正定二次型

§13.4 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.32 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

0.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）二次型及其标准形、规范形合同变换与惯性定理

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 正定理论的重要应用：用黑塞矩阵判定多元函数的极值，二元情形即 $A C - B^{2}$ 判别法

正定理论最重要的应用之一，是判别多元函数驻点的极值类型。在驻点处（一阶偏导数全为零），考察黑塞矩阵

H = (f_{x_{i} x_{j}})

（由二阶偏导数排成的对称矩阵）：

H

正定

\Rightarrow

极小值；

H

负定

\Rightarrow

极大值；

H

不定

\Rightarrow

鞍点（不是极值）；

H

半定（含零特征值）

\Rightarrow

判别失效。数三重点考查的二元函数就是它在

2

阶时的特例：记

A = f_{xx}, B = f_{x y}, C = f_{y y}

，

H = (A B B C)

，其顺序主子式为

D_{1} = A, D_{2} = A C - B^{2}

，于是我们熟悉的

A C - B^{2}

判别法，实际上就是判定

H

是否正定或负定。

证明 / 推导

由顺序主子式判据，

H

正定

⟺ D_{1} = A > 0

且

D_{2} = A C - B^{2} > 0

，这就是二元函数取极小值的条件；

H

负定

⟺ - H

正定

⟺ (- 1)^{k} D_{k} > 0

，即

A < 0

且

A C - B^{2} > 0

，此时取极大值；

D_{2} = A C - B^{2} < 0 \Rightarrow H

有异号的特征值，即不定，

\Rightarrow

鞍点；

A C - B^{2} = 0 \Rightarrow H

半定，判别失效。这样就把二次型的正定性与多元微分学中的极值判别联系了起来。

■

举例说明

求

f (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 x y

的极值。先求驻点：

f_{x} = 3 x^{2} - 3 y = 0, f_{y} = 3 y^{2} - 3 x = 0 \Rightarrow y = x^{2}, x = y^{2}

，解得

(0, 0)

与

(1, 1)

。二阶偏导数为

f_{xx} = 6 x, f_{y y} = 6 y, f_{x y} = - 3

。
- 在

(1, 1)

：

H = (6 - 3 - 3 6)

，

D_{1} = 6 > 0, D_{2} = 36 - 9 = 27 > 0

，故正定，

\Rightarrow

极小值

f (1, 1) = - 1

。
- 在

(0, 0)

：

H = (0 - 3 - 3 0)

，

D_{2} = - 9 < 0

，故不定，

\Rightarrow

鞍点，不是极值。

2. 正定矩阵的运算封闭性： $A^{- 1}, k A (k > 0), A^{k}, A^{*}, A + B$ 都正定；但 $A B$ 、 $A - B$ 未必

正定矩阵在很多运算下封闭，这是抽象证明题中常用的结论：若

A

正定，则

A^{- 1}

、

k A (k > 0)

、

A^{k} (k \in N)

、伴随矩阵

A^{*}

都正定；若

A, B

都正定，则

A + B

正定。但有两点必须注意：

A - B

一般不正定（差矩阵可能出现非正的特征值）；

A B

通常不对称，因而谈不上正定（除非

A B = B A

）。前面这些结论用特征值法或定义法都容易证明，而后面的反例则应当能随时举出。

证明 / 推导

设

A, B

正定，其特征值分别为

λ_{i}, μ_{j} > 0

。

A^{- 1}

对称，且特征值为

1/ λ_{i} > 0

，故正定；

k A

的特征值为

k λ_{i} > 0

；

A^{k}

的特征值为

λ_{i}^{k} > 0

；又

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

，而

∣ A ∣ = \prod λ_{i} > 0

，故也正定。至于

A + B

：它对称，且对

\forall x \neq = 0

，有

x^{T} (A + B) x = x^{T} A x + x^{T} B x > 0

。

■

举例说明

反例. 取

A = (20 0 \frac{1}{2}), B = E

，二者都正定，但

A - B = diag (1, - \frac{1}{2})

有负的特征值，不正定。可见由

A, B

正定

\Rightarrow A - B

正定的说法是错误的。又取

A = (2112), B = (1003)

，二者也都正定，但

A B = (2136)

不对称，因而谈不上正定。

3. 必要而非充分的条件（ $a_{ii} > 0$ 、 $∣ A ∣ > 0$ 、可逆）：可用来快速排除，不能用来断定★ 要懂

正定有几个便于使用的必要条件：主对角元

a_{ii} > 0

、行列式

∣ A ∣ > 0

，以及

A

可逆。它们的用处在于快速排除：只要有一条不满足，就可以立刻断定它不是正定的，省去计算全部顺序主子式的麻烦。但它们都不是充分的，不能由它们反过来断定正定。通常的做法是：先用这些必要条件排除明显不正定的情形，其余的再用顺序主子式判据或者特征值判据。

证明 / 推导

必要性：设

A

正定

\Rightarrow

，取

x = e_{i}

，得

a_{ii} = e_{i}^{T} A e_{i} > 0

；又

∣ A ∣ = \prod λ_{i}

，特征值全为正，故

∣ A ∣ > 0

，从而可逆。不充分的反例见下。它们虽满足某个必要条件却并不正定，这说明必要

\neq =

充分。

■

举例说明

(1)

A = (- 1 0 0 - 1)

：

∣ A ∣ = 1 > 0

，可逆，但它是负定的。可见

∣ A ∣ > 0

并不充分（这是因为判据要求每一阶顺序主子式都为正，只看

D_{n} = ∣ A ∣

就会漏掉

D_{1} = - 1 < 0

）。(2)

A = (1221)

：对角元

a_{11} = a_{22} = 1 > 0

全为正，但

D_{2} = 1 - 4 = - 3 < 0

，实际上是不定的。可见对角元全为正也不充分。

4. 含参数的正定问题的一般步骤：写出对称矩阵，令顺序主子式全为正，再联立求交集★★ 必会

含参数的正定问题（数三常考的大题）有固定的解法：① 把交叉项的系数均分，写出对称矩阵

A (t)

；② 令各阶顺序主子式都大于零，即

D_{1} > 0, \dots, D_{n} > 0

；③ 解这个不等式组并取交集，即得参数的取值范围。用顺序主子式而不用特征值，可以避免求解含参数的特征方程。如果问的是负定，则改用

(- 1)^{k} D_{k} > 0

（符号交替为

-, +, -, \dots

，它等价于

- A

正定）。

证明 / 推导

这一做法的依据就是顺序主子式判据：实对称矩阵

A

正定

⟺ D_{1} > 0, \dots, D_{n} > 0

。对含参数的

A (t)

，每个

D_{k} (t) > 0

都是关于

t

的一个不等式，而正定当且仅当它们同时成立，故应取各解集的交集。负定的情形，对

- A

用同一判据：

(- A)

的

k

阶顺序主子式

= (- 1)^{k} D_{k}

，要求它们全为正，即

(- 1)^{k} D_{k} > 0

。

■

举例说明

（数三 1991）问

λ

取何值时

f = x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2} + 2 λ x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3}

正定。按上述步骤：① 把交叉项的系数均分，写出对称矩阵

A = 1 λ - 1 λ 42 - 1 24

；② 令各阶顺序主子式都大于零：

D_{1} = 1 > 0

（恒成立），

D_{2} = 1 λ λ 4 = 4 - λ^{2} > 0 \Rightarrow - 2 < λ < 2

，

D_{3} = ∣ A ∣ = - 4 (λ + 2) (λ - 1) > 0 \Rightarrow - 2 < λ < 1

；③ 取交集

(- 2, 2) \cap (- 2, 1) = (- 2, 1)

。故当

- 2 < λ < 1

时

f

正定。整个过程只需计算三个行列式的符号，避免了求解含参数的特征方程。

💡 小知识

判断多元函数的驻点是极小、极大还是鞍点，看的是黑塞矩阵的正定性：正定对应碗底，是极小值；负定对应山顶，是极大值；不定则对应马鞍。机器学习里训练模型时沿着曲面往下走，打交道的也是一个个正定或不定的黑塞矩阵。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用顺序主子式判据判断

A = 3 - 1 0 - 1 3 - 1 0 - 1 3

是否正定。难度 1

判据：各阶顺序主子式全大于零 $⟺$ 正定。

- 一阶：

D_{1} = 3 > 0

；
- 二阶：

D_{2} = 3 - 1 - 1 3 = 9 - 1 = 8 > 0

；
- 三阶：

D_{3} = ∣ A ∣

。按第一行展开

∣ A ∣ = 3 3 - 1 - 1 3 - (- 1) - 1 0 - 1 3 = 3 \cdot 8 + 1 \cdot (- 3) = 24 - 3 = 21 > 0

。

三个顺序主子式全大于零，故

A

正定。

例 2 问参数

a

取何值时，矩阵

A = 110 1 a 1 012

正定？难度 2

用顺序主子式判据，令 $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ 全大于零。

-

D_{1} = 1 > 0

（恒成立）；
-

D_{2} = 11 1 a = a - 1 > 0 \Rightarrow a > 1

；
-

D_{3} = ∣ A ∣

。按第一行展开

∣ A ∣ = 1 \cdot (2 a - 1) - 1 \cdot (2 - 0) + 0 = 2 a - 3 > 0 \Rightarrow a > \frac{3}{2}

。

求交集：

a > 1

与

a > \frac{3}{2}

同时成立即

a > \frac{3}{2}

。故当

a > \frac{3}{2}

时

A

正定。

例 3 （数三1999）设

A

为

m \times n

实矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵，

B = λ E + A^{T} A

。证明：当

λ > 0

时，

B

为正定矩阵。难度 2

第一步：对称性。

B^{T} = (λ E + A^{T} A)^{T} = λ E + A^{T} A = B

，故

B

是实对称矩阵，可谈正定。

第二步：定义法看二次型符号。 对任意

x \neq = 0

，

x^{T} B x = λ x^{T} x + x^{T} A^{T} A x = λ ∥ x ∥^{2} + ∥ A x ∥^{2} .

当

λ > 0

时

λ ∥ x ∥^{2} > 0

（因

x \neq = 0

），又

∥ A x ∥^{2} \geq 0

，故

x^{T} B x > 0

。

结论： 由定义

B

正定。

■

注：「

λ E + A^{T} A

型」正定的通法——把二次型拆成

λ ∥ x ∥^{2} + ∥ A x ∥^{2}

两个非负项，靠

λ > 0

顶住严格大于零，无需求特征值。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数三 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设矩阵

A = (1 - 2 2 - a)

，

B = (11 0 a)

，若

f (x, y) = ∣ x A + y B ∣

是正定二次型，则

a

的取值范围是（　　）。

A $(0, 2 - 3)$
B $(2 - 3, 2 + 3)$
C $(2 + 3, 4)$
D $(0, 4)$

2014 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 2 a x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3}

的负惯性指数为

1

，则

a

的取值范围是 ______。

2005 年 · 数三 · 第 21 题 · 解答题 · 13 分

设

D = (A C^{T} C B)

为正定矩阵，其中

A, B

分别为

m

阶、

n

阶对称矩阵，

C

为

m \times n

矩阵.

（Ⅰ）计算

P^{T} D P

，其中

P = (E_{m} O - A^{- 1} C E_{n})

；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵

B - C^{T} A^{- 1} C

是否为正定矩阵，并证明你的结论.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

下列矩阵中，正定的是（　）。

A $(1221)$
B $(3113)$
C $(10 0 - 2)$
D $(0110)$

练习 2 · 填空题

问

t

取何值时，二次型

f = x_{1}^{2} + 3 x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2 t x_{1} x_{2}

正定？答：____。

练习 3 · 选择题

设

A

为

n

阶正定矩阵，则下列矩阵中不一定正定的是（　）。

A $A^{- 1}$
B $A^{2}$
C $A - E$
D $A + E$

练习 4 · 选择题

（数三2025）设

A = (1 - 2 2 - a)

，

B = (11 0 a)

。若

f (x, y) = ∣ x A + y B ∣

是正定二次型，则

a

的取值范围是（　）。

A $(0, 2 - 3)$
B $(2 - 3, 2 + 3)$
C $(2 + 3, 4)$
D $(0, 4)$

练习 5 · 选择题

设

A

为

3

阶实对称矩阵，满足

A^{2} - 3 A + 2 E = O, ∣ A ∣ = 4,

记二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} A x

。则下列结论正确的是（　　）。

A $f$ 是正定二次型，其规范形为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}$
B $f$ 是正定二次型，其规范形为 $y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2}$
C $f$ 是半正定但非正定的二次型，秩为 $2$
D $f$ 的正惯性指数为 $2$ ，负惯性指数为 $1$

练习 6 · 填空题

若二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} + 2 t x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3}

正定，则

t

的取值范围是 ____。

练习 7 · 解答题

设

A = 210121012, f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} A x .

(1) 用顺序主子式判据证明

f

是正定二次型；

(2) 求实数

t

的取值范围，使

A - tE

仍为正定矩阵；

(3) 用配方法把

f

化为标准形，写出所用的可逆线性变换，并指出

f

的规范形与正惯性指数。

2002 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 8 分

设

A

为 3 阶实对称矩阵，且满足

A^{2} + 2 A = O

，已知

A

的秩

r (A) = 2

。（1）求

A

的全部特征值；（2）当

k

为何值时，矩阵

A + k E

为正定矩阵（

E

为 3 阶单位矩阵）。

2000 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 9 分

设有

n

元实二次型

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = (x_{1} + a_{1} x_{2})^{2} + (x_{2} + a_{2} x_{3})^{2} + \dots + (x_{n - 1} + a_{n - 1} x_{n})^{2} + (x_{n} + a_{n} x_{1})^{2}

，其中

a_{i} (i = 1, 2, \dots, n)

为实数. 试问：当

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

满足何种条件时，二次型

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

为正定二次型.

1999 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 7 分

设

A

为

m \times n

实矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵，已知矩阵

B = λ E + A^{T} A

，试证：当

λ > 0

时，矩阵

B

为正定矩阵。

正定二次型

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 正定理论的重要应用：用黑塞矩阵判定多元函数的极值，二元情形即 AC−B2 判别法

2. 正定矩阵的运算封闭性：A−1,kA(k>0),Ak,A∗,A+B 都正定；但 AB、A−B 未必

3. 必要而非充分的条件（aii​>0、∣A∣>0、可逆）：可用来快速排除，不能用来断定★ 要懂

4. 含参数的正定问题的一般步骤：写出对称矩阵，令顺序主子式全为正，再联立求交集★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 正定理论的重要应用：用黑塞矩阵判定多元函数的极值，二元情形即 $A C - B^{2}$ 判别法

2. 正定矩阵的运算封闭性： $A^{- 1}, k A (k > 0), A^{k}, A^{*}, A + B$ 都正定；但 $A B$ 、 $A - B$ 未必

3. 必要而非充分的条件（ $a_{ii} > 0$ 、 $∣ A ∣ > 0$ 、可逆）：可用来快速排除，不能用来断定★ 要懂