常系数齐次线性微分方程

§8.4 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.46 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

2.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）高阶线性微分方程解的结构③ 掌握后可解锁常系数非齐次线性微分方程欧拉方程

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 先说清这一节讲的是哪一类方程：线性、常系数、齐次三个词各指什么★★ 必会

「常系数齐次线性微分方程」这个名字由三个限定词叠成，各管一件事，缺一件结论就不成立。

线性：未知函数

y

与它的各阶导数都只以一次幂出现，且彼此不相乘。

y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 0

是线性的；

y^{''} + y y^{'} = 0

（出现

y \cdot y^{'}

）与

(y^{'})^{2} + y = 0

（出现平方）都不是。三个词里这一个最要紧——叠加原理、通解结构、基础解系这一整套，只对线性方程成立。

常系数：各阶导数前面的系数是常数，不随

x

变。

y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 0

是常系数的；

y^{''} + x y^{'} + y = 0

的系数含

x

，它仍是线性方程，但不是常系数的。这个词决定了能不能用特征方程：变系数的线性方程一般没有初等解法。

齐次：方程右端为

0

。

y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 0

齐次，

y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = e^{x}

非齐次。

⚠️ 这里的「齐次」与一阶方程

y^{'} = f (\frac{y}{x})

那个「齐次方程」不是同一件事，只是中文译名撞了车：前者指右端为零，后者指右端是

y / x

的函数。

三个词合起来，本节处理的就是

y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = 0, a_{0}, \dots, a_{n - 1} 均为常数 .

为什么单独拎出这一类：它是高阶线性方程中唯一有通用初等解法的一类。由线性方程解的结构（见前置知识点「线性微分方程解的结构」）可知，解全体构成

n

维空间，求通解只需找出

n

个线性无关的解；而常系数这个条件让人可以直接猜

y = e^{λ x}

，把微分方程整个换成一个代数方程。下一条要点就从这里开始。

证明 / 推导

为什么偏偏猜

y = e^{λ x}

：因为指数函数求导只是自己乘一个常数，

(e^{λ x})^{(k)} = λ^{k} e^{λ x}

。代进方程，每一项都带着同一个因子

e^{λ x}

：

(λ^{n} + a_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0}) e^{λ x} = 0.

而

e^{λ x}

处处非零，可以约掉，微分方程就变成了关于

λ

的代数方程。

这一步用足了三个条件：系数是常数，才能把它们提到括号里凑成一个只含

λ

的多项式；方程是线性的，各项才能这样逐项相加；右端为零，才能直接约去

e^{λ x}

而不留下别的东西。任缺其一，这条路就走不通。

■

举例说明

判断下列方程属于哪一类：

(1)

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0

—— 线性、常系数、齐次，正是本节的对象。
(2)

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = e^{x}

—— 线性、常系数、非齐次，见下一节（先求出齐次通解，再补一个特解）。
(3)

x^{2} y^{''} + x y^{'} - y = 0

—— 线性、齐次，但系数含

x

，不是常系数；这是欧拉方程，要先换元化成常系数。
(4)

y^{''} + y y^{'} = 0

—— 出现

y \cdot y^{'}

，不是线性方程，本章整套结论都不适用。

易错之处：(3) 常被当成常系数直接写特征方程。判断时看的是系数里有没有

x

，不是看方程里有没有

x

。

2. 特征方程根 $\to$ 解三情形对照表：相异实根、 $k$ 重根、共轭复根 $α \pm i β$ （含二阶 $Δ$ 三分）★★ 必会

n

阶常系数齐次方程

y^{(n)} + a_{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = 0

，把

y = e^{λ x}

代入并约去

e^{λ x} \neq = 0

，得特征方程

λ^{n} + a_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0} = 0.

按根的类型逐条写出相应的解，各根所给出的解相加即为通解（恰含

n

个独立的任意常数）：

① 相异实根：每个单实根

λ_{i}

给出一项

C_{i} e^{λ_{i} x}

。

② $k$ 重实根 $λ$ ：给出

k

项

(C_{1} + C_{2} x + \dots + C_{k} x^{k - 1}) e^{λ x}

，即重根靠乘以

x

的各次幂来补足解的个数。

③ 共轭复根 $α \pm i β (β \neq = 0)$ ：一对单复根给出

e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x);

若为

k

重共轭复根，则为

e^{α x} [(C_{1} + \dots + C_{k} x^{k - 1}) cos β x + (D_{1} + \dots + D_{k} x^{k - 1}) sin β x]

。

二阶特化

y^{''} + p y^{'} + q y = 0

：特征方程

λ^{2} + p λ + q = 0

，判别式

Δ = p^{2} - 4 q

，
-

Δ > 0

：相异实根

λ_{1, 2} = \frac{- p \pm Δ}{2}

，通解

y = C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} e^{λ_{2} x}

；
-

Δ = 0

：二重根

λ = - \frac{p}{2}

，通解

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{λ x}

；
-

Δ < 0

：共轭复根

α \pm i β

，

α = - \frac{p}{2}, β = \frac{4 q - p ^{2}}{2}

，通解

y = e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x)

。

证明 / 推导

复根的情形为何得到 $e^{α x} cos β x, e^{α x} sin β x$ ：由欧拉公式

e^{(α \pm i β) x} = e^{α x} (cos β x \pm i sin β x)

得到一对复值解。线性方程的解集对线性组合封闭，故取

\frac{1}{2} (e^{(α + i β) x} + e^{(α - i β) x}) \frac{1}{2 i} (e^{(α + i β) x} - e^{(α - i β) x}) = e^{α x} cos β x = e^{α x} sin β x

即得两个实值且线性无关的解，用它们代替复值解作为实的基础解系。至于单根为何给出

e^{λ x}

、

k

重根为何要补上

x^{j}

（

j = 0, \dots, k - 1

），见后文算子分解一条中的统一证明；相异根所对应的解的线性无关性，见后文范德蒙行列式一条。

■

举例说明

两个小例（对应

Δ

三种情形中的前两种）：对

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0

，有

(λ - 2) (λ - 3) = 0

，故

y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{3 x}

；对

y^{''} + 2 y^{'} + y = 0

，有

(λ + 1)^{2} = 0

，

- 1

为二重根，故

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{- x}

。

真题（2017 数一） 求

y^{''} + 2 y^{'} + 3 y = 0

的通解。

解. 特征方程为

λ^{2} + 2 λ + 3 = 0

，其判别式

Δ = 4 - 12 = - 8 < 0

，故

λ_{1, 2} α = \frac{- 2 \pm - 8}{2} = - 1 \pm 2 i = - 1, β = 2 .

由 ③：

y = e^{- x} (C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x) (C_{1}, C_{2} 为任意常数) .

易错之处：这里

β = \frac{8}{2} = 2

，若漏除分母

2

，就会错写成

22

；此外，实系数方程的答案中不允许保留复指数

e^{(- 1 \pm 2 i) x}

，必须化成实的

cos / sin

形式。

3. 算子分解 L=∏(D−rᵢ)：统一说明单根给出 eʳˣ、k 重根补上 x⁰…xᵏ⁻¹★ 要懂

两个实根相互靠拢并取极限，可以直观地说明重根为何要补上

x

；下面给出严格而统一的算子分解方法，它对单根与重根一并适用。

记微分算子

D = \frac{d}{d x}

，则常系数方程

L [y] = 0

所对应的算子

L (D) = D^{n} + a_{n - 1} D^{n - 1} + \dots + a_{0}

是

D

的多项式。它可以像普通多项式那样因式分解（且各因子可以交换次序）：

L (D) = (D - r_{1}) (D - r_{2}) \dots (D - r_{n}) .

于是求解就化为逐个处理每个因子

(D - r_{i})

。为此先证下面的引理。

证明 / 推导

引理：

(D - r) [x^{j} e^{r x}] = j x^{j - 1} e^{r x}

。

证：

D [x^{j} e^{r x}] = j x^{j - 1} e^{r x} + r x^{j} e^{r x}

，故

(D - r) [x^{j} e^{r x}] = j x^{j - 1} e^{r x}

。

□

推论（单根）：当

j = 0

时

(D - r) e^{r x} = 0

，故

e^{r x}

是

(D - r)

的解，从而也是含有因子

(D - r)

的

L (D)

的解。

推论（ $k$ 重根）：反复应用引理，得

(D - r)^{k} [x^{j} e^{r x}] = j (j - 1) \dots (j - k + 1) x^{j - k} e^{r x} = 0 (j = 0, 1, \dots, k - 1),

这是因为当

j < k

时，连乘之中必出现因子

0

。故

e^{r x}, x e^{r x}, \dots, x^{k - 1} e^{r x}

全是

(D - r)^{k}

的解，共

k

个，且线性无关。

由于

L (D)

的各因子可以交换次序，每个因子

(D - r_{i})^{k_{i}}

所给出的解都是

L (D)

的解；凑齐

\sum k_{i} = n

个线性无关的解，即得通解。这就从算子的角度证明了根

\to

解的对照表。

■

举例说明

例. 解

y^{'''} - 3 y^{'} + 2 y = 0

。

特征方程为

λ^{3} - 3 λ + 2 = 0

，分解得

(λ - 1)^{2} (λ + 2) = 0

，即

L (D) = (D - 1)^{2} (D + 2)

。

- 因子

(D - 1)^{2}

（

1

为二重根）给出

e^{x}, x e^{x}

；
- 因子

(D + 2)

（

- 2

为单根）给出

e^{- 2 x}

。

故通解为

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x} + C_{3} e^{- 2 x}

。用算子分解，哪个根该补几个

x

就一目了然了。

4. 这 n 个解为何线性无关：朗斯基行列式化为范德蒙行列式

在相异根的情形，特征方程给出

n

个解

e^{r_{1} x}, \dots, e^{r_{n} x}

，它们线性无关、确能作为基础解系的理由何在？直接计算朗斯基行列式，就会出现著名的范德蒙（Vandermonde）行列式，其非零性一目了然。这也说明了相异特征根

\Rightarrow

解必线性无关的道理。

证明 / 推导

设相异根为

r_{1}, \dots, r_{n}

，

y_{k} = e^{r_{k} x}

，则

y_{k}^{(i)} = r_{k}^{i} e^{r_{k} x}

。朗斯基行列式为

W = e^{r_{1} x} r_{1} e^{r_{1} x} ⋮ r_{1}^{n - 1} e^{r_{1} x} \dots \dots \dots e^{r_{n} x} r_{n} e^{r_{n} x} ⋮ r_{n}^{n - 1} e^{r_{n} x} = e^{(r_{1} + \dots + r_{n}) x} 1 r_{1} ⋮ r_{1}^{n - 1} \dots \dots \dots 1 r_{n} ⋮ r_{n}^{n - 1} .

右端的行列式是范德蒙行列式，其值为

1 \leq i < j \leq n \prod (r_{j} - r_{i})

。因各根两两相异，每个因子都不为零，故连乘积不为零；又

e^{(\sum r_{k}) x} > 0

，所以

W \neq = 0

，这

n

个解线性无关。

■

（重根的情形也可类似验证，或者直接用上一条的算子分解来论证其独立性。）

5. 反问题：由通解或特征根反求微分方程★★ 必会

考研中常有反问的题目：给出通解的形式（或几个已知的解，或特征根），要求反推出那个常系数齐次方程。做法是：由解读出特征根，由根写出特征方程，再由特征方程写回微分方程。

读出特征根的规则（即对照表的逆用）：
- 见到

e^{r x}

\Rightarrow

有根

r

；若

x e^{r x}

与之同时出现

\Rightarrow

则

r

是重根；
- 见到

e^{α x} cos β x, e^{α x} sin β x

\Rightarrow

有一对共轭根

α \pm i β

。

把全部根找齐之后，特征方程

= \prod (λ - 根)

，再按

λ^{k} \leftrightarrow y^{(k)}

写回微分方程。方程的阶数 $=$ 独立解的个数，不能多也不能少。

举例说明

例 1. 已知某方程通解为

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{2 x}

，求该方程。

通解中含

e^{2 x}, x e^{2 x}

\Rightarrow

2

是二重根，故特征方程为

(λ - 2)^{2} = λ^{2} - 4 λ + 4 = 0

，于是

y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0 .

例 2. 已知

y = e^{- x} (C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x)

，求该方程。

由

α = - 1, β = 2

\Rightarrow

有根

- 1 \pm 2 i

，故特征方程为

(λ + 1)^{2} + 4 = λ^{2} + 2 λ + 5 = 0

，于是

y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0 .

（容易验证：把

λ = - 1 \pm 2 i

代回，确为它的根。）

6. 由特征根的实部判定解的最终性态（有界／趋于零／发散）

特征根不仅给出通解的形状，还直接决定解在 $x \to + \infty$ 时的性态。考研中常有判定全部解是否有界、是否趋于零的题目，逐一算出通解太慢，看根的实部最为迅速。

设根为

λ = α + i β

，则对应的解含有因子

e^{α x} (cos β x

或

sin β x)

，其增减完全由

e^{α x}

决定，也就是由实部

α = Re λ

决定：

① 如果所有根的实部都小于

0

，那么每个解都带有衰减因子，因此全体解 $\to 0$ （渐近稳定）。
② 如果有根的实部大于

0

，那么相应的解无界。
③ 如果各根的实部都不大于

0

，且实部为

0

的根都是单根，那么解有界（纯虚根给出等幅振荡

cos β x

）。
④ 如果实部为

0

的根是重根，那么解中出现

x cos β x

之类的项，仍然无界（这就是共振式的增长）。

这里的关键在于：因子

x^{k}

抵不过

e^{α x}

，当

α < 0

时

x^{k} e^{α x} \to 0

；而当

α = 0

时，

x^{k}

（

k \geq 1

）就使解无界。

必须注意口径的区别。 以上四条说的都是

x \to + \infty

时的性态。如果题目问的是解在整个实轴

(- \infty, + \infty)

上是否有界，那么条件要强得多。这时全部特征根的实部都必须等于 $0$ ，并且都是单根。原因在于当

x \to - \infty

时，指数因子的作用正好相反。如果

α < 0

，那么

e^{α x}

在左半轴上无限增大。例如方程

y^{''} + 2 y^{'} + y = 0

的特征根是二重根

λ = - 1

。按①与③，它的全部解当

x \to + \infty

时都趋于零，在右半轴上有界。但是解

(1 + x) e^{- x}

在

x = - 20

处约为

- 9.2 \times 1 0^{9}

。因此它在整个实轴上并不有界。

证明 / 推导

证 ① 先证

x \to + \infty lim x^{k} e^{α x} = 0

，其中

α < 0

，

k

为非负整数。记

β = - α > 0

，则

x^{k} e^{α x} = \frac{x ^{k}}{e ^{β x}}

。当

x \to + \infty

时这是

\frac{\infty}{\infty}

型。连续使用

k

次洛必达法则。分子每求一次导数就降低一次幂，

k

次之后成为常数

k!

。分母每求一次导数就乘上一个因子

β

，

k

次之后成为

β^{k} e^{β x}

。于是

x \to + \infty lim \frac{x ^{k}}{e ^{β x}} = x \to + \infty lim \frac{k !}{β ^{k} e ^{β x}} = 0.

又

∣ cos β x ∣ \leq 1

，

∣ sin β x ∣ \leq 1

，故

x^{k} e^{α x} cos β x

与

x^{k} e^{α x} sin β x

也趋于零。这就是实部为负时解衰减的根据。
② 再证判别法的两个方向。设基础解系为

y_{1}, \dots, y_{n}

，通解为

y = C_{1} y_{1} + \dots + C_{n} y_{n}

。
如果所有特征根的实部都小于零，那么每个

y_{i}

都形如

x^{j} e^{α x} cos β x

或

x^{j} e^{α x} sin β x

，其中

α < 0

。由①，每个

y_{i} \to 0

。有限个趋于零的函数的线性组合仍趋于零，所以全体解都趋于零。
反之，设有一个特征根的实部

α \geq 0

。在通解中取它所对应的一个系数为

1

，其余系数为

0

，就得到一个具体的解。若

α > 0

，则这个解含因子

e^{α x}

，当

x \to + \infty

时无界，特别地不趋于零。

β \neq = 0

时它在振荡中无界，并不趋于无穷。若

α = 0

而该根是重根，则可取出解

x^{j} cos β x

（

j \geq 1

，

β = 0

时为

x^{j}

），它也不趋于零。若

α = 0

而该根是单根，则相应的解是

cos β x

或

sin β x

（

β = 0

时为常数

1

），有界而不趋于零。三种情形下都有解不趋于零。因此全体解趋于零的充分必要条件是所有特征根的实部都小于零。
③ 有界的情形可以同样论证。设各根的实部都不大于零，且实部为零的根都是单根。这时每个

y_{i}

或者趋于零，或者是等幅振荡的

cos β x

与

sin β x

。它们都有界，故通解有界。若某个实部为零的根是重根，则

x cos β x

是一个解。当

β \neq = 0

时取

x_{m} = \frac{2 mπ}{β}

（

m = 1, 2, \dots

），得

x_{m} cos β x_{m} = x_{m} \to + \infty

；当

β = 0

时该解就是

x

，当

x \to + \infty

时趋于无穷。两种情形下解都无界。这就证明了由实部判定性态的各条结论。

■

举例说明

例. 判断下列各方程的解是否全都趋于

0

：

(1)

y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0

：根为

- 1 \pm 2 i

，

Re = - 1 < 0

，解形如

e^{- x} (C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x) \to 0

，故全体解趋于零。✓

(2)

y^{''} + 4 y = 0

：根为

\pm 2 i

，

Re = 0

且为单根，解

C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x

有界但不趋于零（等幅振荡）。✗

(3)

y^{''} - y = 0

：根为

\pm 1

，其中

Re = + 1 > 0

，解含

e^{x}

，故发散。✗

结论：只有 (1) 的全部解趋于

0

。判定的依据就是看所有根的实部是否都为负。

💡 小知识

指数函数是求导运算的特征函数，这一发现要归功于欧拉。他最早系统地用 e^{λx} 去猜常系数线性方程的解，把一道微积分难题化成了代数求根。这种寻找特征的思路后来在线性代数里开花结果：矩阵的特征值与特征向量、量子力学的定态波函数，说的都是同一件事，即找出那个被算子作用之后只相差一个数倍的对象。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求方程

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0

的通解。难度 1

按

y^{''} \to λ^{2}, y^{'} \to λ, y \to 1

写出特征方程：

λ^{2} - 5 λ + 6 = 0 ⟹ (λ - 2) (λ - 3) = 0,

得两相异实根

λ_{1} = 2, λ_{2} = 3

。每个单实根

r

贡献一个解

e^{r x}

，故通解

y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{3 x} .

例 2 求方程

y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0

的通解。难度 1

特征方程

λ^{2} - 4 λ + 4 = (λ - 2)^{2} = 0,

得二重实根

λ = 2

。

k

重实根贡献

e^{r x}, x e^{r x}, \dots, x^{k - 1} e^{r x}

，此处二重根贡献

e^{2 x}

与

x e^{2 x}

，故通解

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{2 x} .

例 3 求方程

y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = 0

的通解。难度 2

特征方程

λ^{2} - 2 λ + 2 = 0

，判别式

Δ = 4 - 8 = - 4 < 0

，得共轭复根

λ = \frac{2 \pm - 4}{2} = 1 \pm i,

即

α = 1, β = 1

。共轭复根

α \pm i β

贡献两个实值解

e^{α x} cos β x

与

e^{α x} sin β x

，故通解

y = e^{x} (C_{1} cos x + C_{2} sin x) .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

若微分方程

y^{''} + a y^{'} + b y = 0

的解在

(- \infty, + \infty)

上有界，则（　　）

A $a < 0, b > 0$ .
B $a > 0, b > 0$ .
C $a = 0, b > 0$ .
D $a = 0, b < 0$ .

2020 年 · 数一 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

若函数

f (x)

满足

f^{''} (x) + a f^{'} (x) + f (x) = 0 (a > 0)

，

f (0) = m

，

f^{'} (0) = n

，则

\int_{0}^{+ \infty} f (x) d x =

______.

2017 年 · 数一 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

微分方程

y^{''} + 2 y^{'} + 3 y = 0

的通解为

y =

______.

2016 年 · 数一 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

设函数

y (x)

满足方程

y^{''} + 2 y^{'} + k y = 0

，其中

0 < k < 1

。

（Ⅰ）证明：反常积分

\int_{0}^{+ \infty} y (x) d x

收敛；

（Ⅱ）若

y (0) = 1, y^{'} (0) = 1

，求

\int_{0}^{+ \infty} y (x) d x

的值。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

方程

y^{''} - y = 0

的通解是（　）。

A $C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}$
B $C_{1} cos x + C_{2} sin x$
C $(C_{1} + C_{2} x) e^{x}$
D $C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x}$

练习 2 · 填空题

方程

y^{''} + y = 0

满足

y (0) = 1, y^{'} (0) = 0

的特解

y =

____。

练习 3 · 选择题

方程

y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = 0

的通解是（　）。

A $C_{1} e^{3 x} + C_{2} e^{- 3 x}$
B $(C_{1} + C_{2} x) e^{3 x}$
C $(C_{1} + C_{2} x) e^{- 3 x}$
D $e^{3 x} (C_{1} cos x + C_{2} sin x)$

练习 4 · 选择题

若某二阶常系数齐次线性方程的通解为

y = e^{- x} (C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x)

，则它的特征根为（　）。

A $- 1 \pm 2 i$
B $1 \pm 2 i$
C $- 1, 2$
D $2 \pm i$

练习 5 · 选择题

已知

y_{1} = e^{x}

、

y_{2} = x e^{x}

、

y_{3} = e^{- 2 x}

都是某三阶常系数齐次线性微分方程的解，则该方程为（　）。

A $y^{'''} + 3 y^{'} - 2 y = 0$
B $y^{'''} - 3 y^{''} + 2 y = 0$
C $y^{'''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$
D $y^{'''} - y^{''} - 2 y^{'} = 0$

练习 6 · 填空题

设

y = y (x)

是方程

y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0

的解，且

y (0) = 1

，

y (x)

在

x = 1

处取得极值，则

y (x) =

____。

练习 7 · 解答题

设

y = y (x)

满足

y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 0, y (0) = 0, y^{'} (0) = 1.

(1)

求

y (x)

；

(2)

求

y (x)

在

[0, + \infty)

上的最大值；

(3)

计算广义积分

\int_{0}^{+ \infty} y (x) d x

。

2013 年 · 数一 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

设数列

{a_{n}}

满足条件：

a_{0} = 3

，

a_{1} = 1

，

a_{n - 2} - n (n - 1) a_{n} = 0 (n \geq 2)

，

S (x)

是幂级数

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

的和函数。

（Ⅰ）证明

S^{''} (x) - S (x) = 0

；

（Ⅱ）求

S (x)

的表达式。

2012 年 · 数一 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

若函数

f (x)

满足方程

f^{''} (x) + f^{'} (x) - 2 f (x) = 0

及

f^{''} (x) + f (x) = 2 e^{x}

，则

f (x) =

______.

常系数齐次线性微分方程

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 先说清这一节讲的是哪一类方程：线性、常系数、齐次三个词各指什么★★ 必会

2. 特征方程根 → 解三情形对照表：相异实根、k 重根、共轭复根 α±iβ（含二阶 Δ 三分）★★ 必会

3. 算子分解 L=∏(D−rᵢ)：统一说明单根给出 eʳˣ、k 重根补上 x⁰…xᵏ⁻¹★ 要懂

4. 这 n 个解为何线性无关：朗斯基行列式化为范德蒙行列式

5. 反问题：由通解或特征根反求微分方程★★ 必会

6. 由特征根的实部判定解的最终性态（有界／趋于零／发散）

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 特征方程根 $\to$ 解三情形对照表：相异实根、 $k$ 重根、共轭复根 $α \pm i β$ （含二阶 $Δ$ 三分）★★ 必会