欧拉方程

高等数学 · 常微分方程

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 认形状： $x$ 的幂次与导数的阶数配对

二阶欧拉方程：

x^{2} y^{''} + p x y^{'} + q y = 0,

其中

p, q

是常数。

认它只看一件事： $x$ 的幂次恰好等于导数的阶数。

x^{2}

配

y^{''}

、

x^{1}

配

y^{'}

、

x^{0}

配

y

——一个也不许错位。

它的系数含

x

，所以不是常系数方程，不能直接写特征方程。
但正是上面那种「配对」的结构，让一次换元就能把它变成常系数的。

三阶同理：

x^{3} y^{'''} + a x^{2} y^{''} + b x y^{'} + cy = 0

。

2. 换元 $x = e^{t}$ ：两个等式要背下来

设

x > 0

，令

x = e^{t}, t = ln x .

两个关键等式：

x y^{'} = \frac{d y}{d t},

x^{2} y^{''} = \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - \frac{d y}{d t} .

第二式里那个

- \frac{d y}{d t}

是本节最常漏的一笔，来源见下面的推导。

代进原方程，得到一个常系数方程：

\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + (p - 1) \frac{d y}{d t} + q y = 0.

按上一节解完，再把 $t = ln x$ 回代。

3. 捷径：直接设 $y = x^{k}$

齐次欧拉方程可以不换元，直接试

y = x^{k}

：

y^{'} = k x^{k - 1}, y^{''} = k (k - 1) x^{k - 2} .

代入

x^{2} y^{''} + p x y^{'} + q y = 0

，每一项都变成

x^{k}

的倍数：

[k (k - 1) + p k + q] x^{k} = 0,

于是

k (k - 1) + p k + q = 0.

这就是换元之后那个常系数方程的特征方程（只是把

r

叫成了

k

）。
三种情形照搬，只把 $t$ 换成 $ln x$ ：

k_{1} \neq = k_{2} k_{1} = k_{2} = k C_{1} x^{k_{1}} + C_{2} x^{k_{2}} (C_{1} + C_{2} ln x) x^{k}

复根

α \pm β i

那一行长一些，单独写：

x^{α} [C_{1} cos (β ln x) + C_{2} sin (β ln x)] .

4. 回代与 $x < 0$

换元时用了

t = ln x

，这默认了 $x > 0$ 。

x < 0

时取

t = ln ∣ x ∣

（相当于令

x = - e^{t}

），结论里把所有

ln x

换成

ln ∣ x ∣

，

x^{k}

换成

∣ x ∣^{k}

。考研里几乎都在

x > 0

上讨论，但写

ln ∣ x ∣

更稳妥。

回代必须做完：答案里不许留下

t

。

最常漏的是重根情形里的

ln x

——它就是换元后的那个

t

：

(C_{1} + C_{2} t) e^{k t} ⟶ (C_{1} + C_{2} ln x) x^{k} .

写成

(C_{1} + C_{2} x) x^{k}

等于把

t

当成了

x

，那是两个不同的变量。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

先认型：幂次与阶数配不配对

第一步：把方程整理成每一项「

x

的幂

\times

导数」的样子。

第二步：逐项核对幂次是否等于导数的阶数。

第三步：全部配对才是欧拉方程，往下走；有一项配不上就另寻办法。

第四步：确认

p, q

是常数（含

x

的系数不算）。

例例. 下面哪个是欧拉方程？

①

x^{2} y^{''} + 3 x y^{'} + y = 0

：逐项核对——

x^{2}

配

y^{''}

（幂

2 =

阶

2

✓）、

x

配

y^{'}

（

1 = 1

✓）、常数配

y

（

0 = 0

✓）。是，且

p = 3

、

q = 1

都是常数 ✓

②

x^{3} y^{''} + x y^{'} + y = 0

：第一项幂是

3

、阶是

2

，配不上。不是欧拉方程，另寻办法。

③

x^{2} y^{''} + x y^{'} + x y = 0

：前两项配得上，第三项

x

配

y

（幂

1

、阶

0

）配不上。不是。

第四步，还要确认

p, q

是常数。

x^{2} y^{''} + x \cdot x \cdot y^{'} + y = 0

整理后

p = x

，不是常数，也不算。

认型做实了，后面两条路才有意义——对着非欧拉方程设

y = x^{k}

，会得到一个含

x

的「特征方程」。

捷径：设 $y = x^{k}$

第一步：设

y = x^{k}

，代入得

k (k - 1) + p k + q = 0

。

第二步：解这个二次方程，看属于三种情形中的哪一种。

第三步：查表写通解，把常系数那张表里的

t

换成

ln x

、

e^{k t}

换成

x^{k}

。

第四步：注明

x > 0

（或写

ln ∣ x ∣

）。

例例. 解

x^{2} y^{''} + 3 x y^{'} + y = 0

（

x > 0

）。

第一步，设

y = x^{k}

，则

y^{'} = k x^{k - 1}

、

y^{''} = k (k - 1) x^{k - 2}

，代入约去

x^{k}

：

k (k - 1) + 3 k + 1 = 0, 即 k^{2} + 2 k + 1 = 0.

第二步，

(k + 1)^{2} = 0

，

k_{1} = k_{2} = - 1

——二重根。

第三步，查表。常系数那张表里二重根给

(C_{1} + C_{2} t) e^{k t}

；把

t

换成

ln x

、

e^{k t}

换成

x^{k}

：

y = \frac{C _{1} + C _{2} ln x}{x} .

第四步，注明

x > 0

（或把

ln x

写成

ln ∣ x ∣

以覆盖

x < 0

）。

第一步那个方程是

k (k - 1) + p k + q = 0

，不是

k^{2} + p k + q = 0

——那个

k (k - 1)

来自二阶导数，漏了整道题全错。

换元法：令 $x = e^{t}$

第一步：令

x = e^{t}

，把

x y^{'}

换成

\frac{d y}{d t}

。

第二步：把

x^{2} y^{''}

换成

\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - \frac{d y}{d t}

（别漏后一项）。

第三步：整理成常系数方程，按特征方程求通解。

第四步：回代

t = ln x

，答案里不留

t

。

例例. 同一道题（

x^{2} y^{''} + 3 x y^{'} + y = 0

），走换元这条路。

第一步，令

x = e^{t}

（即

t = ln x

），则

x y^{'} = \frac{d y}{d t}

。

第二步，

x^{2} y^{''} = \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} - \frac{d y}{d t}

别漏后面那一项——它是这条路上唯一会出错的地方。

第三步，代入得

(y_{tt} - y_{t}) + 3 y_{t} + y = 0, 即 y_{tt} + 2 y_{t} + y = 0,

常系数方程。特征方程

r^{2} + 2 r + 1 = 0

给二重根

r = - 1

，故

y = (C_{1} + C_{2} t) e^{- t}

。

第四步，回代

t = ln x

：

y = \frac{C _{1} + C _{2} ln x}{x}

，与捷径一致 ✓ 答案里不留 $t$ 。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

$x^{2} y^{''}$ 换元时漏掉 $- \frac{d y}{d t}$

正确的是

x^{2} y^{''} = y_{tt} - y_{t}

，那个负项来自对

\frac{1}{x}

求导。

漏掉它，常系数方程的一次项系数就从

p - 1

错成

p

，特征根全错。

症状：没有。 方程照样解得出来，答案形状也对。所以这一式要背准，
或者干脆走

y = x^{k}

那条捷径（它绕开了这一步）。

回代忘了把 $t$ 换回 $ln x$

答案里留着

t

或

e^{t}

，等于没回答原题——原题里的自变量是

x

。

换元只是中间手段，最后一步必须回去。

自检：答案里只许出现

x

、

ln x

和常数。

重根情形漏掉 $ln x$ ，或把它写成 $x$

重根的通解是

(C_{1} + C_{2} ln x) x^{k}

。

漏掉

ln x

只剩一个独立常数；写成

(C_{1} + C_{2} x) x^{k}

则根本不是解
（代回去验一下就露馅）。

记住来源：那个

ln x

就是换元后的

t

。

幂次不配对的方程硬当欧拉方程

x^{2} y^{''} + y^{'} = 0

、

x y^{''} + y = 0

都不是欧拉方程，换元之后仍带着

x

。

硬套

y = x^{k}

会发现代入后各项的

x

幂次不同，根本提不出公因子——
这正是「不配对」在计算里的样子。

遇到提不出公因子，回头检查认型那一步。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认型

练 1

下列是欧拉方程的是（）。

A $x y^{''} + y = 0$
B $y^{''} + x y = 0$
C $x^{2} y^{''} + x y^{'} + y = 0$
D $x^{2} y^{''} + y^{'} = 0$

练 2

欧拉方程的特点是：

x

的幂次与

y

的导数阶数 ________（填「相等」或「无关」）。

练 3

换元

x = e^{t}

（

x > 0

）时，

t =

________。

练 4

对齐次欧拉方程，可以直接试的解是（）。

A $y = x^{k}$
B $y = e^{r x}$
C $y = sin k x$
D $y = ln x$

第二组 · 两个等式

练 5

换元

x = e^{t}

后，

x y^{'} =

________（用

t

的导数表示）。

练 6

换元

x = e^{t}

后，

x^{2} y^{''} =

________。

练 7

x^{2} y^{''} + x y^{'} - y = 0

（

x > 0

）的通解为

y =

________。

练 8

x^{2} y^{''} - 3 x y^{'} + 4 y = 0

经

x = e^{t}

换元后变成（）。

A $y_{tt} - 3 y_{t} + 4 y = 0$
B $y_{tt} + 4 y = 0$
C $y_{tt} - 2 y_{t} + 4 y = 0$
D $y_{tt} - 4 y_{t} + 4 y = 0$

第三组 · 三种情形与回代

练 9

x^{2} y^{''} - 3 x y^{'} + 4 y = 0

（

x > 0

）的通解为

y =

________。

练 10

若关于

k

的方程有二重根

k = 2

，则欧拉方程的通解为（）。

A $(C_{1} + C_{2} x) x^{2}$
B $(C_{1} + C_{2} ln x) x^{2}$
C $C_{1} x^{2} + C_{2} x^{2}$
D $x^{2} e^{2 x}$

练 11

若关于

k

的方程的根为

1 \pm 2 i

，则通解为

y =

________。

练 12

换元法的最后一步「回代」要做的是（）。

A把 $x$ 换成 $e^{t}$
B把 $y$ 换成 $x$
C把 $t$ 换成 $ln x$
D不必回代

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

欧拉方程

先打基础

1. 认形状：x 的幂次与导数的阶数配对

2. 换元 x=et：两个等式要背下来

3. 捷径：直接设 y=xk

4. 回代与 x<0

常用结构

先认型：幂次与阶数配不配对

捷径：设 y=xk

换元法：令 x=et

基础易错

x2y′′ 换元时漏掉 −dtdy​

回代忘了把 t 换回 lnx

重根情形漏掉 lnx，或把它写成 x

幂次不配对的方程硬当欧拉方程

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 认形状： $x$ 的幂次与导数的阶数配对

2. 换元 $x = e^{t}$ ：两个等式要背下来

3. 捷径：直接设 $y = x^{k}$

4. 回代与 $x < 0$

捷径：设 $y = x^{k}$

换元法：令 $x = e^{t}$

$x^{2} y^{''}$ 换元时漏掉 $- \frac{d y}{d t}$

回代忘了把 $t$ 换回 $ln x$

重根情形漏掉 $ln x$ ，或把它写成 $x$