差分方程

高等数学 · 常微分方程

这一条要先会：一阶微分方程（可分离、齐次、线性、伯努利）、常系数齐次线性微分方程

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 差分：把导数换成「下一项减这一项」

自变量只取整数

t = 0, 1, 2, \dots

时，变化率不能用导数，要用差分：

Δ y_{t} = y_{t + 1} - y_{t} .

二阶差分就是再差一次：

Δ^{2} y_{t} = Δ y_{t + 1} - Δ y_{t}

。

含有未知函数

y_{t}

及其差分的方程叫差分方程；
阶等于方程里出现的下标最大差。例如

y_{t + 1} - 3 y_{t} = 2^{t}

是一阶的（下标相差

1

）。

和微分方程是一套对照的语言：导数

\leftrightarrow

差分，
连续时间

\leftrightarrow

离散时间，解的结构完全平行。

2. 一阶齐次：通解是等比数列

一阶常系数线性齐次差分方程

y_{t + 1} + a y_{t} = 0 (a \neq = 0)

可以直接迭代：

y_{t + 1} = - a y_{t}

，每走一步乘

- a

，于是

y_{t} = C (- a)^{t},

其中

C = y_{0}

是任意常数。

这就是等比数列，公比

- a

。

和微分方程对照着记：

y^{'} + a y = 0

的通解是

C e^{- a t}

，
这里把

e^{- a}

换成了

- a

——连续的指数换成离散的公比。

3. 一阶非齐次：通解 $=$ 齐次通解 $+$ 一个特解

对

y_{t + 1} + a y_{t} = f (t)

，解的结构和微分方程一模一样：

y_{t} = C (- a)^{t} + y_{t}^{*},

前一项是齐次通解，后一项是一个特解。

特解按

f (t)

的长相待定：

① $f (t) = b$ （常数）：试

y^{*} = A

，代入得

A = \frac{b}{1 + a}

（要求

a \neq = - 1

）；
若

a = - 1

，改试

y^{*} = A t

。

② $f (t) = d c^{t}$ （指数）：试

y^{*} = A c^{t}

，得

A = \frac{d}{c + a}

（要求

c + a \neq = 0

）；
若

c + a = 0

，改试

y^{*} = A t c^{t}

。

③ $f (t)$ 是 $t$ 的 $m$ 次多项式：试同次多项式；

a = - 1

时次数要抬高一次。

「要求…否则抬一次」这件事和微分方程的共振完全平行。

4. 经济里的差分方程

差分方程在数三里几乎总是从经济模型来的，因为经济数据按期计量。

存款模型：年利率

r

，每年末存入

b

，则

y_{t + 1} = (1 + r) y_{t} + b .

整理成标准形式

y_{t + 1} - (1 + r) y_{t} = b

，属于情形①。

价格调整模型：本期价格由上期供求决定，
通常化成

p_{t + 1} + a p_{t} = b

的样子。

读题的三步：找出「本期」与「下期」两个量、
把它们的关系写成等式、整理成标准形式。

长期趋势看公比：

∣ - a ∣ < 1

时

y_{t}

收敛到特解那个常数（稳定），

∣ - a ∣ > 1

时发散。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

化成标准形式

第一步：把所有

Δ

按定义展开成

y_{t + 1} - y_{t}

。

第二步：把未知函数的项移到左边、已知函数移到右边。

第三步：按下标从大到小排列，系数化简。

第四步：读出阶（下标的最大差）与

a

、

f (t)

。

例例. 把

Δ y_{t} + 2 y_{t} = 3^{t}

化成标准形式。

第一步，按定义展开：

Δ y_{t} = y_{t + 1} - y_{t}

。

第二步，代入并把未知函数的项移到左边：

y_{t + 1} - y_{t} + 2 y_{t} = 3^{t} ⟹ y_{t + 1} + y_{t} = 3^{t} .

第三步，下标已按从大到小排好，系数也化简了 ✓

第四步，读参数：阶

= 1

（下标的最大差是

1

），

a = 1

，

f (t) = 3^{t}

。

不先展开

Δ

就往下做，是这一节最常见的开局错误——

Δ y_{t}

和

y_{t}

根本不是同类项，合并出来的东西没有意义。

解一阶非齐次

第一步：先写齐次通解

C (- a)^{t}

。

第二步：按

f (t)

的长相选试探解（常数、

A c^{t}

、多项式）。

第三步：检查会不会撞上齐次解；撞上就乘一个

t

。

第四步：代回方程比较系数定出常数，两部分相加即通解。

例例. 解

y_{t + 1} + y_{t} = 3^{t}

。

第一步，齐次通解

C (- a)^{t} = C (- 1)^{t}

。

第二步，

f (t) = 3^{t}

是指数型，试探解设

y_{t}^{*} = A \cdot 3^{t}

。

第三步，检查会不会撞上齐次解：齐次是

(- 1)^{t}

，底数

3 \neq = - 1

，不撞 ✓（撞上就要乘一个

t

。）

第四步，代回方程比较系数：

A \cdot 3^{t + 1} + A \cdot 3^{t} = 3^{t} ⟹ 3 A + A = 1 ⟹ A = \frac{1}{4} .

通解

y_{t} = C (- 1)^{t} + \frac{3 ^{t}}{4} .

经济应用题

第一步：设出「第

t

期」的量，找出本期与下期的关系。

第二步：写成

y_{t + 1} + a y_{t} = f (t)

的标准形式。

第三步：求通解，再用初值定出常数。

第四步：问长期趋势时看

∣ - a ∣

与

1

的大小。

例例. 某人每年初存入

1

万元，年利率

5%

，按年复利。设

y_{t}

为第

t

年末的本息和，求

y_{t}

。

第一步，设第

t

年末为

y_{t}

（万元），

y_{0} = 0

。本期与下期的关系：下一年末

=

这一年末连本带利，再加新存的

1

万。

第二步，写成标准形式：

y_{t + 1} = 1.05 y_{t} + 1, 即 y_{t + 1} - 1.05 y_{t} = 1.

第三步，齐次通解

C \cdot 1.0 5^{t}

；

f (t) = 1

是常数，试探

y^{*} = A

（

1.05 \neq = 1

，不撞），代入

A - 1.05 A = 1

得

A = - 20

。由

y_{0} = 0

定

C = 20

：

y_{t} = 20 (1.0 5^{t} - 1) .

第四步，长期趋势看

∣ - a ∣ = 1.05 > 1

\Rightarrow

无限增长。若换成

y_{t + 1} = 0.8 y_{t} + 1

，

∣0.8∣ < 1

，

y_{t}

收敛到稳定值

\frac{1}{1 - 0.8} = 5

。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把公比的符号弄反

标准形式

y_{t + 1} + a y_{t} = 0

的通解是

C (- a)^{t}

，公比是

- a

。

方程写成

y_{t + 1} - 3 y_{t} = 0

时

a = - 3

，公比是

3

。

验算最快：把答案代回原方程看是否为零。

共振时没有乘 $t$

试探解撞上齐次解（

c + a = 0

，或常数项情形里

a = - 1

）时，
代入左边恒为零，解不出

A

。

这时要把试探解乘

t

。

和微分方程的共振是同一回事，判据也一样。

只写特解漏了齐次通解

通解

=

齐次通解

+

一个特解，缺一不可。

漏了

C (- a)^{t}

就没有任意常数，定不了初值。

检查：一阶方程的通解里必须有且只有一个任意常数。

阶数数错

阶等于下标的最大差，不是方程里项的个数。

y_{t + 2} - 5 y_{t + 1} + 6 y_{t} = 0

是二阶，不是三阶。

先化成标准形式再数，带

Δ

的写法容易看花。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认形式

练 1

按定义

Δ y_{t} =

________。

练 2

y_{t + 2} - 5 y_{t + 1} + 6 y_{t} = 0

是（）阶差分方程。

A一
B三
C二
D零

练 3

y_{t + 1} + a y_{t} = 0

（

a \neq = 0

）的通解为

C \cdot □^{t}

，其中

□ =

________。

练 4

一阶差分方程的通解中任意常数有（）个。

A $1$
B $2$
C $0$
D $t$

第二组 · 会解

练 5

y_{t + 1} - 3 y_{t} = 0

、

y_{0} = 2

的解为

y_{t} =

________。

练 6

y_{t + 1} + a y_{t} = b

（

a \neq = - 1

）的常数特解为 ________。

练 7

求

y_{t + 1} - 3 y_{t} = 2^{t}

的特解，应试（）。

A $A \cdot 3^{t}$
B $A \cdot 2^{t}$
C $A t \cdot 2^{t}$
D $A$

练 8

接上题，

y_{t + 1} - 3 y_{t} = 2^{t}

的通解为

C \cdot 3^{t} + □

，

□ =

________。

第三组 · 看结构

练 9

y_{t + 1} - 2 y_{t} = 3 \cdot 2^{t}

的特解应试（）。

A $A \cdot 2^{t}$
B $A$
C $A t \cdot 2^{t}$
D $A \cdot 3^{t}$

练 10

y_{t + 1} + a y_{t} = b

的解长期稳定，当且仅当（）。

A $∣ a ∣ < 1$
B $a > 0$
C $b = 0$
D $∣ - a ∣ < 1$

练 11

年利率

0.1

、每年末存入

1

、

y_{0} = 0

，则

y_{t} = 10 (□ - 1)

，

□ =

________。

练 12

差分方程与微分方程的解法对照，正确的是（）。

A指数函数的位置换成幂函数 $q^{t}$ ，共振时同样乘 $t$
B两者没有联系
C差分方程不需要齐次通解
D差分方程的通解没有任意常数

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

差分方程

先打基础

1. 差分：把导数换成「下一项减这一项」

2. 一阶齐次：通解是等比数列

3. 一阶非齐次：通解 = 齐次通解 + 一个特解

4. 经济里的差分方程

常用结构

化成标准形式

解一阶非齐次

经济应用题

基础易错

把公比的符号弄反

共振时没有乘 t

只写特解漏了齐次通解

阶数数错

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

3. 一阶非齐次：通解 $=$ 齐次通解 $+$ 一个特解

共振时没有乘 $t$