常系数非齐次线性微分方程

先把这一节的对象说清。 待解的是常系数非齐次线性微分方程
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x),p,q\text{为常数},f(x)\not\equiv 0.$$
三个限定词各指一件事：线性——$y$ 与它的各阶导数都只以一次幂出现、彼此不相乘；常系数——$p,q$ 是常数，不随 $x$ 变；非齐次——右端 $f(x)$ 不恒为零（右端恒为零的是上一节的齐次方程）。三者缺一，下面整套做法都不适用（详见上一节第一条要点）。

为什么只求一个特解就够。 由线性方程解的结构，非齐次通解 $=$ 对应齐次通解 $+$ 它自己的任意一个特解：
$$y=Y+y^{\ast }.$$
$Y$ 用上一节的特征方程已经能求出来，所以这一节只剩后一半的活：找出一个 $y^{\ast }$。找哪一个都行——两个特解之差是齐次解，早被 $Y$ 那部分吸收了。

求常系数非齐次线性方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$ 的特解，最常用的是待定系数法。如果右端 $f(x)$ 具有指数 $\times$ 多项式 $\times$ 正余弦的形式，那么可以仿照右端的样子设出一个含待定系数的特解 $y^{\ast }$，再把它代回原方程，比较同类项的系数，即可把这些系数定出来。下面把要领列成一张特解形式表，解题时依表设形即可（以下 $P,Q,R,S$ 均表示多项式，下标表示它的次数）。

Ⅰ 型（指数 $\times$ 多项式） $f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$：
$$\boxed{y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}{Q}_m(x)}$$
其中 $Q_m$ 是与 $P_m$ 同次的 $m$ 次待定多项式，它的 $m+1$ 个系数都要写全，即使右端只出现最高次项也不能省略。有两个常见的特殊情形：右端为纯多项式 $f=P_m(x)$，相当于 $\lambda =0$；右端为纯指数 $f=A{e}^{\lambda x}$，相当于 $m=0$。

Ⅱ 型（指数 $\times$ 多项式 $\times$ 正余弦） $f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]$：
$$\boxed{y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}[R_m(x)\cos \beta x+S_m(x)\sin \beta x]},m=\max \{l,n\}$$
这里有两点必须注意：① $\cos$ 与 $\sin$ 必须同时设，即使右端只含 $\cos$ 或只含 $\sin$，$R_m$ 与 $S_m$ 也都不能省去，代入以后某些系数自然会定为 $0$；② 多项式的次数取两者中的较大者，即 $m=\max \{l,n\}$。

基本规则：$k=$ 对应特征根的重数。 所谓对应的特征根，是指由右端反推出来的那个数是否落在特征方程 ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$ 的根上：
- Ⅰ 型看实数 $\lambda$：$\lambda$ 不是特征根 $\Rightarrow k=0$；是单根 $\Rightarrow k=1$；是二重根 $\Rightarrow k=2$。
- Ⅱ 型看复数 $\alpha +i\beta$：它不是特征根 $\Rightarrow k=0$；是特征根 $\Rightarrow k=1$。（二阶方程的复根总是成共轭对 $\alpha \pm i\beta$ 出现，而且只能是单根，因此 Ⅱ 型的 $k$ 不是 $0$ 就是 $1$。）

$k>0$ 的情形称为共振，这时特解必须整体乘上因子 $x^k$。漏乘 $x^k$ 是本节最常见的错误，下面的例题对此作了分析。

叠加原理（右端为几项之和的情形） 设 $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$，而 $y_1^{\ast },y_2^{\ast }$ 分别是 $L[y]=f_1$ 与 $L[y]=f_2$ 的特解，则 $y_1^{\ast }+y_2^{\ast }$ 是 $L[y]=f_1+f_2$ 的特解。因此，如果右端形如 $f=e^x+\cos x$ 或 $f=x+e^{2x}$，那么应当拆成几项，逐项设出特解，最后相加。必须注意：每一项的 $k$ 都要各自单独判定，不能一概而论。

求解步骤 ① 求出特征根，写出齐次方程的通解 $Y$，同时为判定 $k$ 作好准备 $\to$ ② 判别 $f$ 的类型，必要时按叠加原理拆项 $\to$ ③ 对每一项按上表设出 $y^{\ast }$，其中 $k$ 取相应特征根的重数 $\to$ ④ 代入原方程，比较同类项的系数，解出待定系数 $\to$ ⑤ 写出通解 $y=Y+y^{\ast }$。

类型 II 要求 $\cos ,\sin$ 同时设出待定系数，代入后还要解一个二元方程组，计算繁琐而且容易出错。利用复化法可以把它归结为类型 I：由 $\cos \beta x=\mathrm{Re}{e}^{i\beta x}$，把实方程放到复数范围内考虑，右端就成为纯指数 $e^{(\alpha +i\beta )x}$；按最简单的类型 I 求出复值特解以后，取它的实部（或虚部）即为所求。

原理 设复方程 $L[z]=e^{(\alpha +i\beta )x}$ 的解为 $z=z_r+i{z}_i$。因为 $L$ 是实系数算子，所以 $L[z_r]=\mathrm{Re}(e^{(\alpha +i\beta )x})=e^{\alpha x}\cos \beta x$，$L[z_i]=e^{\alpha x}\sin \beta x$。由此可见，右端是 $\cos$ 时取 $z$ 的实部，是 $\sin$ 时取虚部。这样一次复数运算就抵得上两次实数运算。

前面用来说明共振的是类型 I 的例子 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=e^x$。下面再看一个类型 II 共振的典型方程 $y^{\prime \prime }+y=\cos x$：驱动频率恰与固有频率相等，$\alpha +i\beta =i$ 恰为特征根，故 $k=1$，特解必须乘上 $x$。这就是无阻尼受迫振动中的共振，其振幅无限增大，荡秋千越荡越高、桥梁因共振而振幅剧增都属于这种情形。

判定 $k$ 的要点 类型 II 要看复数 $\alpha +i\beta$ 是否为特征根。本例的特征根为 $\pm i$，而 $\cos x$ 所对应的数是 $0+1\cdot i=i$，它恰是单重特征根，故 $k=1$。这个因子 $x$ 最容易被遗漏。

待定系数法要先设出未知系数，再代入配平；如果右端是指数型的，用逆算子法可以直接写出特解，计算要快得多。基本公式是
$$\frac{1}{L(D)}{e}^{\lambda x}=\frac{1}{L(\lambda )}{e}^{\lambda x}(L(\lambda )\ne 0).$$
它来源于最基本的事实 $D{e}^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}$。由此可见，算子 $L(D)$ 作用在 $e^{\lambda x}$ 上，相当于把 $D$ 换成数 $\lambda$。当 $L(\lambda )=0$，即发生共振时，可用移位定理降一层来处理。

待定系数法中的规则，即$\lambda$ 是几重根就乘 $x$ 的几次方，且 $Q_m$ 与 $P_m$ 同次，并不是一种人为的约定，它是可以严格证明的。所用的工具仍是移位定理 $L(D)[e^{\lambda x}u]=e^{\lambda x}L(D+\lambda )u$，它把带指数因子的问题化为纯粹的多项式问题，因子 $x^k$ 的来历和次数为什么不变，由此都能看清。