三大抽样分布（χ²、t、F）

§19.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.37 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

0.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）总体、样本与统计量常见连续分布（均匀、指数、正态）随机变量的独立性③ 掌握后可解锁正态总体样本均值与方差的分布

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 三大抽样分布的构造定义： $χ^{2} (n) = \sum X_{i}^{2}$ 、 $t (n) = \frac{X}{Y / n}$ 、 $F (n_{1}, n_{2}) = \frac{U / n _{1}}{V / n _{2}}$ 与上 $α$ 分位点★★ 必会

这三个分布不是用密度公式定义的，而是用由标准正态变量构造出来的形式定义的；一切判别题都是把统计量凑成这三种构造之一。各个定义中的独立性条件，一条也不能少。

① $χ^{2}$ 分布：设

X_{1}, \dots, X_{n}

相互独立且均服从

N (0, 1)

，则

χ^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2} \sim χ^{2} (n),

其中自由度

n =

独立的标准正态变量平方的个数。数字特征为

E (χ^{2}) = n

与

D (χ^{2}) = 2 n

，推导见下一条；可加性：当

χ_{1}^{2} \sim χ^{2} (m)

与

χ_{2}^{2} \sim χ^{2} (n)

独立时，

χ_{1}^{2} + χ_{2}^{2} \sim χ^{2} (m + n)

。

② $t$ 分布：设

X \sim N (0, 1)

，

Y \sim χ^{2} (n)

，且

X

与

Y

相互独立，则

t = \frac{X}{Y / n} \sim t (n) .

其密度关于

0

对称，当

n > 1

时

E (t) = 0

；又当

n \to \infty

时，它趋于

N (0, 1)

。

③ $F$ 分布：设

U \sim χ^{2} (n_{1})

，

V \sim χ^{2} (n_{2})

，且

U

与

V

相互独立，则

F = \frac{U / n _{1}}{V / n _{2}} \sim F (n_{1}, n_{2}),

两个自由度都要除在各自的 $χ^{2}$ 之下，并且分子的自由度写在前面。由此直接得到：

\frac{1}{F} \sim F (n_{2}, n_{1})

，见下面的证明。

④ 上 $α$ 分位点：对随机变量

X

与给定的

α \in (0, 1)

，满足

P {X > x_{α}} = α

的数

x_{α}

称为该分布的上 $α$ 分位点，即右尾面积为

α

，记号如

z_{α}, χ_{α}^{2} (n), t_{α} (n), F_{α} (n_{1}, n_{2})

。查表时常用两条换算：

t_{1 - α} (n) = - t_{α} (n)

，

F_{1 - α} (n_{1}, n_{2}) = \frac{1}{F _{α} ( n _{2} , n _{1} )}

，证明见本节后面一条。

证明 / 推导

由构造定义即可证明 $\frac{1}{F} \sim F (n_{2}, n_{1})$ . 设

F = \frac{U / n _{1}}{V / n _{2}}

，其中

U \sim χ^{2} (n_{1})

、

V \sim χ^{2} (n_{2})

，且二者相互独立。取倒数，得

\frac{1}{F} = \frac{V / n _{2}}{U / n _{1}},

它恰好是独立的

χ^{2} (n_{2})

除以自身的自由度，比上

χ^{2} (n_{1})

除以自身的自由度，这就是

F (n_{2}, n_{1})

的构造定义，故

\frac{1}{F} \sim F (n_{2}, n_{1})

。取倒数时，两个自由度必须随分子分母一起对调；分位数换算式

F_{1 - α} (n_{1}, n_{2}) = 1/ F_{α} (n_{2}, n_{1})

中自由度次序颠倒，来由即在于此。

■

举例说明

例. 设

X_{1}, \dots, X_{n} (n \geq 2)

来自

N (0, 1)

，

\overset{ˉ}{X}

为样本均值，

S^{2}

为样本方差，问下列哪个正确：(A)

n \overset{ˉ}{X} \sim N (0, 1)

；(B)

n S^{2} \sim χ^{2} (n)

；(C)

\frac{( n - 1 ) X ˉ}{S} \sim t (n - 1)

；(D)

\frac{( n - 1 ) X _{1}^{2}}{\sum _{i = 2}^{n} X _{i}^{2}} \sim F (1, n - 1)

。

解. 逐项凑构造定义。

X_{1} \sim N (0, 1) \Rightarrow X_{1}^{2} \sim χ^{2} (1)

；又

X_{2}, \dots, X_{n}

独立且同服从

N (0, 1) \Rightarrow i = 2 \sum n X_{i}^{2} \sim χ^{2} (n - 1)

，而且二者由不相交的样本构成，相互独立。按

F

的定义，

\frac{X _{1}^{2} /1}{( \sum _{i = 2}^{n} X _{i}^{2} ) / ( n - 1 )} = \frac{( n - 1 ) X _{1}^{2}}{\sum _{i = 2}^{n} X _{i}^{2}} \sim F (1, n - 1),

故 (D) 正确。其余三项都错在系数没有凑准：

\overset{ˉ}{X} \sim N (0, \frac{1}{n})

，应为

n \overset{ˉ}{X} \sim N (0, 1)

，故 (A) 错；正确的结论是

(n - 1) S^{2} \sim χ^{2} (n - 1)

，而不是

n S^{2} \sim χ^{2} (n)

，故 (B) 错；

\frac{X ˉ}{S / n} = \frac{n X ˉ}{S} \sim t (n - 1)

，系数是

n

而不是

n - 1

，故 (C) 错。答案为 D。

■

2. $E (χ^{2}) = n$ 与 $D (χ^{2}) = 2 n$ 是怎样得来的，以及 χ² 与 Gamma 分布、指数分布的关系

在三大抽样分布中，

χ^{2}

分布最为基本。它的两个数字特征

E [χ^{2} (n)] = n

与

D [χ^{2} (n)] = 2 n

不必强记，由定义

χ^{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}

（其中

X_{i}

独立且同服从

N (0, 1)

）就能直接算出，所需要的只是标准正态变量的两个矩：

E (X^{2}) = 1

与

E (X^{4}) = 3

。

还应弄清

χ^{2}

分布的来源：它其实是 Gamma 分布的特例，

χ^{2} (n) = Γ (\frac{n}{2}, \frac{1}{2})

；特别地，

χ^{2} (1)

就是一个标准正态变量的平方，而

χ^{2} (2)

恰好是参数为 $\frac{1}{2}$ 的指数分布（密度为

\frac{1}{2} e^{- x /2}

，均值为

2

）。知道了这些关系，许多分布之间的换算就容易理解了。

证明 / 推导

推导 $E [χ^{2} (n)] = n$ 与 $D [χ^{2} (n)] = 2 n$ 。 设

X \sim N (0, 1)

。标准正态变量的矩为：

E (X^{2}) = D (X) = 1

；

E (X^{4}) = 3

，它可以由

E (X^{2 k}) = (2 k - 1)!!

得

E (X^{4}) = 3!! = 3

，也可以用分部积分算出。于是对每一项有

E (X^{2}) D (X^{2}) = 1 = E (X^{4}) - [E (X^{2})]^{2} = 3 - 1 = 2.

又因为

χ^{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}

，且各

X_{i}^{2}

相互独立，所以

E (χ^{2}) = i = 1 \sum n E (X_{i}^{2}) = n, D (χ^{2}) = i = 1 \sum n D (X_{i}^{2}) = 2 n . ■

3. t 分布与 F 分布的联系： $t^{2} (n) = F (1, n)$

t

分布与

F

分布表面上是两回事，其实二者有密切的联系：若 $T \sim t (n)$ ，则 $T^{2} \sim F (1, n)$ 。原因就在定义的构造之中：

t

的分子是一个标准正态变量

X

，平方以后

X^{2} \sim χ^{2} (1)

，于是

t

的平方自然成了

χ^{2} (1)

与

χ^{2} (n)

之比的形式，也就是

F (1, n)

。

这条关系在解题时有两方面的用处：凡是能化成

t (n)

的统计量，其平方自动服从

F (1, n)

；反之，遇到分子自由度为

1

的

F

，可以把它看作某个

t

的平方。它把两张分布表联系了起来，也说明了

t (n)

的平方与

F (1, n)

同分布的道理。

证明 / 推导

证明 $T^{2} \sim F (1, n)$ 。 按定义

T = \frac{X}{Y / n}

，其中

X \sim N (0, 1)

，

Y \sim χ^{2} (n)

，且

X ⊥ Y

。取平方，得

T^{2} = \frac{X ^{2}}{Y / n} = \frac{X ^{2} /1}{Y / n} .

因

X \sim N (0, 1)

，故

X^{2} \sim χ^{2} (1)

；又

Y \sim χ^{2} (n)

；并且

X^{2}

与

Y

独立，这由

X ⊥ Y

得出。上式正是

F

分布的定义形式

\frac{χ ^{2} ( 1 ) /1}{χ ^{2} ( n ) / n}

，故

T^{2} \sim F (1, n)

。

■

再看一道典型题：当

X_{1}, \dots, X_{4}

独立且同服从

N (0, 1)

时，

Y_{2} = \frac{X _{1}}{( X _{2}^{2} + X _{3}^{2} + X _{4}^{2} ) /3} \sim t (3)

，而

Y_{3} = \frac{3 X _{1}^{2}}{X _{2}^{2} + X _{3}^{2} + X _{4}^{2}} = Y_{2}^{2}

。由本条结论立即知道

Y_{3} \sim F (1, 3)

，与直接判别所得完全一致。

4. 分位数的换算不必强记，可以证明： $t_{1 - α} = - t_{α}$ 与 $F_{1 - α} (m, n) = 1/ F_{α} (n, m)$ ★ 要懂

t_{1 - α} (n) = - t_{α} (n)

与

F_{1 - α} (n_{1}, n_{2}) = \frac{1}{F _{α} ( n _{2} , n _{1} )}

这两条换算不必强记，它们可以由分布的对称性与倒数性质直接证出。懂得了证法，就不会把自由度的次序写反，而这正是

F

的换算中最容易出错的地方。

先明确上侧 $α$ 分位数的定义：

P {\cdot > (分位数)} = α

，即右尾概率为

α

。

t

的换算依据是密度关于

0

对称；

F

的换算依据是

F \sim F (n_{1}, n_{2}) \Rightarrow \frac{1}{F} \sim F (n_{2}, n_{1})

这条倒数性质。正是因为取了倒数，两个自由度才必须一起对调。

证明 / 推导

（1） $t$ 的对称换算。 设

T \sim t (n)

，其密度关于

0

对称。由定义，

P {T > t_{α} (n)} = α

。又由对称性，

P {T > - a} = P {T < a} = 1 - P {T > a}

，这里用到连续型的性质。取

a = t_{α} (n)

，得

P {T > - t_{α} (n)} = 1 - P {T > t_{α} (n)} = 1 - α,

这恰好是

t_{1 - α} (n)

的定义，故

t_{1 - α} (n) = - t_{α} (n)

。

（2） $F$ 的倒数换算。 设

F \sim F (n_{1}, n_{2})

，则

\frac{1}{F} \sim F (n_{2}, n_{1})

。由定义，

P {F > F_{1 - α} (n_{1}, n_{2})} = 1 - α

；取对立事件，得

P {F \leq F_{1 - α} (n_{1}, n_{2})} = α

，即

P {\frac{1}{F} \geq \frac{1}{F _{1 - α} ( n _{1} , n _{2} )}} = α .

而

\frac{1}{F} \sim F (n_{2}, n_{1})

，故上式说明

\frac{1}{F _{1 - α} ( n _{1} , n _{2} )}

是

F (n_{2}, n_{1})

的上侧

α

分位数，即

\frac{1}{F _{1 - α} ( n _{1} , n _{2} )} = F_{α} (n_{2}, n_{1})

。整理即得

F_{1 - α} (n_{1}, n_{2}) = \frac{1}{F _{α} ( n _{2} , n _{1} )} . ■

5. 综合判别的要点：非标准正态先标准化，再凑定义定出常数★★ 必会

判别抽样分布的题目，困难之处往往不在套用定义，而在两步预处理：（1）总体不是标准正态时要先标准化，

X_{i} \sim N (μ, σ^{2})

必须先化为

\frac{X _{i} - μ}{σ} \sim N (0, 1)

，其平方和才是

χ^{2}

；（2）出现待定常数时，要靠凑出标准形式把它定出来。这里还有一条常见的现象：只要统计量的量纲配合得当，未知的 $σ$ 会在 $t$ 与 $F$ 中自动约去。下面这道题两点兼有，是求常数使统计量服从

t

的典型例子。

举例说明

例。设

X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}, X_{5}

独立同分布于

N (0, σ^{2})

（

σ

未知）。求常数

c

，使

Y = c \cdot \frac{X _{1} + X _{2}}{X _{3}^{2} + X _{4}^{2} + X _{5}^{2}} \sim t (k),

并指出自由度

k

。

解。分子：

X_{1} + X_{2} \sim N (0, 2 σ^{2})

，标准化后

U = \frac{X _{1} + X _{2}}{2 σ} \sim N (0, 1)

。
分母：每个

\frac{X _{i}}{σ} \sim N (0, 1)

，故

V = \frac{X _{3}^{2} + X _{4}^{2} + X _{5}^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (3)

。又

U

只依赖于

X_{1}, X_{2}

，而

V

只依赖于

X_{3}, X_{4}, X_{5}

，故二者相互独立。按

t

的定义，

\frac{U}{V /3} = \frac{( X _{1} + X _{2} ) / ( 2 σ )}{( X _{3}^{2} + X _{4}^{2} + X _{5}^{2} ) / ( 3 σ ^{2} )} = \frac{3}{2} \cdot \frac{X _{1} + X _{2}}{X _{3}^{2} + X _{4}^{2} + X _{5}^{2}} \sim t (3) .

注意

σ

已自动约去。与所给式子对照可知

c = \frac{3}{2} = \frac{6}{2}

，自由度

k = 3

。

■

💡 小知识

t

分布由吉尼斯啤酒厂的质检员戈塞特（W. S. Gosset）提出。公司不许员工用真名对外发表成果，他便用 Student 这个化名把结果登了出来，学生氏

t

分布的叫法就是这么来的。一个啤酒厂的小样本质量控制问题，最后成了现代小样本统计推断的基石。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}

相互独立且都服从标准正态分布

N (0, 1)

。问

Y = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X_{3}^{2}

服从什么分布？难度 1

χ^{2}

分布的定义：若

X_{1}, \dots, X_{n}

相互独立且都服从

N (0, 1)

，则平方和

\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

，自由度等于独立标准正态变量的个数。

本题是

3

个独立

N (0, 1)

的平方和，故

Y = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X_{3}^{2} \sim χ^{2} (3) .

例 2 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{6}

相互独立且都服从

N (0, 1)

。问统计量

Y = \frac{X _{1}}{( X _{2}^{2} + X _{3}^{2} + \dots + X _{6}^{2} ) /5}

服从什么分布？难度 2

t

分布的定义：若

X \sim N (0, 1)

，

Z \sim χ^{2} (n)

，且

X

与

Z

相互独立，则

\frac{X}{Z / n} \sim t (n)

。

对本题逐块识别：
- 分子

X_{1} \sim N (0, 1)

；
- 分母根号内

Z = X_{2}^{2} + X_{3}^{2} + X_{4}^{2} + X_{5}^{2} + X_{6}^{2}

是

5

个独立

N (0, 1)

的平方和，故

Z \sim χ^{2} (5)

；
-

X_{1}

与

Z

相互独立（涉及的是不同的

X_{i}

）。

于是

Y = \frac{X _{1}}{Z /5}

恰为

\frac{N ( 0 , 1 )}{χ ^{2} ( 5 ) /5}

的形式，故

Y \sim t (5) .

例 3 设

X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}, X_{5}

相互独立且都服从

N (0, 1)

。问统计量

Y = \frac{( X _{1}^{2} + X _{2}^{2} ) /2}{( X _{3}^{2} + X _{4}^{2} + X _{5}^{2} ) /3}

服从什么分布？难度 2

F

分布的定义：若

U \sim χ^{2} (n_{1})

，

V \sim χ^{2} (n_{2})

，且

U

与

V

相互独立，则

\frac{U / n _{1}}{V / n _{2}} \sim F (n_{1}, n_{2})

。

识别各部分：
-

U = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} \sim χ^{2} (2)

，自由度

n_{1} = 2

；
-

V = X_{3}^{2} + X_{4}^{2} + X_{5}^{2} \sim χ^{2} (3)

，自由度

n_{2} = 3

；
-

U

与

V

相互独立。

于是

Y = \frac{U /2}{V /3}

正是

F

分布定义式，故

Y \sim F (2, 3) . ■

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数三 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设

X_{1}, \dots, X_{n}

为来自总体

N (μ_{1}, σ^{2})

的简单随机样本，

Y_{1}, \dots, Y_{m}

为来自总体

N (μ_{2}, 2 σ^{2})

的简单随机样本，且两样本相互独立。记

\overset{ˉ}{X}, \overset{ˉ}{Y}

为样本均值，

S_{1}^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}, S_{2}^{2} = \frac{1}{m - 1} i = 1 \sum m (Y_{i} - \overset{ˉ}{Y})^{2}

，则（　　）。

A $\frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n, m)$
B $\frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n - 1, m - 1)$
C $\frac{2 S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n, m)$
D $\frac{2 S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \sim F (n - 1, m - 1)$

2021 年 · 数三 · 第 9 题 · 选择题 · 5 分

设

(X_{1}, Y_{1}), (X_{2}, Y_{2}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

为来自总体

N (μ_{1}, μ_{2}; σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}; ρ)

的简单随机样本，令

θ = μ_{1} - μ_{2}

，

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

，

\overset{ˉ}{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}

，

\hat{θ} = \overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y}

，则（　　）。

A $E (\hat{θ}) = θ, D (\hat{θ}) = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2}}{n}$ 。
B $E (\hat{θ}) = θ, D (\hat{θ}) = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} - 2 ρ σ _{1} σ _{2}}{n}$ 。
C $E (\hat{θ}) \neq = θ, D (\hat{θ}) = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2}}{n}$ 。
D $E (\hat{θ}) \neq = θ, D (\hat{θ}) = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} - 2 ρ σ _{1} σ _{2}}{n}$ 。

2018 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n \geq 2)

为来自总体

N (μ, σ^{2}) (σ > 0)

的简单随机样本。令

\overline{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}, S = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}, S^{*} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (X_{i} - μ)^{2}

，则（　　）

A $\frac{n ( X - μ )}{S} \sim t (n)$
B $\frac{n ( X - μ )}{S} \sim t (n - 1)$
C $\frac{n ( X - μ )}{S ^{*}} \sim t (n)$
D $\frac{n ( X - μ )}{S ^{*}} \sim t (n - 1)$

2017 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n} (n \geq 2)

为来自总体

N (μ, 1)

的简单随机样本，记

\overline{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

，则下列结论中不正确的是（　　）。

A $i = 1 \sum n (X_{i} - μ)^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布
B $2 (X_{n} - X_{1})^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布
C $i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布
D $n (\overline{X} - μ)^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

相互独立且都服从

N (0, 1)

，则

\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}

服从（　）。

A $N (0, n)$
B $χ^{2} (n)$
C $t (n)$
D $F (n, 1)$

练习 2 · 选择题

设

X \sim N (0, 1)

，

Y \sim χ^{2} (n)

，且

X

与

Y

相互独立，则

\frac{X}{Y / n}

服从（　）。

A $χ^{2} (n)$
B $F (1, n)$
C $t (n)$
D $N (0, 1)$

练习 3 · 填空题

设

X \sim χ^{2} (8)

，则

D (X) =

____。

练习 4 · 选择题

设随机变量

T \sim t (n)

，则

T^{2}

服从（　）。

A $F (1, n)$
B $F (n, 1)$
C $χ^{2} (1)$
D $t (n)$

练习 5 · 填空题

设

F \sim F (m, n)

，则

\frac{1}{F}

服从的分布是 ____（用

F (\cdot, \cdot)

表示）。

练习 6 · 选择题

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{6}

是来自正态总体

N (0, σ^{2})

的简单随机样本。若统计量

Y = \frac{c ( X _{1} + X _{2} ) ^{2}}{X _{3}^{2} + X _{4}^{2} + X _{5}^{2} + X _{6}^{2}}

服从

F (1, 4)

分布，则常数

c =

（　）

A $\frac{1}{2}$
B $4$
C $2$
D $\frac{1}{4}$

练习 7 · 填空题

设总体

X \sim N (1, 3)

，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{10}

是来自该总体的简单随机样本，

S^{2} = \frac{1}{9} i = 1 \sum 10 (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}

为样本方差，则

D (S^{2}) =

____。

练习 8 · 解答题

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{10}

是来自正态总体

N (0, σ^{2})

（

σ > 0

）的简单随机样本，记

U = i = 1 \sum 4 X_{i}, V = i = 5 \sum 10 X_{i}^{2} .

(1) 求

U

的分布，并说明

U

与

V

相互独立；

(2) 求常数

c

，使

T = \frac{c U}{V}

服从

t

分布，并指出其自由度；

(3) 求

E (T^{2})

。

2004 年 · 数三 · 第 14 题 · 选择题 · 4 分

设随机变量

X

服从正态分布

N (0, 1)

，对给定的

α (0 < α < 1)

，数

u_{α}

满足

P {X > u_{α}} = α

. 若

P {∣ X ∣ < x} = α

，则

x

等于（　　）

A $u_{\frac{α}{2}}$ .
B $u_{1 - \frac{α}{2}}$ .
C $u_{\frac{1 - α}{2}}$ .
D $u_{1 - α}$ .

2002 年 · 数三 · 第 10 题 · 选择题 · 3 分

设随机变量

X

和

Y

都服从标准正态分布，则（　）。

A $X + Y$ 服从正态分布
B $X^{2} + Y^{2}$ 服从 $χ^{2}$ 分布
C $X^{2}$ 和 $Y^{2}$ 都服从 $χ^{2}$ 分布
D $\frac{X ^{2}}{Y ^{2}}$ 服从 $F$ 分布

三大抽样分布（χ²、t、F）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 三大抽样分布的构造定义：χ2(n)=∑Xi2​、t(n)=Y/n​X​、F(n1​,n2​)=V/n2​U/n1​​ 与上 α 分位点★★ 必会

2. E(χ2)=n 与 D(χ2)=2n 是怎样得来的，以及 χ² 与 Gamma 分布、指数分布的关系

3. t 分布与 F 分布的联系：t2(n)=F(1,n)

4. 分位数的换算不必强记，可以证明：t1−α​=−tα​ 与 F1−α​(m,n)=1/Fα​(n,m)★ 要懂

5. 综合判别的要点：非标准正态先标准化，再凑定义定出常数★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 三大抽样分布的构造定义： $χ^{2} (n) = \sum X_{i}^{2}$ 、 $t (n) = \frac{X}{Y / n}$ 、 $F (n_{1}, n_{2}) = \frac{U / n _{1}}{V / n _{2}}$ 与上 $α$ 分位点★★ 必会

2. $E (χ^{2}) = n$ 与 $D (χ^{2}) = 2 n$ 是怎样得来的，以及 χ² 与 Gamma 分布、指数分布的关系

3. t 分布与 F 分布的联系： $t^{2} (n) = F (1, n)$

4. 分位数的换算不必强记，可以证明： $t_{1 - α} = - t_{α}$ 与 $F_{1 - α} (m, n) = 1/ F_{α} (n, m)$ ★ 要懂