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高阶线性微分方程解的结构

高等数学 · 常微分方程

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 「线性」是全章的地基：叠加原理

二阶线性微分方程长这样：

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x) .

f \equiv 0

时叫齐次，否则叫非齐次。

「线性」指的是 $y$ 与它的导数都只以一次的身份出现：
没有

y^{2}

、没有

y y^{'}

、没有

sin y

。

p, q, f

可以是任意复杂的

x

的函数，
那不影响线性。

叠加原理（齐次）. 若

y_{1}, y_{2}

都是齐次方程的解，则对任意常数

C_{1}, C_{2}

，

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}

也是齐次方程的解。

这一条是本章所有结构的来源，而它只依赖一件事：求导是线性的。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

上面那条叠加原理的证明，手法是：把解代回方程，再按未知函数把各项重新分组。
相加能这么做，是因为求导是线性的；相减当然也可以。设

y_{1}^{*}

与

y_{2}^{*}

是同一个非齐次方程

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x)

的两个解。证明它们的差

y_{1}^{*} - y_{2}^{*}

是对应齐次方程

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = 0

的解。

照着刚才那条证明的样子，自己写一遍。

2. 两个线性无关的解才给出通解

定理. 若

y_{1}, y_{2}

是齐次方程的两个线性无关的解，则它的通解是

y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} .

两个函数线性无关的判据很简单：比值 $\frac{y _{2}}{y _{1}}$ 不是常数。

这和线代里的线性相关性是同一件事：两个向量（这里是两个函数）相关，
就是一个等于另一个的常数倍。

为什么必须无关：若

y_{2} = k y_{1}

，那么

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} = (C_{1} + k C_{2}) y_{1},

括号里整体仍是一个任意常数——只剩一个独立常数，配不上二阶方程。

3. 非齐次通解 $=$ 齐次通解 $+$ 一个特解

定理. 非齐次方程的通解是

y = Y + y^{*},

其中

Y

是对应齐次方程的通解（含两个常数），

y^{*}

是非齐次方程的任意一个特解。

理由就是上面那道题：两个非齐次解之差是齐次解。所以固定一个

y^{*}

之后，
任何别的解都等于「

y^{*}

加上某个齐次解」，而齐次解全体正是

Y

。

这和线性方程组的解的结构一模一样：

A x = b

的通解等于

A x = 0

的通解加上

A x = b

的一个特解。

两处的「特解任选一个都行」也是同一个道理——换一个特解，差别会被

Y

吸收掉。

4. 右端分项的叠加，与「给几个解求通解」

叠加原理（非齐次）. 若

y_{1}^{*}

是右端为

f_{1}

的特解、

y_{2}^{*}

是右端为

f_{2}

的特解，则

y_{1}^{*} + y_{2}^{*}

是右端为

f_{1} + f_{2}

的特解。

所以右端是几项之和时，分别求特解再相加——下一节求

f = e^{x} + sin x

这类
右端时就靠它。

考题里最爱考的是反过来用：给出几个非齐次解，求通解。手法三步：

两两作差得齐次解 $\to$ 挑出线性无关的两个 $\to$ 通解 $= C_{1} (差_{1}) + C_{2} (差_{2}) +$ 任一个给的解。

这类题不必反推方程（

p, q, f

一个都不知道），解的结构本身就够用。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断两个解是否线性无关

第一步：写出两个解的比值

\frac{y _{2}}{y _{1}}

。

第二步：化简后看它是不是常数——是常数就相关，不是就无关。

第三步：无关才能拼通解

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}

。

第四步：相关时说明「只有一个独立常数」，并去另找一个无关的解。

例例.

y_{1} = e^{x}

与

y_{2} = 2 e^{x}

线性无关吗？

y_{1} = e^{x}

与

y_{3} = x e^{x}

呢？

第一、二步，作比值：

\frac{y _{2}}{y _{1}} = 2

是常数

\Rightarrow

线性相关；

\frac{y _{3}}{y _{1}} = x

不是常数

\Rightarrow

线性无关。

第三步，所以

C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x}

才是二阶齐次方程的通解；而

C_{1} e^{x} + C_{2} \cdot 2 e^{x} = (C_{1} + 2 C_{2}) e^{x}

实际上只有一个独立常数，它盖不住二阶方程的全部解。

第四步，遇到第二种情形要把这一点说明，并另找一个与

e^{x}

无关的解（常用降阶法：设

y = u (x) e^{x}

代回方程）。

二阶方程的通解必须有两个独立常数——数常数是最快的自查。

给几个非齐次解，求通解

第一步：把给出的解两两作差，得到对应齐次方程的解。

第二步：在这些差里挑出线性无关的两个（比值不是常数）。

第三步：写齐次通解

Y = C_{1} u_{1} + C_{2} u_{2}

。

第四步：加上任一个给定的解作为特解，写出

y = Y + y^{*}

。不要去反推方程。

例例. 已知

y_{1} = x

、

y_{2} = x + e^{x}

、

y_{3} = x + e^{2 x}

都是某二阶非齐次线性方程的解，求通解。

第一步，两两作差，得对应齐次方程的解：

y_{2} - y_{1} = e^{x}, y_{3} - y_{1} = e^{2 x} .

第二步，

\frac{e ^{2 x}}{e ^{x}} = e^{x}

不是常数

\Rightarrow

这两个线性无关 ✓

第三步，齐次通解

Y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x}

。

第四步，加上任一个给定的解当特解（挑最简单的

y_{1} = x

）：

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} + x .

不要去反推那个方程。题目给的信息写通解已经够了，反推特征方程再求右端，是多做两步还多两处可错。

右端是几项之和

第一步：把右端拆成

f = f_{1} + f_{2}

（通常按函数类型拆）。

第二步：分别求

L [y] = f_{1}

与

L [y] = f_{2}

的特解

y_{1}^{*}

、

y_{2}^{*}

。

第三步：相加得

f

的特解

y^{*} = y_{1}^{*} + y_{2}^{*}

。

第四步：再加上齐次通解，得非齐次通解。

例例. 求

y^{''} - y = x + e^{2 x}

的通解。

第一步，右端按类型拆成

f_{1} = x

（多项式）与

f_{2} = e^{2 x}

（指数）。

第二步，特征方程

r^{2} - 1 = 0

给

r = \pm 1

，

Y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}

。

对

f_{1} = x

：

α = 0

不是特征根，设

y_{1}^{*} = a x + b

，代入

- a x - b = x

，得

y_{1}^{*} = - x

。

对

f_{2} = e^{2 x}

：

α = 2

不是特征根，设

y_{2}^{*} = c e^{2 x}

，代入

4 c - c = 1

，得

c = \frac{1}{3}

。

第三步，

y^{*} = - x + \frac{1}{3} e^{2 x}

。

第四步，通解

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} - x + \frac{1}{3} e^{2 x} .

拆开算的理由：两项的「共振」情况可能不同（一个

k = 0

、另一个

k = 1

），合起来设会设错形式。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把两个解之和当成通解

通解必须含任意常数，

y_{1} + y_{2}

里没有常数，它只是一个具体的解。

症状：答案写成

y = cos x + sin x

，一个

C

也没有。

自检：常数个数等于阶数。

拿线性相关的两个解拼通解

y_{2} = k y_{1}

时，

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} = (C_{1} + k C_{2}) y_{1}

，括号里整体是一个常数，
实际只有一个独立常数。

所以

C_{1} e^{x} + C_{2} e^{x}

不是任何二阶齐次方程的通解。

动笔前先算比值，这一步只要一秒。

非齐次通解漏掉特解

只写

Y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}

的话，代回方程左端得

0

，而右端是

f \neq = 0

——根本不是解。

症状：答案里没有任何「不带常数」的那一项。

检查办法：把答案代回原方程，看能不能出来右端那个

f

。

常数个数与阶数不符

二阶要两个独立常数：少了是没解完，多了是常数不独立。

给几个解求通解时，常见错误是把三个差都带上，写成三个常数。

二阶方程的齐次通解只要两个无关的解，多出来的那个一定能被前两个表示。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认结构

练 1

下列是二阶线性微分方程的是（）。

A $y^{''} + y^{'} y = 0$
B $y^{''} + y^{2} = 0$
C $y^{''} + x y^{'} + y = x$
D $y^{''} + sin y = 0$

练 2

方程

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x)

中，当

f \equiv 0

时称为 ________ 方程。

练 3

若

y_{1}, y_{2}

都是某二阶齐次线性方程的解，则一定也是解的是（）。

A $y_{1} y_{2}$
B $C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}$
C $\frac{y _{1}}{y _{2}}$
D以上都不是

练 4

y_{1} = cos x

与

y_{2} = sin x

的比值

\frac{y _{2}}{y _{1}} =

________，故它们线性无关。

第二组 · 无关与通解

练 5

函数

y_{1} = e^{x}

与

y_{2} = 2 e^{x}

（）。

A线性相关
B线性无关
C无法判断
D都不是微分方程的解

练 6

y^{''} + y = 0

的通解为

y =

________。

练 7

已知

y^{*} = 1

是

y^{''} + y = 1

的特解，则该方程的通解为

y =

________。

练 8

非齐次线性微分方程的通解结构是（）。

A对应齐次方程的通解
B它自己的一个特解
C对应齐次方程的通解 $+$ 它自己的一个特解
D两个特解之和

第三组 · 解的结构用起来

练 9

已知

y_{1} = x

、

y_{2} = x + e^{x}

、

y_{3} = x + e^{2 x}

是某二阶非齐次线性方程的解，则其通解为

y =

________。

练 10

设

y_{1}^{*}, y_{2}^{*}

是同一非齐次线性方程的两个解，则

y_{1}^{*} - y_{2}^{*}

（）。

A仍是该非齐次方程的解
B是对应齐次方程的解
C恒等于零
D不是任何方程的解

练 11

若

y_{1}^{*}

是右端为

f_{1}

的特解、

y_{2}^{*}

是右端为

f_{2}

的特解，则右端为

f_{1} + f_{2}

时的特解为 ________。

练 12

下列可以作为某二阶齐次线性方程通解的是（）。

A $C_{1} e^{x} + C_{2} e^{x}$
B $C_{1} + C_{2}$
C $C_{1} e^{x}$
D $C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x}$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

高阶线性微分方程解的结构

先打基础

1. 「线性」是全章的地基：叠加原理

请你先证

2. 两个线性无关的解才给出通解

3. 非齐次通解 = 齐次通解 + 一个特解

4. 右端分项的叠加，与「给几个解求通解」

常用结构

判断两个解是否线性无关

给几个非齐次解，求通解

右端是几项之和

基础易错

把两个解之和当成通解

拿线性相关的两个解拼通解

非齐次通解漏掉特解

常数个数与阶数不符

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

3. 非齐次通解 $=$ 齐次通解 $+$ 一个特解