微分方程的综合与应用

§8.7 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.00 分/卷近 11 年平均

0/11 年出现年份

0.0 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）一阶微分方程（可分离、齐次、线性、伯努利）常系数非齐次线性微分方程微积分基本定理与变限积分

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 正交轨线：把 y′ 换成 −1/y′ 的几何依据★★ 必会

正交轨线是微分方程几何应用中的典型问题：给定一族曲线

F (x, y, C) = 0

，求另一族曲线，使它与原族中的每一条曲线在交点处都垂直相交。这类问题在基础部分没有展开，却是数一常考的内容。

关键的一步 两条曲线在交点处垂直

⟺

它们的斜率互为负倒数。如果原族在某点的斜率为

y^{'}

，那么正交轨线在该点的斜率为

- \frac{1}{y ^{'}}

。据此可分三步求解：① 对原族求导并消去参数

C

，得到原族的微分方程

y^{'} = f (x, y)

；② 把其中的

y^{'}

换成

- \frac{1}{y ^{'}}

，即得正交轨线的微分方程；③ 解这个方程。

为什么必须先消去 $C$ 方程

y^{'} = f (x, y)

所描述的，是通过每一点的那条原族曲线在该点的斜率，它与

C

无关。只有把

C

消去，用

- 1/ y^{'}

作替换的做法才在每一点都成立。

证明 / 推导

证设原族中过点

(x, y)

的曲线在该点的斜率为

k_{1} = y^{'}

。正交轨线过同一点，它的切线与原曲线的切线垂直，故其斜率

k_{2}

满足

k_{1} k_{2} = - 1

，即

k_{2} = - \frac{1}{k _{1}} = - \frac{1}{y ^{'}} .

因此，只要原族满足

y^{'} = f (x, y)

，其中参数

C

已经消去，斜率在每一点都被确定，那么正交轨线在同一点处就满足

- \frac{1}{y ^{'}} = f (x, y) ⟺ y^{'} = - \frac{1}{f ( x , y )} .

解这个方程即得正交轨线族。

■

举例说明

例. 求抛物线族

y = C x^{2}

的正交轨线。

消去 $C$ 由

y^{'} = 2 C x

及

C = \frac{y}{x ^{2}}

，得原族的微分方程

y^{'} = 2 x \cdot \frac{y}{x ^{2}} = \frac{2 y}{x}

。

作替换 $y^{'} \to - \frac{1}{y ^{'}}$ 得

- \frac{1}{y ^{'}} = \frac{2 y}{x} \Rightarrow y^{'} = - \frac{x}{2 y}

，即

2 y d y = - x d x

。

积分得

y^{2} = - \frac{x ^{2}}{2} + C_{1}

，即

\frac{x ^{2}}{2} + y^{2} = C_{1}

，这是一族椭圆。由此可见，抛物线族

y = C x^{2}

与这族椭圆处处正交，两族曲线在图上构成一张正交的网。

2. Logistic（阻滞）方程的显式解：部分分式给出 S 形曲线

Logistic 方程

\frac{d N}{d t} = k N (1 - \frac{N}{M})

是常见的模型，通常只说它的图形呈

S

形，而没有把解求出来。它的显式解值得推导一遍：这是分离变量

+

部分分式的典型例子，也说明了曲线为什么呈

S

形并趋于环境容量

M

。

证明 / 推导

证把方程改写为

\frac{d N}{d t} = \frac{k}{M} N (M - N)

，分离变量，得

\frac{d N}{N ( M - N )} = \frac{k}{M} d t .

部分分式 由

\frac{1}{N ( M - N )} = \frac{1}{M} (\frac{1}{N} + \frac{1}{M - N})

，左端的积分为

\frac{1}{M} (ln N - ln (M - N)) = \frac{1}{M} ln \frac{N}{M - N} .

于是

ln \frac{N}{M - N} = k t + c_{1}

，取指数得

\frac{N}{M - N} = A e^{k t}

。由此解出

N

，得

N (t) = \frac{M}{1 + B e ^{- k t}} (B = \frac{M - N _{0}}{N _{0}}, 由 N (0) = N_{0} 定) .

性质当

t \to + \infty

时

N \to M

，即趋于环境容量；在

N = M /2

处增长最快，该点是曲线的拐点，曲线先凸后凹，呈平缓的

S

形。

■

举例说明

例. 某种群

\frac{d N}{d t} = N (1 - \frac{N}{100})

，

N (0) = 10

，求

N (t)

及

t \to \infty

的极限。

解. 这里

k = 1, M = 100

，

B = \frac{100 - 10}{10} = 9

，故

N (t) = \frac{100}{1 + 9 e ^{- t}} .

验证：

N (0) = \frac{100}{10} = 10

✓；当

t \to \infty

时，

N \to \frac{100}{1} = 100 = M

。可见种群数量受环境容量

M = 100

的限制而不再增长，这与阻滞增长的实际情形相符。

3. 卷积型积分方程 ∫₀ˣ(x−t)f(t)dt：先拆项，再逐次求导★★ 必会

在变限积分方程中，比较难于处理的一类，是被积函数含有

(x - t)

的卷积型方程，这时

x

既出现在积分上限，又出现在被积函数中。下面给出它的完整解法。

关键之处 不能直接对

\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t

求导，因为

x

在两处出现。应当先把 $x$ 提到积分号外，拆成两项：

\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t = x \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} t f (t) d t,

这时每个积分中的

x

只出现在上限，就可以放心使用变限积分的求导法则

(\int_{0}^{x} g)^{'} = g (x)

。通常要求导两次才能把积分号完全消去，从而得到一个二阶方程；初始条件则由原方程和一次求导后的等式在

x = 0

处读出，这时上限与下限相同，积分为零。

举例说明

例. 设

φ (x) = x + \int_{0}^{x} (x - t) φ (t) d t

，求

φ (x)

。

拆项得

φ (x) = x + x \int_{0}^{x} φ d t - \int_{0}^{x} tφ d t

。

第一次求导（对

x

求导），得

φ^{'} (x) = 1 + [\int_{0}^{x} φ d t + x φ (x)] - x φ (x) = 1 + \int_{0}^{x} φ (t) d t .

第二次求导 得

φ^{''} (x) = φ (x)

，即

φ^{''} - φ = 0

。

确定初始条件 在原式中令

x = 0 \Rightarrow φ (0) = 0

；在第一次求导所得的等式中令

x = 0 \Rightarrow φ^{'} (0) = 1

。

求解通解为

φ = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}

，由

φ (0) = 0, φ^{'} (0) = 1

定出

C_{1} = \frac{1}{2}, C_{2} = - \frac{1}{2}

，故

φ (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = sinh x .

由此可见，卷积型方程经两次求导即化为二阶常系数方程，这是积分方程

\to

微分方程这一转化的典型例子。

4. 混合稀释（水箱）问题：由流入−流出列一阶线性方程

水箱中的盐水稀释、体内血药浓度变化一类的混合稀释问题，是一阶线性方程的实际背景。所依据的守恒关系为

\frac{d ( 溶质 )}{d t} = 流入率 - 流出率

。下面给出完整的建模与求解过程。

建模要点 设

t

时刻的溶质量为

x (t)

。
- 流入率

=

流入液浓度

\times

流入体积速率；
- 流出率

=

当前浓度

\frac{x}{V ( t )} \times

流出体积速率，其中含有未知量

x

，方程因此才成为微分方程；
- 体积

V (t) = V_{0} + (流入速率 - 流出速率) t

。如果进出速率相等，那么

V

为常数，方程是常系数的一阶线性方程。

解出以后必须代入初始条件，并检验

t \to \infty

时的极限是否等于流入液浓度所对应的平衡量，同时核对量纲与正负号是否合理。

举例说明

例. 水箱内有

100 L

水，其中溶有盐

10 kg

。含盐

0.5 kg/L

的盐水以

3 L/min

流入，充分混合后以

3 L/min

流出。求

t

时刻箱内的盐量

x (t)

。

建模进出速率相等，故

V \equiv 100 L

。于是

\frac{d x}{d t} = 流入 0.5 \times 3 - 流出 \frac{x}{100} \times 3 = 1.5 - 0.03 x,

即一阶线性方程

\frac{d x}{d t} + 0.03 x = 1.5

。

求解取积分因子

e^{0.03 t}

，由

(e^{0.03 t} x)^{'} = 1.5 e^{0.03 t}

积分，得

x = 50 + C e^{- 0.03 t}

。再由

x (0) = 10 \Rightarrow C = - 40

，故

x (t) = 50 - 40 e^{- 0.03 t} .

检验当

t \to \infty

时

x \to 50 kg

，相应的浓度为

50/100 = 0.5 kg/L

，恰与流入液的浓度相同，可见所得的平衡状态是合理的。

💡 小知识

1798 年，马尔萨斯用 dN/dt=kN 这样的指数增长预言人口终将超过粮食供给，引发了一场关于末日的恐慌。1838 年，费尔许尔斯特（Verhulst）给它添上一个表示拥挤的修正项，得到 Logistic 方程 dN/dt=kN(1−N/M)，增长被环境容量 M 刹住，曲线也变成了平缓的 S 形。一个修正项，就把末日预言改写成了可持续的曲线。达尔文读过马尔萨斯，才由此想到生存竞争。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 某种细菌的数量

N (t)

的增长速度与当前数量成正比。已知

t = 0

时有

N_{0}

个，

2

小时后数量翻倍，求

N (t)

。难度 1

「增长速度与当前数量成正比」翻译为

\frac{d N}{d t} = k N (k > 0) .

这是可分离变量方程，

\frac{d N}{N} = k d t

，积分得

ln N = k t + C_{1}

，结合

N (0) = N_{0}

得

N = N_{0} e^{k t}

。再由「

2

小时翻倍」

N (2) = 2 N_{0}

：

e^{2 k} = 2 ⟹ k = \frac{ln 2}{2} .

故

N (t) = N_{0} e^{\frac{l n 2}{2} t} = N_{0} \cdot 2^{t /2} .

例 2 一条曲线过原点，其上任一点

(x, y)

处切线的斜率都等于该点横、纵坐标之和，求该曲线方程。难度 2

切线斜率为

y^{'}

，「斜率等于横、纵坐标之和」即

y^{'} = x + y ⟹ y^{'} - y = x .

这是一阶线性方程，

P = - 1, Q = x

，积分因子

μ = e^{- x}

，

(e^{- x} y)^{'} = x e^{- x}

，积分

\int x e^{- x} d x = - (x + 1) e^{- x} + C

：

e^{- x} y = - (x + 1) e^{- x} + C ⟹ y = - (x + 1) + C e^{x} .

由过原点

y (0) = 0

：

- 1 + C = 0

，

C = 1

。故

y = e^{x} - x - 1.

例 3 设连续函数

f (x)

满足

f (x) = e^{x} + \int_{0}^{x} f (t) d t

，求

f (x)

。难度 2

求导降级：两边对

x

求导，由微积分基本定理

(\int_{0}^{x} f)^{'} = f (x)

，得

f^{'} (x) = e^{x} + f (x) ⟹ f^{'} (x) - f (x) = e^{x} .

读初值：原方程令

x = 0

（变限积分为

0

）得

f (0) = e^{0} = 1

。 解一阶线性方程：积分因子

μ = e^{- x}

，

(e^{- x} f)^{'} = e^{- x} \cdot e^{x} = 1

，积分

e^{- x} f = x + C

，即

f = (x + C) e^{x}

。由

f (0) = 1

得

C = 1

。故

f (x) = (x + 1) e^{x} .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2015 年 · 数一 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

设函数

f (x)

在定义域

I

上的导数大于零。若对任意的

x_{0} \in I

，曲线

y = f (x)

在点

(x_{0}, f (x_{0}))

处的切线与直线

x = x_{0}

及

x

轴所围成区域的面积恒为

4

，且

f (0) = 2

，求

f (x)

的表达式。

2004 年 · 数一 · 第 16 题 · 解答题 · 11 分

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为

9000 kg

的飞机，着陆时的水平速度为

700 km/h

。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为

k = 6.0 \times 1 0^{6}

）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注：

kg

表示千克，

km/h

表示千米/小时。）

2001 年 · 数一 · 第 16 题 · 解答题 · 8 分

设有一高度为

h (t)

（

t

为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程

z = h (t) - \frac{2 ( x ^{2} + y ^{2} )}{h ( t )}

（设长度单位为厘米，时间单位为小时）。已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数

0.9

），问高度为

130

（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

一物体在温度为

T_{0}

的环境中冷却，其温度

T (t)

的变化率与它同环境的温差成正比。则

T (t)

满足的微分方程是（　）。

A $\frac{d T}{d t} = - k (T - T_{0}) (k > 0)$
B $\frac{d T}{d t} = k T$
C $\frac{d T}{d t} = - k T_{0}$
D $\frac{d T}{d t} = k (T - T_{0})^{2}$

练习 2 · 填空题

设连续函数

f (x)

满足

f (x) = 1 + \int_{0}^{x} f (t) d t

，则

f (x) =

____。

练习 3 · 选择题

曲线过点

(0, 1)

，且其上任一点处切线的斜率都等于该点的纵坐标

y

，则该曲线方程为（　）。

A $y = e^{x}$
B $y = e^{- x}$
C $y = x + 1$
D $y = cos x$

练习 4 · 选择题

对方程

f (x) = x + \int_{0}^{x} t f (t) d t

两边关于

x

求导，得（　）。

A $f^{'} (x) = x f (x) + 1$
B $f^{'} (x) = f (x) + 1$
C $f^{'} (x) = x f (x)$
D $f^{'} (x) = x + 1$

练习 5 · 选择题

曲线

y = y (x)

过点

(1, 0)

，且它在任一点

(x, y)

处的切线在

y

轴上的截距等于该点横坐标的平方，则该曲线方程为（　）。

A $y = x - x^{2}$
B $y = x^{2} - x$
C $y = x^{2} ln x$
D $y = 2 x - 2 x^{2}$

练习 6 · 填空题

曲线

y = y (x)

过点

(0, 1)

，且其上任一点处的法线都通过原点，则该曲线方程为 ____。

练习 7 · 解答题

设函数

f (x)

在

[0, + \infty)

上连续，且满足

f (x) = e^{x} + \int_{0}^{x} (t - x) f (t) d t .

求

f (x)

。

1999 年 · 数一 · 第 13 题 · 解答题 · 6 分

设函数

y (x) (x \geq 0)

二阶可导且

y^{'} (x) > 0

，

y (0) = 1

。过曲线

y = y (x)

上任意一点

P (x, y)

作该曲线的切线及

x

轴的垂线，上述两直线与

x

轴所围成的三角形的面积记为

S_{1}

，区间

[0, x]

上以

y = y (x)

为曲边的曲边梯形面积记为

S_{2}

，并设

2 S_{1} - S_{2}

恒为

1

，求此曲线

y = y (x)

的方程.

1998 年 · 数一 · 第 13 题 · 解答题 · 6 分

从船上向海中沉放某种探测器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度

y

（从海平面算起）与下沉速度

v

之间的函数关系。设仪器在重力作用下从海平面由静止开始铅直下沉，下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为

m

，体积为

B

，海水比重为

ρ

，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为

k (k > 0)

。试建立

y

与

v

所满足的微分方程，并求出函数关系式

y = y (v)

。

1997 年 · 数一 · 第 13 题 · 解答题 · 5 分

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的总人数为

N

，在

t = 0

时刻已掌握新技术的人数为

x_{0}

，在任意时刻

t

已掌握新技术的人数为

x (t)

（将

x (t)

视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数

k > 0

，求

x (t)

。