欧拉方程

§8.6 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.62 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

0.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）常系数齐次线性微分方程

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 换元算子公式 xᵏy⁽ᵏ⁾=D(D−1)…(D−k+1)y 的推导（含三阶验证）★ 要懂

在常用的换元

x = e^{t}

之下，有算子公式

x^{k} y^{(k)} = D (D - 1) \dots (D - k + 1) y

，其中

D = \frac{d}{d t}

。下面补上它的推导，说明式中的下降阶乘因子是怎样产生的。掌握了推导，处理高阶欧拉方程时就不必强记公式。

证明 / 推导

证设

t = ln x

，则

\frac{d t}{d x} = \frac{1}{x}

。以下记

\dot{()} = \frac{d}{d t}

。

一阶由

y^{'} = \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \frac{d t}{d x} = \frac{1}{x} \overset{y}{˙}

，得

x y^{'} = \overset{y}{˙} = D y

。

二阶由

y^{''} = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \overset{y}{˙}) = - \frac{1}{x ^{2}} \overset{y}{˙} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \overset{y}{¨} = \frac{1}{x ^{2}} (\overset{y}{¨} - \overset{y}{˙})

，得

x^{2} y^{''} = \overset{y}{¨} - \overset{y}{˙} = (D^{2} - D) y = D (D - 1) y .

三阶（验证下降阶乘式） 把

x^{2} y^{''} = \overset{y}{¨} - \overset{y}{˙}

两端求导数

\frac{d}{d x}

，得

2 x y^{''} + x^{2} y^{'''} = (y ... - \overset{y}{¨}) \frac{d t}{d x} = \frac{1}{x} (y ... - \overset{y}{¨}) .

两端乘

x

，再代入

x^{2} y^{''} = \overset{y}{¨} - \overset{y}{˙}

，得

x^{3} y^{'''} = (y ... - \overset{y}{¨}) - 2 (\overset{y}{¨} - \overset{y}{˙}) = y ... - 3 \overset{y}{¨} + 2 \overset{y}{˙} = D (D - 1) (D - 2) y .

这与公式

x^{k} y^{(k)} = D (D - 1) \dots (D - k + 1) y

一致。一般的

k

可用归纳法证明。

■

2. 重根为什么补 ln x：对指数 m 求导的证明

欧拉方程有二重根

m_{0}

时，第二个解取

x^{m_{0}} ln x

。通常的解释是先化为常系数方程，再引用

t

的重根补

t

这一结论。下面给出一个不作换元、直接在欧拉方程上进行的证明，所用的事实是：

ln x

恰为

x^{m}

关于参数

m

的导数，而且欧拉算子与关于参数的求导可以交换次序。这一证法还顺便说明了，

k

重根时应补上

(ln x)^{0}, \dots, (ln x)^{k - 1}

。

证明 / 推导

证设欧拉算子

L [y] = x^{2} y^{''} + p x y^{'} + q y

。把

y = x^{m}

代入，得

L [x^{m}] P (m) = [m (m - 1) + p m + q] x^{m} = P (m) x^{m} = m (m - 1) + p m + q .

注意到

L

的系数中不含参数

m

，因此

L

与

\frac{\partial}{\partial m}

可以交换次序。又

\frac{\partial}{\partial m} x^{m} = x^{m} ln x

。于是把上式两端求

\frac{\partial}{\partial m}

，得

L [x^{m} ln x] = \frac{\partial}{\partial m} [P (m) x^{m}] = P^{'} (m) x^{m} + P (m) x^{m} ln x .

如果

m_{0}

是二重根，那么

P (m_{0}) = 0

且

P^{'} (m_{0}) = 0

，代入上式得

L [x^{m_{0}} ln x] = 0,

即

x^{m_{0}} ln x

也是方程的解。它与

x^{m_{0}}

线性无关，因此二重根情形的通解为

(C_{1} + C_{2} ln x) x^{m_{0}}

。再求一次

\partial / \partial m

，即可证明

k

重根时要补到

(ln x)^{k - 1}

。

■

3. 复根为什么给出 xᵅcos(β ln x)：由 x^{iβ}=e^{iβ ln x} 作欧拉展开★ 要懂

欧拉方程的根为复数

m = α \pm i β

时，通解为

x^{α} [C_{1} cos (β ln x) + C_{2} sin (β ln x)]

。这里的辐角为什么是

ln x

而不是

x

，原因在于复数幂 $x^{m}$ 的定义以及欧拉公式。这一点如果不清楚，就容易误写成

cos (β x)

；弄明白它的来历，才不至于记反。

证明 / 推导

证设

x > 0

。按定义

x^{m} = e^{m l n x}

。取

m = α + i β

，得

x^{α + i β} = e^{(α + i β) l n x} = e^{α l n x} e^{i β l n x} = x^{α} [cos (β ln x) + i sin (β ln x)],

最后一步用了欧拉公式

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

，其中辐角

θ = β ln x

。这里出现的是 $ln x$ ，因为指数上带的就是 $ln x$ 。

因为原方程的系数是实数，复根成共轭对

α \pm i β

出现，所以取复值解

x^{α \pm i β}

的实部与虚部，便得到两个线性无关的实值解

x^{α} cos (β ln x), x^{α} sin (β ln x) .

与常系数方程中的

e^{(α + i β) t}

相比较，那里的辐角为

β t

，这里只需把

t

换成

ln x

。这就是换元

t = ln x

的必然结果。

■

举例说明

例. 解

x^{2} y^{''} + 3 x y^{'} + 5 y = 0 (x > 0)

。

解. 设

y = x^{m}

，代入得

m (m - 1) + 3 m + 5 = m^{2} + 2 m + 5 = 0 \Rightarrow m = - 1 \pm 2 i

，即

α = - 1, β = 2

。故

y = x^{- 1} [C_{1} cos (2 ln x) + C_{2} sin (2 ln x)] .

必须注意，辐角是

2 ln x

而不是

2 x

；幂指数是

x^{- 1}

，它由

α = - 1

得来。

4. 非齐次欧拉方程的完整范例：换元 x=eᵗ 化为常系数方程再回代★★ 必会

齐次欧拉方程的解法是基础。对于非齐次方程

x^{2} y^{''} + p x y^{'} + q y = f (x)

，直接设 $y = x^{m}$ 只能求得齐次方程的解，特解必须借助换元求出：令

x = e^{t}

，把整个方程化为常系数非齐次方程（右端的 $f (x)$ 也要换成 $f (e^{t})$ ），用待定系数法求出特解，最后再回代

t = ln x

。这是求解非齐次欧拉方程的标准步骤，也是最稳妥的做法。

举例说明

例. 解

x^{2} y^{''} + x y^{'} + y = x (x > 0)

。

换元令

x = e^{t}

，即

t = ln x

。这时

x y^{'} = D y, x^{2} y^{''} = D (D - 1) y

，右端

x = e^{t}

。代入原方程，得

D (D - 1) y + D y + y = e^{t} ⟹ (D^{2} + 1) y = e^{t},

即

\overset{y}{¨} + y = e^{t}

，这是以

t

为自变量的常系数方程。

齐次通解 由

r^{2} + 1 = 0, r = \pm i

，得

Y = C_{1} cos t + C_{2} sin t

。

特解右端为

e^{t}

，而

λ = 1

不是特征根，故设

y^{*} = a e^{t}

。代入得

a e^{t} + a e^{t} = 2 a e^{t} = e^{t} \Rightarrow a = \frac{1}{2}

，于是

y^{*} = \frac{1}{2} e^{t}

。

回代由

t = ln x

得

e^{t} = x, cos t = cos ln x

，故

y = C_{1} cos (ln x) + C_{2} sin (ln x) + \frac{1}{2} x .

对特解

y^{*} = \frac{x}{2}

加以验证：

x^{2} \cdot 0 + x \cdot \frac{1}{2} + \frac{x}{2} = x

✓。

💡 小知识

欧拉方程具有尺度不变性：把 x 换成 cx，也就是对坐标做一次伸缩，方程的形式不变。有了这种伸缩对称性，y=x^m 这样的试探解才会一举奏效。它也因此天然出现在球对称、柱对称的问题里，例如拉普拉斯方程分离变量后得到的径向方程，因为那里的空间本身就带着伸缩对称。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求欧拉方程

x^{2} y^{''} - 2 x y^{'} + 2 y = 0

的通解（

x > 0

）。难度 1

欧拉方程「

x^{k}

配

y^{(k)}

」，设

y = x^{m}

，则

x y^{'} = m x^{m}

，

x^{2} y^{''} = m (m - 1) x^{m}

，代入并约去

x^{m}

：

m (m - 1) - 2 m + 2 = 0 ⟹ m^{2} - 3 m + 2 = (m - 1) (m - 2) = 0,

得相异实根

m = 1, 2

。故通解

y = C_{1} x + C_{2} x^{2} .

例 2 求欧拉方程

x^{2} y^{''} - 3 x y^{'} + 4 y = 0

的通解（

x > 0

）。难度 2

设

y = x^{m}

，代入得

m (m - 1) - 3 m + 4 = 0

，即

m^{2} - 4 m + 4 = (m - 2)^{2} = 0,

得二重根

m = 2

。二重根情形要补一个

ln x

因子，故通解

y = (C_{1} + C_{2} ln x) x^{2} .

验证（对

y = x^{2} ln x

）：

y^{'} = 2 x ln x + x, y^{''} = 2 ln x + 3

，代入左端

x^{2} (2 ln x + 3) - 3 x (2 x ln x + x) + 4 x^{2} ln x = 0

。

例 3 求欧拉方程

x^{2} y^{''} + 3 x y^{'} + 5 y = 0

的通解（

x > 0

）。难度 2

令

x = e^{t}

（

t = ln x

）化为常系数方程。利用

x y^{'} = D y, x^{2} y^{''} = D (D - 1) y

（

D = \frac{d}{d t}

）：

D (D - 1) y + 3 D y + 5 y = (D^{2} + 2 D + 5) y = 0.

特征方程

r^{2} + 2 r + 5 = 0

，根

r = - 1 \pm 2 i

，故

y = e^{- t} (C_{1} cos 2 t + C_{2} sin 2 t)

。回代

t = ln x

：

y = x^{- 1} [C_{1} cos (2 ln x) + C_{2} sin (2 ln x)] .

注意三角函数的自变量是

ln x

而非

x

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

已知函数

f (u)

在区间

(0, + \infty)

内具有二阶导数，记

g (x, y) = f (\frac{x}{y})

。若

g (x, y)

满足

x^{2} \frac{\partial ^{2} g}{\partial x ^{2}} + x y \frac{\partial ^{2} g}{\partial x \partial y} + y^{2} \frac{\partial ^{2} g}{\partial y ^{2}} = 1

，且

g (x, x) = 1

，

\frac{\partial g}{\partial x}_{(x, x)} = \frac{2}{x}

，求

f (u)

2021 年 · 数一 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

欧拉方程

x^{2} y^{''} + x y^{'} - 4 y = 0

满足条件

y (1) = 1, y^{'} (1) = 2

的解为

y =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

欧拉方程

x^{2} y^{''} + 2 x y^{'} - 6 y = 0

的通解是（　）（

x > 0

）。

A $C_{1} x^{2} + C_{2} x^{- 3}$
B $C_{1} x^{2} + C_{2} x^{3}$
C $C_{1} x^{- 2} + C_{2} x^{3}$
D $C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- 3 x}$

练习 2 · 选择题

对欧拉方程

x^{2} y^{''} + p x y^{'} + q y = 0

，令

y = x^{m}

得到的关于

m

的特征方程是（　）。

A $m^{2} + p m + q = 0$
B $m (m - 1) + p m + q = 0$
C $m^{2} + (p + 1) m + q = 0$
D $m (m + 1) + p m + q = 0$

练习 3 · 选择题

欧拉方程

x^{2} y^{''} - x y^{'} + y = 0

的通解是（　）（

x > 0

）。

A $(C_{1} + C_{2} ln x) x$
B $(C_{1} + C_{2} x) x$
C $C_{1} x + C_{2} x^{- 1}$
D $x [C_{1} cos (ln x) + C_{2} sin (ln x)]$

练习 4 · 填空题

用换元

x = e^{t}

（记

D = \frac{d}{d t}

）把欧拉方程化为常系数方程时，

x^{2} y^{''}

应替换为 ____。

练习 5 · 选择题

欧拉方程

x^{2} y^{''} - 2 x y^{'} + 2 y = x^{2}

（

x > 0

）的通解是（　）。

A $y = C_{1} x + C_{2} x^{2} + \frac{x ^{2}}{2}$
B $y = C_{1} x + C_{2} x^{2} + x^{2} ln x$
C $y = C_{1} x + C_{2} x^{2} + x^{2} (ln x)^{2}$
D $y = C_{1} x + C_{2} x^{2} + x ln x$

练习 6 · 填空题

欧拉方程

x^{2} y^{''} - 3 x y^{'} + 3 y = 0

（

x > 0

）满足

y (1) = 1, y^{'} (1) = 5

的特解是

y =

____。

练习 7 · 解答题

考虑欧拉方程

x^{2} y^{''} + x y^{'} - y = \frac{1}{x} (x > 0) .

(1) 用换元

x = e^{t}

把它化为关于

t

的常系数线性微分方程；

(2) 求该方程的通解；

(3) 求满足

y (1) = 0, y^{'} (1) = 1

的特解。

2004 年 · 数一 · 第 4 题 · 填空题 · 4 分

欧拉方程

x^{2} \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} + 4 x \frac{d y}{d x} + 2 y = 0 (x > 0)

的通解为 ___。