高阶线性微分方程解的结构

§8.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.66 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

1.7 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）一阶微分方程（可分离、齐次、线性、伯努利）向量组的线性相关性③ 掌握后可解锁常系数齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 解的结构定理组：齐次叠加、非齐次通解 $y = Y + y^{}$ 、两特解之差为齐次解、非齐次叠加原理★★ 必会*

记二阶线性方程的左端为

L [y] := y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y

；齐次方程

L [y] = 0

，非齐次方程

L [y] = f (x)

（以下结论对

n

阶线性方程同样成立）：

① 齐次解的叠加原理：若

y_{1}, y_{2}

是

L [y] = 0

的解，则任意组合

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}

仍是

L [y] = 0

的解；当

y_{1}, y_{2}

线性无关时，

Y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}

就是齐次通解（含全部齐次解）。

② 非齐次通解的结构：

L [y] = f

的通解

=

对应齐次通解

+

自己的任一特解：

y = Y + y^{*} = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + y^{*} .

③ 两特解之差：若

y_{1}^{*}, y_{2}^{*}

都是

L [y] = f

的解，则

y_{1}^{*} - y_{2}^{*}

是齐次方程

L [y] = 0

的解。（这一条最常用：由几个非齐次特解作差提取出齐次解，进而反求特征根与方程。）

④ 非齐次叠加原理：若

L [y_{1}^{*}] = f_{1}, L [y_{2}^{*}] = f_{2}

，则

L [y_{1}^{*} + y_{2}^{*}] = f_{1} + f_{2}

。（用途：当右端为

f = f_{1} + f_{2}

时，可以拆开分别求特解，再相加。）

总起来说：齐次方程的解集是一个线性空间（其维数

=

阶数，见后文条目），非齐次方程的解集则是它沿

y^{*}

平移所得的仿射集。作差得齐次解、按右端求和叠加，这些结论全都来自

L

的线性性。

证明 / 推导

上述四条全都出自线性性

L [α u + β v] = α L [u] + β L [v]

（求导与乘以系数函数都是线性运算，逐项验证即得）。

①

L [C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}] = C_{1} \cdot 0 + C_{2} \cdot 0 = 0

。③

L [y_{1}^{*} - y_{2}^{*}] = f - f = 0

。④

L [y_{1}^{*} + y_{2}^{*}] = f_{1} + f_{2}

。

② 一方面，

L [Y + y^{*}] = 0 + f = f

，故凡形如

Y + y^{*}

者都是解；另一方面，任取

L [y] = f

的一个解

y

，由 ③ 知

y - y^{*}

是齐次方程的解，而齐次通解包含全部齐次解（维数定理，见后文条目），故

y - y^{*} = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}

，即

y

必具有

Y + y^{*}

的形状。两方面合起来就证明了：

Y + y^{*}

恰好给出非齐次方程的全部解。

■

举例说明

真题（2013 数一） 已知

y_{1} = e^{3 x} - x e^{2 x}, y_{2} = e^{x} - x e^{2 x}, y_{3} = - x e^{2 x}

是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解，求其通解。

解. 先用 ③ 作差提取齐次解：

y_{1} - y_{3} y_{2} - y_{3} = e^{3 x} = e^{x}

它们都是对应齐次方程的解，且线性无关，故齐次通解为

Y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3 x}

（由此顺带读出特征根为

1, 3

）。再用 ②：

y_{3} = - x e^{2 x}

本身就是一个非齐次特解，故通解为

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3 x} - x e^{2 x} (C_{1}, C_{2} 为任意常数) .

易错之处：二阶方程的通解必须恰含 $2$ 个独立的任意常数，若写成

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + C_{3} y_{3}

就错了。同类型的真题（1989 数一）：当给出三个线性无关的特解

y_{1}, y_{2}, y_{3}

时，通解为

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}

，三个系数之和恒等于

1

。这就是把

C_{1} (y_{1} - y_{3}) + C_{2} (y_{2} - y_{3})

化归为齐次解

+

再加上特解

y_{3}

的结果。

2. 解空间的维数为什么恰好等于阶数 n：解与初值向量之间的线性同构★ 要懂

已知

n

阶齐次线性方程的解构成

n

维线性空间，但它为什么恰是 $n$ 维，不多也不少？答案在于初值问题的存在唯一性定理。

先说大意：

n

阶方程的一个解，一旦给定它在

x_{0}

处的

n

个初值

y (x_{0}), y^{'} (x_{0}), \dots, y^{(n - 1)} (x_{0})

，就被唯一确定；反过来，任给一组

n

个初值，总存在一个解与之对应。于是解与

n

维初值向量之间一一对应，解空间自然是

n

维的。这样，维数

=

阶数就由一句断语变成了可以证明的结论。

证明 / 推导

设系数

a_{i} (x)

在区间

I

上连续，

x_{0} \in I

。定义映射

Φ : V \to R^{n}, Φ (y) = (y (x_{0}), y^{'} (x_{0}), \dots, y^{(n - 1)} (x_{0})),

其中

V

是

L [y] = 0

的全体解。

$Φ$ 是线性的：求值与求导都是线性运算，故

Φ (c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}) = c_{1} Φ (y_{1}) + c_{2} Φ (y_{2})

。

$Φ$ 是单射：若

Φ (y) = 0

，即

y

与零解有相同的初值，则由唯一性得

y \equiv 0

，故

ker Φ = {0}

。

$Φ$ 是满射：任给

c \in R^{n}

，由存在性必有解

y

使

Φ (y) = c

。

因此

Φ

是线性同构，

dim V = dim R^{n} = n

。由此可见，任意 $n$ 个线性无关的解都构成基础解系，而通解含且仅含

n

个独立的任意常数。

■

3. 朗斯基行列式或者恒为零，或者处处非零：刘维尔公式的推导

要判断两个解

y_{1}, y_{2}

是否线性无关，可用它们的朗斯基（Wronskian）行列式

W (x) = y_{1} y_{1}^{'} y_{2} y_{2}^{'} = y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'} .

它满足一条很好的性质，即刘维尔（Liouville）公式：只要

y_{1}, y_{2}

是同一个方程

y^{''} + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = 0

的解（对

n

阶方程则把

a_{1}

换成次高项的系数

a_{n - 1}

），那么

W

本身就满足一阶线性方程

W^{'} = - a_{1} (x) W ⟹ W (x) = W (x_{0}) e^{- \int_{x_{0}}^{x} a_{1} (t) d t} .

因指数因子恒正，

W (x)

与

W (x_{0})

恒同号，于是

W

或者恒为零，或者处处非零：

W \equiv 0 \Leftrightarrow y_{1}, y_{2}

线性相关，

W

处处非零

\Leftrightarrow

二者线性无关。它的实用价值在于：判定线性无关只需在任意一点算出 $W (x_{0})$ 即可。下面就二阶情形推导这条公式。

证明 / 推导

设

y_{1}, y_{2}

是

y^{''} + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = 0

的解，

W = y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'}

。求导得

W^{'} = y_{1}^{'} y_{2}^{'} + y_{1} y_{2}^{''} - y_{2}^{'} y_{1}^{'} - y_{2} y_{1}^{''} = y_{1} y_{2}^{''} - y_{2} y_{1}^{''} .

把方程

y_{i}^{''} = - a_{1} y_{i}^{'} - a_{0} y_{i}

代入，得

W^{'} = y_{1} (- a_{1} y_{2}^{'} - a_{0} y_{2}) - y_{2} (- a_{1} y_{1}^{'} - a_{0} y_{1}) = - a_{1} (y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'}) - a_{0} (y_{1} y_{2} - y_{2} y_{1}) .

后一个括号为

0

，故

W^{'} = - a_{1} (x) W ⟹ W (x) = W (x_{0}) e^{- \int_{x_{0}}^{x} a_{1} (t) d t} .

因指数因子恒正，

W (x)

与

W (x_{0})

同号或同为零：若

W (x_{0}) = 0

，则

W \equiv 0

，此时两解线性相关；若

W (x_{0}) \neq = 0

，则

W

处处非零，此时两解线性无关。

■

4. 已知一个齐次解，用刘维尔公式求出第二个解（降阶法）★ 要懂

对于二阶齐次线性方程，如果已经求得一个解

y_{1}

（例如由观察得出），那么可以直接构造出与它线性无关的第二个解

y_{2}

，而不必再解方程。这在变系数方程中十分有用，也是刘维尔公式的直接应用。

做法（常数变易，即降阶）：设

y_{2} = v (x) y_{1}

，代入方程后

v

满足一个不含 $v$ 本身的可降阶方程，解得

y_{2} = y_{1} \int \frac{1}{y _{1}^{2}} e^{- \int a_{1} d x} d x .

弄清这个公式的来历，比单纯记忆它更为重要：分子

e^{- \int a_{1} d x}

恰是刘维尔公式中的

W

，而

y_{2} / y_{1}

的导数正比于

W / y_{1}^{2}

。

证明 / 推导

设

y_{2} = v y_{1}

。由朗斯基行列式的定义，

W = y_{1} y_{2}^{'} - y_{2} y_{1}^{'} = y_{1} (v y_{1})^{'} - v y_{1} \cdot y_{1}^{'} = y_{1} (v^{'} y_{1} + v y_{1}^{'}) - v y_{1} y_{1}^{'} = v^{'} y_{1}^{2}

。

又由刘维尔公式

W = e^{- \int a_{1} d x}

（取

W (x_{0}) = 1

），故

v^{'} y_{1}^{2} = e^{- \int a_{1} d x} ⟹ v^{'} = \frac{e ^{- \int a_{1} d x}}{y _{1}^{2}} ⟹ v = \int \frac{e ^{- \int a_{1} d x}}{y _{1}^{2}} d x .

于是

y_{2} = y_{1} \int \frac{e ^{- \int a_{1} d x}}{y _{1}^{2}} d x

，且

W = v^{'} y_{1}^{2} \neq = 0

，从而它与

y_{1}

线性无关。

■

举例说明

例. 已知

y_{1} = x

是

x^{2} y^{''} + x y^{'} - y = 0 (x > 0)

的一个解，求通解。

化为标准形

y^{''} + \frac{1}{x} y^{'} - \frac{1}{x ^{2}} y = 0

，其中

a_{1} = \frac{1}{x}

，

e^{- \int a_{1} d x} = e^{- l n x} = \frac{1}{x}

。代入公式，得

y_{2} = x \int \frac{1/ x}{x ^{2}} d x = x \int x^{- 3} d x = x \cdot (- \frac{1}{2 x ^{2}}) = - \frac{1}{2 x} .

略去常数因子，取

y_{2} = \frac{1}{x}

，故通解为

y = C_{1} x + \frac{C _{2}}{x} .

（这与按欧拉方程直接求解所得的

m^{2} - 1 = 0, m = \pm 1

完全一致。）

5. 常数变易法求非齐次特解：结构定理的构造性实现★★ 必会

结构定理指出，非齐次方程的通解

=

齐次通解

+

一个特解，但怎样求出那个特解呢？当右端

f (x)

不是

e^{λ x} \times

多项式或正弦这类便于处理的形式时，待定系数法失效，这时常数变易法是普遍适用的方法（数一要求掌握）。

基本思想：把齐次通解

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}

中的常数换成待定函数，设

y^{*} = u_{1} (x) y_{1} + u_{2} (x) y_{2}

。两个未知函数只受一个方程的约束，因此人为再加一个条件

u_{1}^{'} y_{1} + u_{2}^{'} y_{2} = 0

（使

y^{*}

的导数形式简洁），然后代入原方程，即可求得

u_{1}^{'}, u_{2}^{'}

。

证明 / 推导

设

y^{*} = u_{1} y_{1} + u_{2} y_{2}

，其中

y_{1}, y_{2}

为

y^{''} + a_{1} y^{'} + a_{0} y = 0

的基础解系。

加上约束

u_{1}^{'} y_{1} + u_{2}^{'} y_{2} = 0

，则

y^{*'} = u_{1} y_{1}^{'} + u_{2} y_{2}^{'}

；再求导得

y^{*''} = u_{1}^{'} y_{1}^{'} + u_{2}^{'} y_{2}^{'} + u_{1} y_{1}^{''} + u_{2} y_{2}^{''}

。代入

y^{*''} + a_{1} y^{*'} + a_{0} y^{*} = f

，并利用

y_{i}^{''} + a_{1} y_{i}^{'} + a_{0} y_{i} = 0

消去有关各项，得

u_{1}^{'} y_{1}^{'} + u_{2}^{'} y_{2}^{'} = f .

它与上述约束联立成线性方程组，其系数行列式恰是朗斯基行列式

W \neq = 0

，故由克拉默法则得

u_{1}^{'} u_{2}^{'} = - \frac{y _{2} f}{W} = \frac{y _{1} f}{W}

积分即得

u_{1}, u_{2}

，从而

y^{*} = u_{1} y_{1} + u_{2} y_{2}

。

■

举例说明

例. 求

y^{''} + y = sec x

的通解（右端

sec x

不是指数与多项式之积，待定系数法无从下手）。

齐次方程的基础解系为

y_{1} = cos x, y_{2} = sin x

，

W = cos x cos x - sin x (- sin x) = 1

。

u_{1}^{'} = - \frac{sin x sec x}{1} = - tan x \Rightarrow u_{1} = ln ∣ cos x ∣,

u_{2}^{'} = \frac{cos x sec x}{1} = 1 \Rightarrow u_{2} = x .

故

y^{*} = cos x ln ∣ cos x ∣ + x sin x

，通解为

y = C_{1} cos x + C_{2} sin x + cos x ln ∣ cos x ∣ + x sin x .

这类右端只能用常数变易法。它就是结构定理中只需求出一个特解这一论断的构造性实现。

6. 注意：由 W(x₀)=0 不能推出函数线性相关，经典反例 x² 与 x|x|

用朗斯基行列式作判别有一个严格的前提：被判定的函数必须是同一个齐次线性方程的解。对任意函数而言，

W \equiv 0

只是线性相关的必要条件，并不充分；确实存在处处

W = 0

而线性无关的函数对。考研题若在此处设问，必须分清一般的函数与方程的解。

证明 / 推导

取

f_{1} (x) = x^{2}, f_{2} (x) = x ∣ x ∣

，它们都定义在

(- \infty, + \infty)

上。

朗斯基行列式恒为零：因

f_{2}^{'} = 2∣ x ∣

，故

W = x^{2} 2 x x ∣ x ∣ 2∣ x ∣ = x^{2} \cdot 2∣ x ∣ - x ∣ x ∣ \cdot 2 x = 2 x^{2} ∣ x ∣ - 2 x^{2} ∣ x ∣ = 0 (\forall x) .

但二者线性无关：设

c_{1} x^{2} + c_{2} x ∣ x ∣ \equiv 0

。取

x = 1

得

c_{1} + c_{2} = 0

；取

x = - 1

得

c_{1} - c_{2} = 0

。解得

c_{1} = c_{2} = 0

，故

f_{1}, f_{2}

在

(- \infty, \infty)

上线性无关。

为什么这并不矛盾：由

W \equiv 0 \Rightarrow

线性相关这一推断，只对同一个二阶线性方程的解才成立；而

x ∣ x ∣

在

x = 0

处二阶导数不存在，故

f_{1}, f_{2}

不可能同是某个系数连续的二阶线性方程的解，定理的前提并不满足。

■

💡 小知识

解空间的维数等于方程的阶数，这句话把微分方程和线性代数接在了一起：n 阶齐次线性方程的解集是一个 n 维向量空间，基础解系就是它的一组基，朗斯基行列式非零说的则是这组基线性无关。把线性代数的四大空间学透，微分方程解的结构也就跟着清楚了。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 已知

y_{1} = e^{x}

与

y_{2} = e^{- x}

都是方程

y^{''} - y = 0

的解，判断它们是否线性无关，并写出通解。难度 1

先验证是解：

y_{1}^{''} - y_{1} = e^{x} - e^{x} = 0

，

y_{2}^{''} - y_{2} = e^{- x} - e^{- x} = 0

。计算朗斯基行列式

W (x) = e^{x} e^{x} e^{- x} - e^{- x} = e^{x} \cdot (- e^{- x}) - e^{- x} \cdot e^{x} = - 1 - 1 = - 2 \neq = 0.

故

y_{1}, y_{2}

线性无关，构成二阶齐次方程的基础解系。由解的结构定理，通解为

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} .

例 2 已知

y_{1} = e^{x}

与

y_{2} = e^{x} + x

是某二阶非齐次线性微分方程

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x)

的两个解，求其对应齐次方程的一个非零解。难度 2

记左端算子

L [y] = y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y

，则

L [y_{1}] = f, L [y_{2}] = f

。由

L

的线性性，

L [y_{2} - y_{1}] = L [y_{2}] - L [y_{1}] = f - f = 0,

即两个非齐次解之差是对应齐次方程的解。故

y_{2} - y_{1} = (e^{x} + x) - e^{x} = x

是齐次方程的一个非零解。

例 3 已知

y_{1} = 1, y_{2} = 1 + e^{x}, y_{3} = 1 + e^{x} + e^{- x}

是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，求该方程的通解。难度 2

两个非齐次解之差是对应齐次方程的解：

y_{2} - y_{1} = e^{x}, y_{3} - y_{2} = e^{- x} .

而

e^{x}

与

e^{- x}

之比

e^{2 x}

不是常数，二者线性无关，构成二阶齐次方程的基础解系，故齐次通解

Y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}

。又

y_{1} = 1

本身是原非齐次方程的一个特解，由「通解

=

齐次通解

+

特解」：

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} + 1.

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

设

f (u)

在区间

(0, + \infty)

内具有

3

阶连续导数，且存在可微函数

F (x, y)

使得

d F (x, y) = \frac{f ( x y )}{x ^{2} y} d x + \frac{f ^{''} ( x y )}{x y ^{2}} d y (x y > 0) .

（1）证明：

\frac{f ^{''} ( u )}{u} - \frac{f ( u )}{u} = C

，

C

为常数；

（2）设

f (1) = 1, f^{'} (1) = - 1, f^{''} (1) = 0

，求

f (u)

的表达式。

2023 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

若微分方程

y^{''} + a y^{'} + b y = 0

的解在

(- \infty, + \infty)

上有界，则（　　）

A $a < 0, b > 0$ .
B $a > 0, b > 0$ .
C $a = 0, b > 0$ .
D $a = 0, b < 0$ .

2017 年 · 数一 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

微分方程

y^{''} + 2 y^{'} + 3 y = 0

的通解为

y =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

y_{1}, y_{2}

是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关解，则该方程的通解为（　）。

A $C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}$
B $y_{1} + y_{2}$
C $C (y_{1} + y_{2})$
D $C_{1} y_{1} y_{2}$

练习 2 · 选择题

设

y_{1}, y_{2}

是非齐次线性方程

L [y] = f (f \neq \equiv 0)

的两个解，则下列一定是对应齐次方程

L [y] = 0

的解的是（　）。

A $y_{1} + y_{2}$
B $y_{1} - y_{2}$
C $2 y_{1}$
D $\frac{y _{1} + y _{2}}{2}$

练习 3 · 填空题

设

y_{1} = x^{2}

是

L [y] = f_{1}

的一个特解，

y_{2} = x

是

L [y] = f_{2}

的一个特解（

L

为同一线性算子），则

L [y] = f_{1} + f_{2}

的一个特解为 ____。

练习 4 · 选择题

已知

y_{1} = x, y_{2} = x + e^{x}, y_{3} = x + 2 e^{x}

是某二阶非齐次线性方程的三个解，则其对应齐次方程的一个非零解是（　）。

A $x$
B $e^{x}$
C $x + e^{x}$
D $2 x$

练习 5 · 选择题

已知

y_{1} = x e^{x}

，

y_{2} = x e^{x} + e^{- x}

，

y_{3} = x e^{x} + 2 e^{- x} + e^{2 x}

是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程是（　）。

A $y^{''} - y^{'} - 2 y = (1 + 2 x) e^{x}$
B $y^{''} + y^{'} - 2 y = (1 - 2 x) e^{x}$
C $y^{''} - y^{'} - 2 y = x e^{x}$
D $y^{''} - y^{'} - 2 y = (1 - 2 x) e^{x}$

练习 6 · 填空题

已知

y_{1} = e^{2 x}

，

y_{2} = e^{2 x} + x

，

y_{3} = e^{2 x} + x + e^{- x}

是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程满足初始条件

y (0) = 2, y^{'} (0) = 0

的解为 ____。

练习 7 · 解答题

已知

y_{1} (x) = x

与

y_{2} (x) = x ln x

都是二阶齐次线性微分方程

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = 0 (x > 0)

的解。
（1）验证

y_{1}, y_{2}

线性无关，并写出该齐次方程的通解；
（2）求

p (x)

与

q (x)

；
（3）已知

y^{*} = x^{2}

是非齐次方程

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x)

的一个特解，求

f (x)

，并求该非齐次方程满足

y (1) = 0, y^{'} (1) = 1

的解。

2016 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

若

y = (1 + x^{2})^{2} - 1 + x^{2}

，

y = (1 + x^{2})^{2} + 1 + x^{2}

是微分方程

y^{'} + p (x) y = q (x)

的两个解，则

q (x) =

（　　）

A $3 x (1 + x^{2}) .$
B $- 3 x (1 + x^{2}) .$
C $\frac{x}{1 + x ^{2}} .$
D $- \frac{x}{1 + x ^{2}} .$

2013 年 · 数一 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

已知

y_{1} = e^{3 x} - x e^{2 x}

，

y_{2} = e^{x} - x e^{2 x}

，

y_{3} = - x e^{2 x}

是某二阶常系数非齐次线性微分方程的

3

个解，则该方程的通解为

y =

______.

2011 年 · 数一 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

微分方程

y^{'} + y = e^{- x} cos x

满足条件

y (0) = 0

的解为

y =

______.

高阶线性微分方程解的结构

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 解的结构定理组：齐次叠加、非齐次通解 y=Y+y∗、两特解之差为齐次解、非齐次叠加原理★★ 必会

2. 解空间的维数为什么恰好等于阶数 n：解与初值向量之间的线性同构★ 要懂

3. 朗斯基行列式或者恒为零，或者处处非零：刘维尔公式的推导

4. 已知一个齐次解，用刘维尔公式求出第二个解（降阶法）★ 要懂

5. 常数变易法求非齐次特解：结构定理的构造性实现★★ 必会

6. 注意：由 W(x₀)=0 不能推出函数线性相关，经典反例 x² 与 x|x|

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 解的结构定理组：齐次叠加、非齐次通解 $y = Y + y^{}$ 、两特解之差为齐次解、非齐次叠加原理★★ 必会*