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化二次型为标准形（配方法、正交变换）
线性代数 · 二次型
这一条要先会：二次型及其标准形、规范形、实对称矩阵的正交对角化
先打基础
一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。
1. 配方法：一次消掉一个变量的全部交叉项
情形一：有平方项。 挑一个含平方项的变量（设为 x1），把所有含 x1 的项收在一起配成完全平方：
f=a11(x1+a11⋯)2+ (只含 x2,…,xn 的部分).
然后对剩下的部分重复，直到没有交叉项。
要害是「所有含 x1 的项」一个都不能漏——漏一项，配出来的平方展开后对不上，后面全错。
情形二：没有平方项（全是交叉项，如 f=2x1x2）。先作一次预备换元造出平方项：
x1=y1+y2,x2=y1−y2,xi=yi (i≥3).
代入得 2x1x2=2(y12−y22)，平方项就有了，再回到情形一。
这个预备换元可逆（反解 y1=2x1+x2、y2=2x1−x2），所以合法。
每一步都要保证换元可逆：配方得到的 yi 必须能唯一反解出 xi。按上面的做法走，自动满足。2. 正交变换法：求特征值，再求 Q
流程：
① 写出对称矩阵 A（交叉项对半分）。
② 求全部特征值 λ1,…,λn——它们就是标准形的系数。
③ 对每个特征值求基础解系。
④ 重根组内施密特正交化，然后全部单位化。
⑤ 按列拼成正交矩阵 Q，换元 x=Qy，标准形
f=λ1y12+⋯+λnyn2.
③④⑤ 就是上一章的正交对角化，一步没变。本节的新内容只是「把它用到二次型上」，以及为什么能用——因为 Q 正交时 QT=Q−1，合同变换与相似变换恰好重合：
QTAQ=Q−1AQ=Λ.
左边是二次型要的（合同），右边是特征值给的（相似），正交矩阵是唯一能让两者同时成立的东西。这就是正交变换在这一章地位特殊的全部原因。
题目只要标准形时，②做完就可以写答案，③④⑤只有在要求出 Q 时才做。3. 两种方法怎么选
特征值系数C保形状难度配方不要随配法变可逆否低正交要即特征值正交是高
看题眼决定：
① 出现「正交变换」「正交矩阵 Q」「QTAQ」 —— 必须走正交那条路，没有替代。
② 只说「化为标准形」「用可逆线性变换」 —— 配方法更快。
③ 问「曲面/曲线是什么形状」 —— 要正交变换，因为只有它不扭曲图形。
④ 问 p,q 或正定性 —— 两条路都行，哪个快用哪个；三阶以上且特征值不好算时，配方法往往更快。
无论走哪条路，p、q、r(A) 这三个数都一样——这是下一节惯性定理的内容。所以只问这三个数时，可以放心挑容易的那条路。4. 化规范形：再作一次伸缩
标准形
f=d1y12+⋯+dnyn2
到规范形还差一步：把每个非零系数的绝对值「除掉」。令
zi=∣di∣yi(di=0),zi=yi(di=0),
则
f=z12+⋯+zp2−zp+12−⋯−zp+q2.
这一步换元也可逆（∣di∣=0，反解得 yi=zi/∣di∣）。
但它一般不是正交变换——伸缩会改变长度。所以：
① 问规范形 —— 可以先配方再伸缩，两步都是可逆换元，合法。
② 问「用正交变换化标准形」 —— 到标准形为止，不要再伸缩，否则就不是正交变换了。
规范形唯一（惯性定理，下一节），它只由 p 和 q 决定。所以两个二次型只要 p,q 相同，规范形就完全一样——这是判断两个二次型是否合同的全部依据。常用结构
这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。
配方法（有平方项）
第一步：挑一个有平方项的变量 x1，把所有含 x1 的项收在一起。
第二步：配成 a11(x1+⋯)2，减去多配出来的部分。
第三步：对剩下的（只含 x2,…,xn）重复，直到没有交叉项。
第四步：写出换元 yi，验可逆（逐级反解）；把结果展开回去核对等于原 f。例例. 用配方法化 f=x12+2x1x2+2x22+2x2x3+3x32。
第一步，x1 有平方项，把所有含 x1 的项收齐：x12+2x1x2。
第二步，配方并减去多配的部分：
x12+2x1x2=(x1+x2)2−x22,
代回得 f=(x1+x2)2+x22+2x2x3+3x32。
第三步，对剩下的重复：x22+2x2x3=(x2+x3)2−x32，于是
f=(x1+x2)2+(x2+x3)2+2x32.
第四步，换元 y1=x1+x2、y2=x2+x3、y3=x3。验可逆——逐级反解 x3=y3、x2=y2−y3、x1=y1−y2+y3，解得出来就可逆 ✓
配方法（无平方项）
第一步：找一个交叉项 xixj，作预备换元 xi=yi+yj、xj=yi−yj，其余不变。
第二步：代入，由平方差造出平方项。
第三步：转入「有平方项」的流程继续配。
第四步：把两次换元合成一个 C，并验其可逆。例例. 化 f=2x1x2+2x1x3−2x2x3。
第一步，一个平方项都没有。挑交叉项 x1x2，作预备换元
x1=y1+y2,x2=y1−y2,x3=y3.
第二步，代入，由平方差造出平方项：2x1x2=2(y12−y22)，而 2x3(x1−x2)=4y2y3，合起来
f=2y12−2y22+4y2y3.
第三步，有平方项了，转入上一条的流程：−2y22+4y2y3=−2(y2−y3)2+2y32，故
f=2y12−2(y2−y3)2+2y32.
第四步，令 z2=y2−y3，得 f=2z12−2z22+2z32。两次换元各自可逆，合成的 C 也可逆 ✓
正交变换法
第一步：写出对称矩阵 A（交叉项对半分）。
第二步：求全部特征值——标准形的系数就是它们，到这里已能写出标准形。
第三步：题目要 Q 时，对每个特征值求基础解系，重根组内施密特，全部单位化。
第四步：按列拼 Q（顺序与 Λ 对应），换元 x=Qy；用 AQ=QΛ 核验。例例. 同一个
f=3x12+2x1x2+3x22，两条路比一比。
第一步，对称矩阵
A=(3113)。
第二步，特征值
2,4 ⇒ 标准形
f=2y12+4y22，
到这里就能写出来。
第三步，要
Q 时：特征向量
(1,−1)T、
(1,1)T 都是单根，不用施密特，全部单位化。
第四步，
Q=21(1−111)，换元
x=Qy，用
AQ=QΛ 核验 ✓
和配方法比：配方法给的是
f=3(x1+31x2)2+38x22，系数
3 与
38，和正交变换的
2,4 不一样——标准形不唯一。但两者都是「两正」，那才是不变量。
基础易错
基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。
配方时漏掉含该变量的某一项
「所有含 x1 的项」要一次收齐，包括排在式子末尾的 x1x3。
漏一项，配出来的平方展开后对不上原式，后面全错。
自查：把配好的结果展开回去，必须等于原 f。几十秒，能抓住这类错误的绝大多数。换元不可逆
每次换元都要能唯一反解回 x。
按标准流程（逐个变量配、预备换元用 y1±y2）走，自动可逆；自己临时凑的换元就要验一下。
不可逆的换元会让秩下降，两个二次型不再等价。正交变换法里还去伸缩
伸缩换元 zi=∣di∣yi 不是正交变换，它改变长度。
题目要「用正交变换化标准形」，到标准形为止，系数保持是特征值，不要再压成 ±1。
只有问「规范形」时才做那一步。以为负项也能压成 +1
实数的平方非负，负号消不掉。
−9y22 只能压成 −z22，不可能变成 +z22。
这正是 q 成为不变量的根源——实可逆变换动不了符号。自己试一试
这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。
第一组 · 配方
练 1
x12+2x1x2=(x1+x2)2− ________。练 2
二次型 f=2x1x2 用配方法时应先（ ）。- A直接配方
- B令 x1=y1+y2、x2=y1−y2
- C求特征值
- D令 x1=x2
练 3
配方法中每一步的换元必须保证 ________。练 4
用正交变换化标准形时，标准形的系数是（ ）。- AA 的特征值
- BA 的对角元
- C任意实数
- D只能是 ±1
第二组 · 两种方法
练 5
f=(x1+x2)2+(x2+x3)2 的秩为 ________。练 6
题目要求「用正交变换化为标准形」，则（ ）。- A配方法也可以
- B必须求特征值与正交矩阵 Q
- C只需写出规范形
- D只需写出矩阵 A
练 7
标准形 f=4y12−y22 的规范形为 ________。练 8
正交变换的特殊之处在于（ ）。- ACT=C−1，使合同与相似重合
- B计算最简便
- C能把任意矩阵对角化
- D∣C∣=1
第三组 · 综合
练 9
f=x12+x22+x32+2x1x2 的正惯性指数 p= ________。练 10
配方法与正交变换法得到的标准形（ ）。- A完全相同
- B系数可能不同，但正负项个数相同
- C正负项个数也可能不同
- D无法比较
练 11
把 9y12 化为 z12 应令 z1= ________。练 12
检验配方结果有没有漏项，最快的办法是（ ）。- A求特征值核对
- B重新配一遍
- C把配好的式子展开回去，看是否等于原 f
- D验换元矩阵可逆