{3}) \geq 0.975 = Φ (1.96)

。由

Φ

单调增加得

\frac{n}{3} \geq 1.96

，

n \geq (3 \times 1.96)^{2} = 34.57

，故至少应取

n = 35

。必须注意：

\overset{ˉ}{X}

的标准差是

σ / n = 6/ n

；如果误用

σ = 6

，或者写成

σ^{2} / n

而忘了开方，都是这类题目中最常见的错误。

■

2. μ 已知时是 χ²(n)，μ 未知时是 χ²(n−1)：用分解法说明自由度★ 要懂

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

的自由度是

n - 1

而不是

n

，这是本章中最常被追问的地方。用分解法可以说明清楚：把以

μ

为中心的平方和拆成以

\overset{ˉ}{X}

为中心的平方和，再加上

\overset{ˉ}{X}

偏离

μ

的一项。前者服从

χ^{2} (n - 1)

，后者服从

χ^{2} (1)

，二者相互独立，合起来恰好是

χ^{2} (n)

。

由此也就澄清了一个常见的疑问：当 $μ$ 已知时

\frac{1}{σ ^{2}} \sum (X_{i} - μ)^{2} \sim χ^{2} (n)

，自由度为

n

，因为它是

n

个相互独立的标准正态随机变量的平方和；一旦

μ

未知而用

\overset{ˉ}{X}

代替，就用掉一个自由度，降为

χ^{2} (n - 1)

。同一个平方和，中心取

μ

还是取

\overset{ˉ}{X}

，自由度相差

1

。

证明 / 推导

证 用分解法证明 $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)$ ，其中要用到 $\overset{ˉ}{X}$ 与 $S^{2}$ 相互独立。 用恒等式

i = 1 \sum n (X_{i} - μ)^{2} = i = 1 \sum n (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2} + n (\overset{ˉ}{X} - μ)^{2} .

两边除以

σ^{2}

：

= W \frac{1}{σ ^{2}} i = 1 \sum n (X_{i} - μ)^{2} = = W_{1} \frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} + = W_{2} (\frac{X ˉ - μ}{σ / n})^{2} .

其中

W = \sum (\frac{X _{i} - μ}{σ})^{2}

是

n

个相互独立的

N (0, 1)

的平方和，故

W \sim χ^{2} (n)

；

W_{2}

是一个

N (0, 1)

的平方，故

W_{2} \sim χ^{2} (1)

。又在正态总体下

\overset{ˉ}{X}

与

S^{2}

相互独立，故

W_{1} ⊥ W_{2}

。用矩母函数作比较（相互独立时矩母函数相乘），得

(1 - 2 t)^{- n /2} = M_{W_{1}} (t) \cdot (1 - 2 t)^{- 1/2} \Rightarrow M_{W_{1}} (t) = (1 - 2 t)^{- (n - 1) /2},

而这恰是

χ^{2} (n - 1)

的矩母函数，因此

W_{1} = \frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

。

■

3. 两个正态总体、方差相等：均值差的 t 统计量与合并方差 $S_{w}^{2}$ ★ 要懂

上一节给出了两个正态总体的方差之比

\sim F

，但考研中更常用的是两个总体均值之差 $μ_{1} - μ_{2}$ 的推断，所用的是双样本 $t$ 统计量。教材对它往往只是略提，因此需要单独说明。它的前提是两个总体的方差相等而且未知（

σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2} = σ^{2}

）。此时把两个样本方差合并成一个更可靠的方差估计

S_{w}^{2} = \frac{( n _{1} - 1 ) S _{1}^{2} + ( n _{2} - 1 ) S _{2}^{2}}{n _{1} + n _{2} - 2} (合并 / 加权方差),

则

\frac{( X ˉ - Y ˉ ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{S _{w} \frac{1}{n _{1}} + \frac{1}{n _{2}}} \sim t (n_{1} + n_{2} - 2) .

其自由度是两个样本各自自由度之和

(n_{1} - 1) + (n_{2} - 1) = n_{1} + n_{2} - 2

。它是第

22

章中比较两个总体均值的假设检验的主要工具。

证明 / 推导

证 推导双样本 $t$ 统计量。 设

X \sim N (μ_{1}, σ^{2})

、

Y \sim N (μ_{2}, σ^{2})

两独立正态总体（方差同为

σ^{2}

），容量

n_{1}, n_{2}

。

（i）分子为标准正态。

\overset{ˉ}{X} \sim N (μ_{1}, \frac{σ ^{2}}{n _{1}})

，

\overset{ˉ}{Y} \sim N (μ_{2}, \frac{σ ^{2}}{n _{2}})

，两者相互独立，相减得

\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y} \sim N (μ_{1} - μ_{2}, σ^{2} (\frac{1}{n _{1}} + \frac{1}{n _{2}})) \Rightarrow U = \frac{( X ˉ - Y ˉ ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{σ \frac{1}{n _{1}} + \frac{1}{n _{2}}} \sim N (0, 1) .

（ii）分母为卡方变量。

\frac{( n _{1} - 1 ) S _{1}^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n_{1} - 1)

与

\frac{( n _{2} - 1 ) S _{2}^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n_{2} - 1)

相互独立，由可加性得

V = \frac{( n _{1} - 1 ) S _{1}^{2} + ( n _{2} - 1 ) S _{2}^{2}}{σ ^{2}} = \frac{( n _{1} + n _{2} - 2 ) S _{w}^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n_{1} + n_{2} - 2) .

（iii）独立性与合成。

U

只依赖两组的样本均值，

V

只依赖两组的样本方差，故

U ⊥ V

。按

t

分布的定义，

\frac{U}{V / ( n _{1} + n _{2} - 2 )} = \frac{( X ˉ - Y ˉ ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{σ \frac{1}{n _{1}} + \frac{1}{n _{2}}} \cdot \frac{σ}{S _{w}} = \frac{( X ˉ - Y ˉ ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{S _{w} \frac{1}{n _{1}} + \frac{1}{n _{2}}} \sim t (n_{1} + n_{2} - 2) .

可见

σ

再次约去。由此可见方差相等这一假设的作用：只有两个总体共用一个

σ

，才能把两个卡方变量合成一个，并使

σ

消去。

■

4. 独立性是构造 t、F 统计量的前提： $\frac{n ( X ˉ - μ ) ^{2}}{S ^{2}} \sim F (1, n - 1)$

为什么

\overset{ˉ}{X}

与

S^{2}

相互独立这条性质如此重要？因为它是把 $\overset{ˉ}{X}$ 、 $S^{2}$ 合成 $t$ 或 $F$ 统计量的前提：

t

、

F

的定义都要求分子与分母相互独立；没有这一条，所写出的比值既不是

t

，也不是

F

，分布也就无从谈起。反之，在正态总体下有了独立性，这种构造就可以顺利进行。下面

F (1, n - 1)

的构造，同时用到了独立性与

t^{2} = F (1, \cdot)

。

还应知道它的适用范围：一旦总体不是正态的，

\overset{ˉ}{X}

与

S^{2}

一般不独立，

\frac{X ˉ - μ}{S / n}

就不再精确服从 $t (n - 1)$ ；它只在

n

较大时依分布趋于

N (0, 1)

，所依据的是中心极限定理与

S P σ

。不能把正态总体下才成立的精确结论用到一般总体上。

证明 / 推导

证 非正态总体下 $\overset{ˉ}{X}$ 与 $S^{2}$ 一般不独立，以及大样本时的正态近似。 上面的两条断言都可以直接算出来。
（一）协方差公式 $Cov (\overset{ˉ}{X}, S^{2}) = \frac{μ _{3}}{n}$ ，其中

μ_{3} = E (X - μ)^{3}

是总体的三阶中心矩。
把每个

X_{i}

减去同一个常数

μ

时，

\overset{ˉ}{X}

相应地减去

μ

，而

S^{2}

不变。故协方差也不变，不妨设

μ = 0

。这时

E \overset{ˉ}{X} = 0

，且

(n - 1) S^{2} = i = 1 \sum n X_{i}^{2} - n \overset{ˉ}{X}^{2},

于是

(n - 1) Cov (\overset{ˉ}{X}, S^{2}) = E [\overset{ˉ}{X} i = 1 \sum n X_{i}^{2}] - n E [\overset{ˉ}{X}^{3}] .

先算第一个期望。由独立性与

E X_{j} = 0

，凡

j \neq = i

的项都有

E [X_{j} X_{i}^{2}] = E X_{j} \cdot E X_{i}^{2} = 0

，故

E [\overset{ˉ}{X} i \sum X_{i}^{2}] = \frac{1}{n} j \sum i \sum E [X_{j} X_{i}^{2}] = \frac{1}{n} i \sum E X_{i}^{3} = \frac{1}{n} \cdot n μ_{3} = μ_{3} .

再算第二个期望。把

(\sum_{i} X_{i})^{3}

展开。凡含有单独一个

X_{j}

作因子的项，其期望都因

E X_{j} = 0

而为零。于是只剩

n

个

E X_{i}^{3}

，故

E [\overset{ˉ}{X}^{3}] = \frac{1}{n ^{3}} E [(i \sum X_{i})^{3}] = \frac{n μ _{3}}{n ^{3}} = \frac{μ _{3}}{n ^{2}} .

代回上式，得

(n - 1) Cov (\overset{ˉ}{X}, S^{2}) = μ_{3} - n \cdot \frac{μ _{3}}{n ^{2}} = \frac{n - 1}{n} μ_{3},

故

Cov (\overset{ˉ}{X}, S^{2}) = \frac{μ _{3}}{n}

。
由此得结论：如果

\overset{ˉ}{X}

与

S^{2}

相互独立，那么二者的协方差为零，从而

μ_{3} = 0

。所以只要总体的三阶中心矩不为零，

\overset{ˉ}{X}

与

S^{2}

就一定不独立。例如总体服从参数为

λ

的指数分布时

μ_{3} = \frac{2}{λ ^{3}} \neq = 0

，二者不独立，

\frac{X ˉ - μ}{S / n}

也就不服从

t (n - 1)

。正态总体的

μ_{3} = 0

，协方差为零，这与独立性并不矛盾。但不相关推不出独立。正态总体下的独立性要另用正交变换去证明。
（二）大样本时的正态近似. 把统计量分解为

\frac{X ˉ - μ}{S / n} = \frac{X ˉ - μ}{σ / n} \cdot \frac{σ}{S} .

第一个因子由中心极限定理，当

n \to \infty

时依分布收敛于

N (0, 1)

。第二个因子由辛钦大数定律，有

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}^{2} P E X^{2}

与

\overset{ˉ}{X} P μ

，而

S^{2} = \frac{n}{n - 1} (\frac{1}{n} i \sum X_{i}^{2} - \overset{ˉ}{X}^{2}) P E X^{2} - μ^{2} = σ^{2},

再由根号函数的连续性得

S P σ

，故

\frac{σ}{S} P 1

。依分布收敛的因子与依概率收敛于常数的因子相乘，极限分布不变，这就是斯卢茨基定理。于是

\frac{X ˉ - μ}{S / n} d N (0, 1) .

这就证明了：一般总体下只有这个大样本的近似结论，而没有精确的

t (n - 1)

。

■

举例说明

例。设

X_{1}, \dots, X_{n}

取自正态总体

N (μ, σ^{2})

，

\overset{ˉ}{X}

、

S^{2}

为样本均值与方差。证明

\frac{n ( X ˉ - μ ) ^{2}}{S ^{2}} \sim F (1, n - 1) .

解. 把它化成两个卡方变量之比：

\frac{n ( X ˉ - μ ) ^{2}}{S ^{2}} = \frac{( \frac{X ˉ - μ}{σ / n} ) ^{2}}{\frac{S ^{2}}{σ ^{2}}} = \frac{( \frac{X ˉ - μ}{σ / n} ) ^{2} / 1}{\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} / ( n - 1 )} .

分子：

\frac{X ˉ - μ}{σ / n} \sim N (0, 1)

，其平方

\sim χ^{2} (1)

。分母：

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

，再除以自由度

n - 1

。独立性：在正态总体下

\overset{ˉ}{X}

与

S^{2}

相互独立，故分子与分母相互独立。三个条件齐备，这就是

F (1, n - 1)

的定义结构，故结论成立。（它其实就是

t (n - 1)

的平方，因为

此式 = \frac{∣ X ˉ - μ ∣}{S / n}

对应

∣ t (n - 1) ∣

，与

t^{2} (n - 1) = F (1, n - 1)

相呼应。）

■

5. 由 χ² 分布反求 $S^{2}$ 的数字特征： $E (S^{2}) = σ^{2}$ 、 $D (S^{2}) = \frac{2 σ ^{4}}{n - 1}$ ★★ 必会

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

这条定理不仅可以用来作区间估计，还能反过来求出 $S^{2}$ 的期望与方差。常见的情形是只记得

E (S^{2}) = σ^{2}

，而不知道

S^{2}

本身的波动有多大，即不知道

D (S^{2})

。做法是：令

W = \frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

，直接用

χ^{2}

分布的

E = n - 1

、

D = 2 (n - 1)

，再解出

S^{2}

的数字特征。

结论是（在正态总体下）

E (S^{2}) D (S^{2}) = σ^{2} = \frac{2 σ ^{4}}{n - 1} .

必须注意，

D (S^{2}) = \frac{2 σ ^{4}}{n - 1}

依赖于正态这一条件；对一般总体，

D (S^{2})

还要涉及四阶矩，不是这样简洁的形式。而

E (S^{2}) = σ^{2}

则对任意总体都成立。样本容量

n

越大，

D (S^{2}) \to 0

，

S^{2}

就越稳定地接近

σ^{2}

。

证明 / 推导

证 由 $χ^{2}$ 的矩反推 $S^{2}$ 的 $E$ 、 $D$ 。 令

W = \frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

，则

S^{2} = \frac{σ ^{2}}{n - 1} W

。已知

χ^{2} (n - 1)

的数字特征为

E (W) D (W) = n - 1 = 2 (n - 1) .

于是

E (S^{2}) = \frac{σ ^{2}}{n - 1} E (W) = \frac{σ ^{2}}{n - 1} (n - 1) = σ^{2},

D (S^{2}) = (\frac{σ ^{2}}{n - 1})^{2} D (W) = \frac{σ ^{4}}{( n - 1 ) ^{2}} \cdot 2 (n - 1) = \frac{2 σ ^{4}}{n - 1} . ■

💡 小知识

样本均值

\overset{ˉ}{X}

与样本方差

S^{2}

相互独立，这条性质是正态分布的专属身份证。可以证明，在方差有限的总体中，

\overset{ˉ}{X}

与

S^{2}

相互独立，当且仅当总体服从正态分布。正因如此，正态总体在统计推断里享有最干净利落的一套理论。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{25}

是取自正态总体

N (10, 4)

（即

μ = 10

，

σ^{2} = 4

）的简单随机样本，

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{25} \sum_{i = 1}^{25} X_{i}

。写出

\overset{ˉ}{X}

服从的分布，以及标准化变量

\frac{X ˉ - 10}{σ / n}

服从的分布。难度 1

由抽样分布定理 1：正态总体下

\overset{ˉ}{X} \sim N (μ, \frac{σ ^{2}}{n})

（精确成立，无需大

n

）。

这里

μ = 10

，

σ^{2} = 4

（

σ = 2

），

n = 25

，故

\overset{ˉ}{X} \sim N (10, \frac{4}{25}) = N (10, 0.16) .

又

\frac{σ}{n} = \frac{2}{5} = 0.4

，标准化后

\frac{X ˉ - 10}{σ / n} = \frac{X ˉ - 10}{0.4} \sim N (0, 1) .

例 2 设

X_{1}, \dots, X_{16}

是取自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，已知

σ^{2} = 5

，

S^{2}

为样本方差。指出统计量

\frac{15 S ^{2}}{5}

服从什么分布。难度 1

由抽样分布定理 2：正态总体下

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

。

这里

n = 16

，

σ^{2} = 5

，故

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} = \frac{( 16 - 1 ) S ^{2}}{5} = \frac{15 S ^{2}}{5} = 3 S^{2} \sim χ^{2} (15) .

注意自由度是

n - 1 = 15

（不是

n = 16

）。

例 3 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{9}

是取自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，

σ^{2}

未知，

\overset{ˉ}{X}

与

S

分别为样本均值与样本标准差。指出统计量

\frac{X ˉ - μ}{S /3}

服从什么分布。难度 2

σ

未知时对

μ

作推断，用抽样分布定理 4：正态总体下

\frac{X ˉ - μ}{S / n} \sim t (n - 1) .

这里

n = 9

，

n = 3

，故

\frac{X ˉ - μ}{S / n} = \frac{X ˉ - μ}{S /3} \sim t (n - 1) = t (8) .

关键区别：分母用的是样本标准差

S

（不是已知的

σ

），所以走

t

分布、自由度

n - 1 = 8

。

■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数一 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

N (μ_{1}, σ^{2})

的简单随机样本，

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{m}

为来自总体

N (μ_{2}, 2 σ^{2})

的简单随机样本，且两样本相互独立。记

\overline{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}, \overline{Y} = \frac{1}{m} i = 1 \sum m Y_{i}, S_{1}^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}, S_{2}^{2} = \frac{1}{m - 1} i = 1 \sum m (Y_{i} - \overline{Y})^{2}

，则（　　）

A $\frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n, m)$ .
B $\frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n - 1, m - 1)$ .
C $\frac{2 S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n, m)$ .
D $\frac{2 S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n - 1, m - 1)$ .

2017 年 · 数一 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n \geq 2)

为来自总体

N (μ, 1)

的简单随机样本，记

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

，则下列结论中不正确的是（　　）

A $i = 1 \sum n (X_{i} - μ)^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布.
B $2 (X_{n} - X_{1})^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布.
C $i = 1 \sum n (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布.
D $n (\overset{ˉ}{X} - μ)^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布.

2008 年 · 数一 · 第 23 题 · 解答题 · 11 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，记

\overline{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}, S^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}, T = \overline{X}^{2} - \frac{1}{n} S^{2} .

（Ⅰ）证明

T

是

μ^{2}

的无偏估计量；（Ⅱ）当

μ = 0, σ = 1

时，求

D (T)

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X_{1}, \dots, X_{n}

是取自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，

\overset{ˉ}{X}

为样本均值，则

\overset{ˉ}{X}

服从（　）。

A $N (μ, σ^{2})$
B $N (μ, \frac{σ ^{2}}{n})$
C $N (μ, n σ^{2})$
D $N (0, 1)$

练习 2 · 填空题

设

X_{1}, \dots, X_{20}

是取自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，

S^{2}

为样本方差，则

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}}

服从的分布是

χ^{2} (

____

)

。

练习 3 · 选择题

设

X_{1}, \dots, X_{n}

是取自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，

σ^{2}

未知，

\overset{ˉ}{X}, S

为样本均值与样本标准差。下列服从

t (n - 1)

的是（　）。

A $\frac{X ˉ - μ}{σ / n}$
B $\frac{X ˉ - μ}{S / n}$
C $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}}$
D $\frac{n ( X ˉ - μ )}{σ}$

练习 4 · 填空题

设

X_{1}, \dots, X_{16}

是取自正态总体

N (5, 4)

（即

σ^{2} = 4

）的简单随机样本，

\overset{ˉ}{X}

为样本均值，则

\overset{ˉ}{X}

的标准差

D (\overset{ˉ}{X}) =

____。

练习 5 · 选择题

设

X_{1}, \dots, X_{n}

是取自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，

\overset{ˉ}{X}, S^{2}

为样本均值与样本方差。下列说法错误的是（　）。

A $\overset{ˉ}{X}$ 与 $S^{2}$ 相互独立
B $\overset{ˉ}{X} \sim N (μ, \frac{σ ^{2}}{n})$ 精确成立
C $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)$
D对任意总体， $\overset{ˉ}{X}$ 与 $S^{2}$ 都相互独立

练习 6 · 选择题

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{6}

相互独立且都服从

N (0, 1)

。若统计量

T = c \cdot \frac{X _{1} + X _{2}}{X _{3}^{2} + X _{4}^{2} + X _{5}^{2} + X _{6}^{2}} \sim t (4),

则常数

c =

（　）。

A $2$
B $1$
C $2$
D $\frac{1}{2}$

练习 7 · 填空题

设

X_{1}, \dots, X_{9}

是取自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本，

S^{2}

为样本方差，则

D (S^{2}) =

____（用

σ

表示）。

练习 8 · 解答题

设

X_{1}, \dots, X_{n}, X_{n + 1}

是取自正态总体

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本（

n \geq 2

），记

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}, S^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}

（注意

\overset{ˉ}{X}

与

S^{2}

都只用前 $n$ 个样本）。

(1)

求

X_{n + 1} - \overset{ˉ}{X}

服从的分布；

(2)

求常数

c

，使

T = c \cdot \frac{X _{n + 1} - X ˉ}{S} \sim t (n - 1)

；

(3)

当

n = 8

时写出

c

的具体值。

2005 年 · 数一 · 第 14 题 · 选择题 · 4 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n \geq 2)

为来自总体

N (0, 1)

的简单随机样本，

\overset{ˉ}{X}

为样本均值，

S^{2}

为样本方差，则（　　）

A $n \overset{ˉ}{X} \sim N (0, 1)$ .
B $n S^{2} \sim χ^{2} (n)$ .
C $\frac{( n - 1 ) X ˉ}{S} \sim t (n - 1)$ .
D $\frac{( n - 1 ) X _{1}^{2}}{i = 2 \sum n X _{i}^{2}} \sim F (1, n - 1)$ .

2001 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 7 分

设总体

X

服从正态分布

N (μ, σ^{2}) (σ > 0)

，从该总体中抽取简单随机样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{2 n} (n \geq 2)

，其样本均值为

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{2 n} i = 1 \sum 2 n X_{i}

，求统计量

Y = i = 1 \sum n (X_{i} + X_{n + i} - 2 \overset{ˉ}{X})^{2}

的数学期望

E (Y)

1998 年 · 数一 · 第 22 题 · 解答题 · 4 分

从正态总体

N (3.4, 6^{2})

中抽取容量为

n

的样本，如果要求其样本均值位于区间

(1.4, 5.4)

内的概率不小于

0.95

，问样本容量

n

至少应取多大？（参考数据：

Φ (1.28) = 0.900

，

Φ (1.645) = 0.950

，

Φ (1.96) = 0.975

，

Φ (2.33) = 0.990

。）

正态总体样本均值与方差的分布

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 正态总体的四条抽样定理：Xˉ∼N(μ,σ2/n)、σ2(n−1)S2​∼χ2(n−1)、Xˉ 与 S2 独立、S/n​Xˉ−μ​∼t(n−1)★★ 必会

2. μ 已知时是 χ²(n)，μ 未知时是 χ²(n−1)：用分解法说明自由度★ 要懂

3. 两个正态总体、方差相等：均值差的 t 统计量与合并方差 Sw2​★ 要懂

4. 独立性是构造 t、F 统计量的前提：S2n(Xˉ−μ)2​∼F(1,n−1)

5. 由 χ² 分布反求 S2 的数字特征：E(S2)=σ2、D(S2)=n−12σ4​★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 正态总体的四条抽样定理： $\overset{ˉ}{X} \sim N (μ, σ^{2} / n)$ 、 $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)$ 、 $\overset{ˉ}{X}$ 与 $S^{2}$ 独立、 $\frac{X ˉ - μ}{S / n} \sim t (n - 1)$ ★★ 必会

3. 两个正态总体、方差相等：均值差的 t 统计量与合并方差 $S_{w}^{2}$ ★ 要懂

4. 独立性是构造 t、F 统计量的前提： $\frac{n ( X ˉ - μ ) ^{2}}{S ^{2}} \sim F (1, n - 1)$

5. 由 χ² 分布反求 $S^{2}$ 的数字特征： $E (S^{2}) = σ^{2}$ 、 $D (S^{2}) = \frac{2 σ ^{4}}{n - 1}$ ★★ 必会