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正态总体参数的假设检验

概率论与数理统计 · 假设检验

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. $σ$ 已知检验 $μ$ ： $u$ 检验

设总体

N (μ, σ^{2})

，

σ

已知，检验

H_{0} : μ = μ_{0}

。取统计量

U = \frac{X ˉ - μ _{0}}{σ / n} .

在

H_{0}

成立时

U \sim N (0, 1)

，于是拒绝域按

H_{1}

的方向取：

双侧（

H_{1} : μ \neq = μ_{0}

）：

∣ U ∣ \geq u_{α /2}

；

右侧（

H_{1} : μ > μ_{0}

）：

U \geq u_{α}

；

左侧（

H_{1} : μ < μ_{0}

）：

U \leq - u_{α}

。

三件事决定一个检验：统计量、它在

H_{0}

下的分布、拒绝域的方向。
后面两个检验换的只是前两样。

2. $σ$ 未知检验 $μ$ ： $t$ 检验

σ

未知时把它换成样本标准差

S

：

T = \frac{X ˉ - μ _{0}}{S / n} .

在

H_{0}

下

T \sim t (n - 1)

，拒绝域把上面三条里的

u

换成

t (n - 1)

的分位点即可：

双侧：

∣ T ∣ \geq t_{α /2} (n - 1)

；

右侧：

T \geq t_{α} (n - 1)

；左侧：

T \leq - t_{α} (n - 1)

。

这是实际中最常用的一个检验——

σ

几乎总是未知的。

自由度 $n - 1$ 跟着 $S^{2}$ 走，别写成

n

。

3. 检验方差： $χ^{2}$ 检验

检验

H_{0} : σ^{2} = σ_{0}^{2}

（

μ

未知）时取

χ^{2} = \frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ _{0}^{2}} .

在

H_{0}

下它服从

χ^{2} (n - 1)

。

拒绝域不对称，双侧要查两个分位点：

χ^{2} \leq χ_{1 - α /2}^{2} (n - 1)

或

χ^{2} \geq χ_{α /2}^{2} (n - 1) .

单侧则只取一边：怀疑方差偏大（

H_{1} : σ^{2} > σ_{0}^{2}

）时
取右尾

χ^{2} \geq χ_{α}^{2} (n - 1)

。

$χ^{2}$ 分布不对称，所以没有「加绝对值」的写法——
两个临界值必须分别查。

4. 一张表记住全部

三个检验的区别只在「用哪个统计量、查哪张表」：

σ 已知 σ 未知 检验 σ^{2} U \sim N (0, 1) T \sim t (n - 1) χ^{2} (n - 1)

（前两行检验的都是

μ

。）

方向的规矩三者共用：

① $H_{1}$ 带 $\neq =$ 走双侧，

α

对半分；

② $H_{1}$ 带 $>$ 走右尾、带 $<$ 走左尾，

α

全给一边。

做题前先问两句：

σ

知不知道？检验的是

μ

还是

σ^{2}

？
这两句答完，用哪个统计量就定了。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

选统计量

第一步：问检验的是

μ

还是

σ^{2}

。

第二步：检验

μ

时看

σ

是否已知。

第三步：已知用

U

，未知用

T

（自由度

n - 1

）。

第四步：检验

σ^{2}

用

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ _{0}^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

。

例例. 三种情形各选什么统计量？

第一步，先问检验的是

μ

还是

σ^{2}

。

第二步，检验

μ

且

σ

已知：

U = \frac{X ˉ - μ _{0}}{σ / n} \sim N (0, 1) .

第三步，检验

μ

且

σ

未知：换成

S

，

T = \frac{X ˉ - μ _{0}}{S / n} \sim t (n - 1) .

第四步，检验

σ^{2}

：

χ^{2} = \frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ _{0}^{2}} \sim χ^{2} (n - 1) .

注意分母里是

σ_{0}

（

H_{0}

假设的那个值），不是未知的真

σ

——统计量必须是算得出来的。

写拒绝域

第一步：由

H_{1}

定方向（

\neq =

双侧、

>

右尾、

<

左尾）。

第二步：双侧查

\frac{α}{2}

的分位点，单侧查

α

的。

第三步：

U

、

T

对称，可以写成绝对值形式。

第四步：

χ^{2}

不对称，两个临界值分别查、分别写。

例例.

n = 16

、

α = 0.05

、

σ

未知，三种

H_{1}

各写拒绝域。

第一步，统计量是

T \sim t (15)

，由

H_{1}

定方向。

第二、三步，

T

对称，可写成绝对值形式：

H_{1} : μ \neq = μ_{0}

（双侧）查

\frac{α}{2} = 0.025

：

W = {∣ T ∣ > 2.131}

；

H_{1} : μ > μ_{0}

（右尾）查

α = 0.05

：

W = {T > 1.753}

；

H_{1} : μ < μ_{0}

（左尾）：

W = {T < - 1.753}

。

第四步，若检验的是

σ^{2}

，

χ^{2}

不对称，双侧要两个临界值分别查、分别写：

W = {χ^{2} < χ_{0.975}^{2} (15)} \cup {χ^{2} > χ_{0.025}^{2} (15)},

写不成绝对值形式。

用置信区间回答检验

第一步：确认是双侧检验，且置信度为

1 - α

。

第二步：看

μ_{0}

是否落在置信区间内。

第三步：落在区间内

\Rightarrow

不拒绝；落在区间外

\Rightarrow

拒绝。

第四步：单侧检验要配单侧置信限，不能用双侧区间。

例例. 已知

μ

的

95%

置信区间是

(9.02, 10.98)

。在

α = 0.05

下检验

H_{0} : μ = 10

与

H_{0} : μ = 9

。

第一步，确认是双侧检验、置信度

1 - α = 0.95

✓ 两边的

α

对得上。

第二步，看

μ_{0}

在不在区间内：

10 \in (9.02, 10.98)

，

9 \in /

。

第三步，

μ_{0} = 10

落在区间内

\Rightarrow

不拒绝；

μ_{0} = 9

落在区间外

\Rightarrow

拒绝。

第四步，单侧检验不能用双侧区间，要配单侧置信限才对得上。

双侧置信区间和双侧检验本来就是同一个不等式的两种读法——一个解出

μ

，一个解出

\overset{ˉ}{X}

，所以才能这样互换着用。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

$σ$ 未知还用 $u$ 检验

σ

未知必须换成

S

，统计量服从

t (n - 1)

。

小样本时

t

的临界值明显大于

u

，用错会偏向拒绝。

判据：题面有没有给出

σ

的具体数值。

$χ^{2}$ 统计量的分子写成 $n S^{2}$

分子是

(n - 1) S^{2}

，自由度也是

n - 1

。

写成

n S^{2}

会把统计量放大

\frac{n}{n - 1}

倍。

记法：分子分母的

n - 1

和自由度是同一个数。

$χ^{2}$ 的双侧拒绝域写成绝对值

χ^{2}

不对称且非负，两个临界值毫无对称关系。

必须写成「

\leq

小临界值或

\geq

大临界值」。

分别查表，别想着用一个数解决。

拒绝域方向与 $H_{1}$ 不一致

H_{1} : μ > μ_{0}

时只在右尾拒绝，左边再偏也不拒绝。

方向反了，整道题的结论就反了。

写完回头核一句：

H_{1}

指哪边，拒绝域就在哪边。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 选对工具

练 1

σ

未知检验

μ

时，统计量服从 ________ 分布。

练 2

检验

H_{0} : σ^{2} = σ_{0}^{2}

用的统计量是（）。

A $\frac{n S ^{2}}{σ _{0}^{2}}$
B $\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ _{0}^{2}}$
C $\frac{S ^{2}}{σ _{0}^{2}}$
D $\frac{X ˉ - μ _{0}}{S / n}$

练 3

双侧检验把

α

分到两尾，每尾 ________。

练 4

H_{1} : μ < μ_{0}

的拒绝域在（）。

A两尾
B右尾
C中间
D左尾

第二组 · 会算

练 5

n = 16

、

\overset{x}{ˉ} = 10.5

、

s = 2

、

μ_{0} = 10

，则

t =

________。

练 6

接上题，

t_{0.025} (15) = 2.131

，双侧

α = 0.05

的结论是（）。

A拒绝 $H_{0}$
B没有充分证据拒绝 $H_{0}$
C接受 $H_{1}$
D $H_{0}$ 一定成立

练 7

n = 10

、

s^{2} = 12

、

σ_{0}^{2} = 8

，则

χ^{2}

统计量的值为 ________。

练 8

σ = 100

、

n = 25

、

\overset{x}{ˉ} = 950

、

μ_{0} = 1000

，则

u

为（）。

A $- 0.5$
B $- 50$
C $- 2.5$
D $- 12.5$

第三组 · 看关系

练 9

已知

μ

的

95%

双侧置信区间为

(9.2, 10.8)

，则检验

H_{0} : μ = 10

（

α = 0.05

双侧）的结论是（）。

A拒绝 $H_{0}$
B无法由区间判断
C要重新抽样
D不拒绝 $H_{0}$

练 10

χ^{2}

检验的双侧拒绝域（）。

A可以写成 $∣ χ^{2} ∣ \geq χ_{α /2}^{2}$
B两个临界值互为相反数
C要分别查两个临界值
D只有右尾

练 11

把双侧检验改写成单侧（

α

不变），则（）。

A临界值变小，更容易拒绝
B临界值变大
C结论必然相同
D $α$ 自动减半

练 12

n

很大时

t (n - 1)

趋近于 ________ 分布。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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