合同变换与惯性定理

§13.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.24 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

0.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）二次型及其标准形、规范形化二次型为标准形（配方法、正交变换）③ 掌握后可解锁正定二次型

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 求负惯性指数的第三种方法：顺序主子式序列 $1, D_{1}, \dots, D_{n}$ 的变号次数

求惯性指数通常有两种方法：一是化为标准形后数系数的正负个数，二是求出特征值后数其符号。此外还有一种不必求特征值的方法，即雅可比（Jacobi）定理：如果各阶顺序主子式

D_{1}, \dots, D_{n}

全不为零，那么负惯性指数

q

等于序列

D_{0} = 1, D_{1}, D_{2}, \dots, D_{n}

中相邻两项变号的次数，正惯性指数

p

等于相邻两项同号（即不变号）的次数。因此在含参数的题目中，只需算出几个行列式并考察其符号，就能读出

(p, q)

。必须注意，本定理的前提是所有

D_{k} \neq = 0

；如果某个顺序主子式为零，此法失效，应改用特征值或标准形。

证明 / 推导

以下给出证明的要点。如果

D_{1}, \dots, D_{n}

全不为零，那么对

A

可以施行不换行的对称高斯消元，即作

L D L^{T}

分解，得

A ≃ diag (p_{1}, \dots, p_{n})

，其中第

k

个主元

p_{k} = D_{k} / D_{k - 1}

（

D_{0} = 1

）。根据合同变换下惯性指数不变，

q

等于负主元的个数

= # {k : D_{k} / D_{k - 1} < 0} = # {k : D_{k - 1}, D_{k} 异号}

，也就是序列

D_{0}, \dots, D_{n}

的变号次数；与此相类似，

p

等于同号的次数。

■

举例说明

设

A = 120210 00 - 3

。它的各阶顺序主子式为

D_{1} = 1, D_{2} = 1 \cdot 1 - 4 = - 3, D_{3} = ∣ A ∣ = (- 3) \cdot (- 3) = 9

。于是序列为

D_{0}, D_{1}, D_{2}, D_{3} = 1, 1, - 3, 9

，相邻两项的符号依次为

+, +, -, +

：变号

2

次（

1 \to - 3

、

- 3 \to 9

），故

q = 2

；同号

1

次（

1 \to 1

），故

p = 1

。这与直接求特征值

3, - 1, - 3

所得的

(p, q) = (1, 2)

完全一致。

2. 合同不变量与合同下可以改变的量，判断题的常考内容★★ 必会

合同变换

A \to C^{T} A C

保持的是符号结构，而不保持具体数值。下面分两类列出。
合同不变量（一定不变）：秩

r

、正惯性指数

p

、负惯性指数

q

、

(进而)

符号差

s = p - q

、行列式的符号

sgn ∣ A ∣

、是否正定或半正定。
合同下可以改变的量：特征值（数值）、迹

tr A

、行列式的数值

∣ A ∣

、矩阵的元素。
由此可见，合同只保持符号的个数，不保持数值；只有相似变换才保持特征值、迹与行列式的数值。

证明 / 推导

证. 秩不变：

C

可逆

\Rightarrow r (C^{T} A C) = r (A)

。

(p, q)

不变：这就是惯性定理。行列式的符号：

∣ C^{T} A C ∣ = ∣ C ∣^{2} ∣ A ∣

，而

∣ C ∣^{2} > 0

，因此它与

∣ A ∣

同号；但二者相差一个可以任意取值的正因子

∣ C ∣^{2}

，所以

∣ A ∣

的数值是可以改变的。特征值与迹也会改变：例如

diag (1, 1) ≃ diag (4, 9)

，特征值由

{1, 1}

变为

{4, 9}

，迹由

2

变为

13

。

■

举例说明

（数三2007）设

A = 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2

，

B = 100010000

，问

A

与

B

是合同、相似，还是二者兼有。由

∣ λ E - A ∣ = λ (λ - 3)^{2}

得

A

的特征值为

0, 3, 3

；

B

的特征值为

1, 1, 0

。相似要求特征值的数值完全相同，而

{0, 3, 3} \neq = {1, 1, 0}

（迹

6 \neq = 2

也说明这一点），故二者不相似，这是因为特征值与迹都是合同下可以改变的量。合同只看正、负、零特征值的个数：两者都是

2

个正、

0

个负、

1

个零，惯性一致，故二者合同。这个例子说明合同而不相似是可能的，它印证了前面所列的两类量：合同保持

(p, q, r)

这类关于符号的统计量，而不保持特征值与迹。

3. 利用完全判据做证明题： $A$ 与 $- A$ 合同 $⟺$ 正、负惯性指数相等（ $p = q$ ）★★ 必会

合同的完全判据（

A ≃ B ⟺ (p, q)

相同）不仅可以用来判断两个矩阵是否合同，而且是证明这类命题的基本工具。下面是一个典型的结论：实对称矩阵

A

与

- A

合同的充分必要条件是它的符号差为零，即

p = q

。事实上，

- A

把每个特征值都变号，于是正、负惯性指数互换

(p, q) \to (q, p)

；要使它与原来的一致，就必须

p = q

。一般地，凡是判断某个矩阵与它的某种变形是否合同的题目，都可以化归为比较

(p, q)

。

证明 / 推导

证. 设

A

的惯性指数为

(p, q)

。

- A

的特征值是

A

的特征值的相反数，故正、负特征值的个数互换，从而

- A

的惯性指数为

(q, p)

。根据完全判据，

A ≃ - A ⟺ (p, q) = (q, p) ⟺ p = q

。

■

举例说明

矩阵

A = (0110)

的特征值为

\pm 1

，故

(p, q) = (1, 1)

，满足

p = q

，因此

A ≃ - A

。还可以给出显式的合同矩阵

C = diag (1, - 1)

：

C^{T} A C = (10 0 - 1) (0110) (10 0 - 1) = (0 - 1 - 1 0) = - A

。再看一个反例：

diag (1, 1)

的

(p, q) = (2, 0)

，此时

p \neq = q

，所以它与

diag (- 1, - 1)

不合同。

4. 规范形是每个合同类的唯一代表； $n$ 阶实对称矩阵按合同关系恰分成 $\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$ 类★ 要懂

惯性定理在分类上的意义如下：每个实对称矩阵都合同于唯一的规范形

diag (p 1, \dots, 1, q - 1, \dots, - 1, n - r 0, \dots, 0)

，它是整个合同类的唯一标准代表。因此合同类的个数就等于

(p, q)

的取法个数。对于

n

阶矩阵，按秩

r = p + q

从

0

到

n

逐一枚举：当秩为

r

时，

p

可取

0, 1, \dots, r

，共

r + 1

种，故合计

\sum_{r = 0}^{n} (r + 1) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

类。

证明 / 推导

证. 任意实对称矩阵

A

经合同变换化为规范形，其形状由

(p, q)

（等价地由

(p, r)

）完全确定；根据完全判据，不同的

(p, q)

给出互不合同的规范形。因此合同类与满足

0 \leq p, 0 \leq q, p + q \leq n

的整点

(p, q)

一一对应。下面计数。固定

r = p + q \in {0, \dots, n}

，这时

p \in {0, \dots, r}

有

r + 1

个，故总数为

\sum_{r = 0}^{n} (r + 1) = 1 + 2 + \dots + (n + 1) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

。

■

举例说明

设

n = 2

。这时共有

\frac{3 \cdot 4}{2} = 6

个合同类，其代表元为

diag (0, 0)

（零型）、

diag (1, 0)

、

diag (- 1, 0)

、

diag (1, 1)

、

diag (1, - 1)

、

diag (- 1, - 1)

，分别对应

(p, q) = (0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2)

。任何

2

阶实对称矩阵都合同于其中之一。

💡 小知识

惯性定理又叫西尔维斯特惯性定律，1852 年由英国数学家西尔维斯特提出。惯性一词是借来的比喻：不论怎样用合同变换去晃动一个二次型，正负号的个数都像物体的惯性一样纹丝不动。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设二次型

f = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 4 x_{1} x_{3}

，求其矩阵的正、负惯性指数、秩与规范形。难度 1

思路：惯性指数看特征值的符号即可，不必真化标准形。

写矩阵：

4 x_{1} x_{3}

均分得

a_{13} = a_{31} = 2

，

A = 102010201

。

求特征值：

x_{2}

单独给特征值

1

；块

(1221)

的特征值为

3, - 1

。故特征值为

3, 1, - 1

。

数符号： 正特征值

2

个（

3, 1

）

\Rightarrow p = 2

；负特征值

1

个（

- 1

）

\Rightarrow q = 1

；秩

r = p + q = 3

。

规范形： 把系数归一为

\pm 1

、正项排前，得

f = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} - z_{3}^{2}

。

例 2 设

A = (1221)

，

B = (20 0 - 5)

。判断

A

与

B

是否合同、是否相似，并说明理由。难度 2

求两者的惯性指数。
-

A

：特征值由

(1 - λ)^{2} - 4 = 0

得

3, - 1

，故

(p, q) = (1, 1)

，

r = 2

；
-

B

：对角阵，特征值

2, - 5

，故

(p^{'}, q^{'}) = (1, 1)

，

r^{'} = 2

。

判合同： 二者都是

2

阶实对称矩阵，且

(p, q) = (p^{'}, q^{'}) = (1, 1)

，由合同的完全判据（惯性定理）知

A

与

B

合同。（也可用行列式符号快速印证：

∣ A ∣ = - 3 < 0

，

∣ B ∣ = - 10 < 0

，同号，与合同相容。）

判相似：

A

的特征值

{3, - 1}

与

B

的特征值

{2, - 5}

不同，而相似矩阵必有相同特征值，故

A

与

B

不相似。

小结： 这是「合同却不相似」的典型——合同只保特征值的符号个数

(p, q)

，不保其数值。

例 3 设实对称矩阵

A = 1 - 1 0 - 1 21 01 t

，讨论参数

t

取不同值时，二次型

f = x^{T} A x

的正、负惯性指数。难度 2

方法：用顺序主子式的符号来读惯性指数。

D_{1} = 1 > 0, D_{2} = 1 - 1 - 1 2 = 2 - 1 = 1 > 0, D_{3} = ∣ A ∣.

对

∣ A ∣

按第一行展开：

∣ A ∣ = 1 \cdot (2 t - 1) - (- 1) \cdot (- t - 0) + 0 = (2 t - 1) - t = t - 1

。

情形一： $t > 1$ 。

D_{1}, D_{2}, D_{3}

全正

\Rightarrow A

正定，三个特征值全正，

(p, q) = (3, 0)

，

r = 3

。

情形二： $t = 1$ 。

D_{3} = ∣ A ∣ = 0

，秩降；因

D_{2} \neq = 0

故

r = 2

。此时前两个顺序主子式为正、无负号引入，第三个特征值为

0

，

(p, q) = (2, 0)

，

r = 2

。

情形三： $t < 1$ 。

D_{3} = ∣ A ∣ < 0

，即三个特征值之积为负，故负特征值个数为奇数；又

D_{1}, D_{2} > 0

排除了「三个全负」，只能恰有一个负特征值，

(p, q) = (2, 1)

，

r = 3

。

归纳：

t > 1

时

(p, q) = (3, 0)

；

t = 1

时

(2, 0)

；

t < 1

时

(2, 1)

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{1} + x_{3})^{2} - 4 (x_{2} - x_{3})^{2}

的规范形为（　　）。

A $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$
B $y_{1}^{2} - y_{2}^{2}$
C $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - 4 y_{3}^{2}$
D $y_{1}^{2} + y_{2}^{2} - y_{3}^{2}$

2016 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = a (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) + 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} x_{3} + 2 x_{1} x_{3}

的正、负惯性指数分别为

1, 2

，则（　）

A $a > 1$ .
B $a < - 2$ .
C $- 2 < a < 1$ .
D $a = 1$ 或 $a = - 2$ .

2009 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

设

A, P

均为

3

阶矩阵，

P^{T}

为

P

的转置矩阵，且

P^{T} A P = 100010002

。若

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，

Q = (α_{1} + α_{2}, α_{2}, α_{3})

，则

Q^{T} A Q

为（　　）。

A $210110002$ .
B $110120002$ .
C $200010002$ .
D $100020002$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设实对称矩阵

A

与

B

合同，则下列一定成立的是（　）。

A $∣ A ∣ = ∣ B ∣$
B $∣ A ∣$ 与 $∣ B ∣$ 同号（或同为 $0$ ）
C $A$ 与 $B$ 有相同的特征值
D $A = B$

练习 2 · 填空题

已知

4

阶实对称矩阵

A

的特征值为

2, - 3, 0, 5

，矩阵

B

与

A

合同，则

r (B) =

____。

练习 3 · 选择题

（数三2008）设

A = (1221)

，则在实数域上与

A

合同的矩阵为（　）。

A $(- 2 1 1 - 2)$
B $(2 - 1 - 1 2)$
C $(2112)$
D $(1 - 2 - 2 1)$

练习 4 · 填空题

二次型

f = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2 a x_{1} x_{2}

的秩为

2

，则

a =

____。

练习 5 · 选择题

设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + a x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{2} x_{3}

的矩阵为

A

。若

A

与

diag (1, 1, - 1)

合同，则

a

的取值范围是（　）。

A $a < 2$
B $a > 2$
C $a \neq = 2$
D $1 < a < 2$

练习 6 · 填空题

设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 a x_{1} x_{3}

的负惯性指数为 $1$ ，则

a

的取值范围是 ____。

练习 7 · 解答题

设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{1}^{2} + 3 x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} + 2 a x_{2} x_{3} (a > 0),

其矩阵记为

A

。已知

f

经某个正交变换可化为标准形

y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2} + 5 y_{3}^{2}

。

(1) 求

a

与

A

的全部特征值；

(2) 求一个正交矩阵

Q

，使

x = Q y

把

f

化为上述标准形；

(3) 求一个可逆矩阵

C

，使

C^{T} A C = E

；并据此说明

A

与

diag (1, 2, 3)

合同但不相似。

2008 年 · 数三 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

设

A = (1221)

，则在实数域上与

A

合同的矩阵为（　　）

A $(- 2 1 1 - 2)$ .
B $(2 - 1 - 1 2)$ .
C $(2112)$ .
D $(1 - 2 - 2 1)$ .

2007 年 · 数三 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设矩阵

A = 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2

，

B = 100010000

，则

A

与

B

（　　）

A合同且相似
B合同，但不相似
C不合同，但相似
D既不合同，也不相似

2001 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 8 分

设

A

为

n

阶实对称矩阵，

r (A) = n

，

A_{ij}

是

A = (a_{ij})_{n \times n}

中元素

a_{ij}

的代数余子式（

i, j = 1, 2, \dots, n

），二次型

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = i = 1 \sum n j = 1 \sum n \frac{A _{ij}}{∣ A ∣} x_{i} x_{j} .

（1）记

X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^{T}

，把

f

写成矩阵形式，并证明二次型

f (X)

的矩阵为

A^{- 1}

；（2）二次型

g (X) = X^{T} A X

与

f (X)

的规范形是否相同？说明理由。

合同变换与惯性定理

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 求负惯性指数的第三种方法：顺序主子式序列 1,D1​,…,Dn​ 的变号次数

2. 合同不变量与合同下可以改变的量，判断题的常考内容★★ 必会

3. 利用完全判据做证明题：A 与 −A 合同 ⟺ 正、负惯性指数相等（p=q）★★ 必会

4. 规范形是每个合同类的唯一代表；n 阶实对称矩阵按合同关系恰分成 2(n+1)(n+2)​ 类★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 求负惯性指数的第三种方法：顺序主子式序列 $1, D_{1}, \dots, D_{n}$ 的变号次数

3. 利用完全判据做证明题： $A$ 与 $- A$ 合同 $⟺$ 正、负惯性指数相等（ $p = q$ ）★★ 必会

4. 规范形是每个合同类的唯一代表； $n$ 阶实对称矩阵按合同关系恰分成 $\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$ 类★ 要懂