微分方程的综合与应用

高等数学 · 常微分方程

这一条要先会：一阶微分方程（可分离、齐次、线性、伯努利）、常系数非齐次线性微分方程、微积分基本定理与变限积分

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 几何条件：「切线」「截距」本来就是导数的说法

这类题的难点不在解方程，在翻译。常用的几句：

切线斜率 就是

y^{'}

。

切线方程：

Y - y = y^{'} (X - x)

，由它立刻得两个截距——

在 y 轴上 : Y = y - x y^{'};

在 x 轴上 : X = x - \frac{y}{y ^{'}} .

法线斜率 是

- \frac{1}{y ^{'}}

。

曲边梯形面积 是

\int_{0}^{x} y d t

。

流程：设曲线

y = y (x)

\to

把条件写成含

x, y, y^{'}

的等式

\to

解方程

\to

用「过某点」定出常数。

2. 变化率：关键词对应着方程的右端

物理、化学、生物里的「速率」题，翻译表更短：

「变化率」 就是

\frac{d y}{d t}

；

「与现有量成正比」 是

k y

；「与 $A - y$ 成正比」 是

k (A - y)

；

衰减、冷却要带负号：

\frac{d m}{d t} = - k m (衰变),

\frac{d T}{d t} = - k (T - T_{0}) (冷却) .

流程：设变量与单位

\to

写方程

\to

解

\to

用初始状态定常数

\to

回答问题（常问「多久」「到那时是多少」）。

3. 含变上限积分的方程：两边求导，初值回原式取

题目有时把条件写成积分方程，例如

y (x) = 1 + \int_{0}^{x} y (t) d t .

做法两步：

① 两边对 $x$ 求导。 由微积分基本定理，变上限积分一求导就没了，
剩下一个微分方程。

② 初值从原式取。 把下限那个值（这里是

x = 0

）代进原来的积分方程，
积分项为

0

，直接读出

y (0)

。

第二步是这类题的得分点。 求导丢掉了常数信息，初值只能回原式去拿。

4. 三步：设、列、答

应用题的形状很固定：

① 设. 谁是自变量（时间

t

还是横坐标

x

），谁是未知函数（温度

T

、质量

m

、曲线

y

），
带上单位。

② 列. 把条件翻译成含导数的等式，并把初值一并写下来。

③ 答. 解完回答实际问题——多久、多少、哪条曲线，不要停在

y = C e^{k x}

上。

初值有三个来源，别漏：

题目直说（「初始温度

100

度」）；几何条件（「过点

(1, 1)

」）；
把下限代回积分方程。

二阶方程要两个初值（

y (x_{0})

与

y^{'} (x_{0})

），少一个就定不出通解里的两个常数。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

几何条件：照翻译表写等式

第一步：设曲线

y = y (x)

，在草稿上写出切线方程

Y - y = y^{'} (X - x)

。

第二步：把题目那句几何条件翻成等式（截距、斜率、面积各有现成写法）。

第三步：认出方程类型（多半可分离或一阶线性），解出通解。

第四步：用「过某点」定常数，答出具体的曲线方程。

例例. 求一条曲线：它上面任一点处的切线在

y

轴上的截距等于该点的横坐标，且曲线过

(1, 0)

。

第一步，设曲线

y = y (x)

，草稿上先写切线方程

Y - y = y^{'} (X - x)

。

第二步，翻译「在

y

轴上的截距」——令

X = 0

得

Y = y - x y^{'}

。条件说它等于

x

：

y - x y^{'} = x .

第三步，整理成

y^{'} - \frac{1}{x} y = - 1

，一阶线性。积分因子

\frac{1}{x}

：

y = x (\int \frac{- 1}{x} d x + C) = x (C - ln x) .

第四步，过

(1, 0)

给出

C = 0

，故

y = - x ln x

。

翻译表要熟：

y

轴截距令

X = 0

，

x

轴截距令

Y = 0

，法线斜率是

- \frac{1}{y ^{'}}

。

变化率：关键词对右端

第一步：设未知量与自变量，写清单位。

第二步：「变化率」写成导数，「成正比」写成

k

乘那个量；衰减要带负号。

第三步：分离变量解出通解，用初始状态定常数。

第四步：若问「再过同样长的时间」，直接用公比，不必解出

k

。

例例. 某物质的衰减速率与现有质量成正比。已知

10

年衰减掉一半，问再过

10

年还剩百分之几？

第一步，设

m (t)

为

t

年后的质量（克），

m (0) = m_{0}

。

第二步，「变化率」写成

\frac{d m}{d t}

，「与现有质量成正比」写成

k m

，衰减要带负号：

\frac{d m}{d t} = - k m (k > 0) .

第三步，分离变量得

m = m_{0} e^{- k t}

。由

m (10) = \frac{m _{0}}{2}

得

e^{- 10 k} = \frac{1}{2}

。

第四步，问的是「再过同样长的时间」——直接用公比，不必解出 $k$ ：每过

10

年乘一次

\frac{1}{2}

，故

20

年后剩

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

，即

25%

。

硬解出

k = \frac{ln 2}{10}

再代回去答案一样，但多两行、多两处能把

ln

写错的地方。

积分方程：求导 $+$ 回原式取初值

第一步：两边对

x

求导，用微积分基本定理去掉变上限积分。

第二步：整理出微分方程并解出通解。

第三步：把积分下限那个值代回原积分方程，读出初值。

第四步：定出常数，并把答案代回原式验算一遍。

例例. 设

f (x)

连续且满足

f (x) = x + \int_{0}^{x} f (t) d t

，求

f (x)

。

第一步，两边对

x

求导，用微积分基本定理去掉变上限积分：

f^{'} (x) = 1 + f (x) .

第二步，这是一阶线性（也可分离），解得

f (x) = C e^{x} - 1

。

第三步，把下限那个值代回原积分方程读初值：令

x = 0

，右端的积分是

0

，故

f (0) = 0

。

第四步，

C - 1 = 0

给

C = 1

，所以

f (x) = e^{x} - 1

。

验算：

\int_{0}^{x} (e^{t} - 1) d t = e^{x} - 1 - x

，加上

x

正是

f (x)

✓

第三步最容易漏：求导会把常数信息丢掉，初值只能从原式里取回来。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

初值从求导后的方程里取

求导丢掉了常数，求导后的方程对一整族函数都成立，给不出初值。

y (x) = 1 + \int_{0}^{x} y d t

的那个

1

，只在原式里。

动笔顺序：求导得方程

\to

回原式取初值，两步分开写清楚。

切线截距的公式记混

y

轴上的截距是

y - x y^{'}

，

x

轴上的是

x - \frac{y}{y ^{'}}

——两式不对称，容易串。

稳妥办法是不背：写出切线方程

Y - y = y^{'} (X - x)

，令

X = 0

得前者，令

Y = 0

得后者。

五秒钟推一遍，比记混之后解错一整道题划算。

衰减、冷却忘了负号

「温度下降」「质量减少」对应的是

- k

（

k > 0

），写成

+ k

解出来是爆炸式增长。

症状很明显：算出来的温度越来越高、剩余质量越来越多。

答案不合常理时，先回去看那个符号。

算完不回答实际问题

题目问「再过

10

分钟温度是多少」，答案就该是一个带单位的温度。

停在

T - 20 = 80 e^{- k t}

上不得分；只写「

C = 80

」更不行。

最后一行必须是对原问题的回答，几何题则要写出具体的曲线方程。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 先学会翻译

练 1

把「曲线上任一点处切线的斜率等于该点的纵坐标」写成微分方程：________。

练 2

「某量的变化率与它的现有量成正比」对应的方程是（）。

A $\frac{d y}{d t} = k y$
B $\frac{d y}{d t} = k$
C $y = k t$
D $\frac{d y}{d t} = \frac{k}{y}$

练 3

曲线在点

(x, y)

处的切线在

y

轴上的截距，用

x, y, y^{'}

表示为 ________。

练 4

放射性物质的衰变方程是

\frac{d m}{d t} =

（）（

k > 0

）。

A $k m$
B $\frac{k}{m}$
C $- k m$
D $m^{2}$

第二组 · 解出来

练 5

解

y^{'} = y

且曲线过

(0, 1)

，得

y =

________。

练 6

曲线过

(1, 1)

，其上任一点切线在

y

轴上的截距等于该点纵坐标的两倍，则该曲线为

y =

________。

练 7

设

y (x) = 1 + \int_{0}^{x} y (t) d t

，则

y (0) =

________。

练 8

承上题，对

y (x) = 1 + \int_{0}^{x} y (t) d t

两边求导得（）。

A $y^{'} = 1 + y$
B $y^{'} = 1$
C $y^{''} = y$
D $y^{'} = y$

第三组 · 综合与应用

练 9

设

y (x) = 1 + \int_{0}^{x} y (t) d t

，则

y (x) =

________。

练 10

10 0^{\circ} C

的物体放入

2 0^{\circ} C

的环境，

10

分钟后降为

6 0^{\circ} C

，则再过

10

分钟温度为 ________ 摄氏度。

练 11

解含变上限积分的方程时，初值应当（）。

A从求导后的微分方程里取
B把积分下限那个值代回原积分方程取
C任意假设一个
D不需要初值

练 12数三

已知某商品的需求量

Q

对价格

p

的弹性恒为

- 1

，且

p = 1

时

Q = 100

，则需求函数

Q =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

微分方程的综合与应用

先打基础

1. 几何条件：「切线」「截距」本来就是导数的说法

2. 变化率：关键词对应着方程的右端

3. 含变上限积分的方程：两边求导，初值回原式取

4. 三步：设、列、答

常用结构

几何条件：照翻译表写等式

变化率：关键词对右端

积分方程：求导 + 回原式取初值

基础易错

初值从求导后的方程里取

切线截距的公式记混

衰减、冷却忘了负号

算完不回答实际问题

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12数三

积分方程：求导 $+$ 回原式取初值