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常系数齐次线性微分方程

高等数学 · 常微分方程

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 特征方程：把 $y^{''}$ 换成 $r^{2}$

这一节的方程里

p, q

是常数：

y^{''} + p y^{'} + q y = 0.

试一试

y = e^{r x}

。因为

y^{'} = r e^{r x}

、

y^{''} = r^{2} e^{r x}

，代入得

(r^{2} + p r + q) e^{r x} = 0.

而

e^{r x}

永远不为零，所以只需

r^{2} + p r + q = 0.

这个二次方程叫特征方程。写它的办法就一句话：

y^{''} \to r^{2}, y^{'} \to r, y \to 1.

两个前提别漏：

p, q

必须是常数（含

x

的不算）；

y^{''}

的系数必须先化成

1

。

2. 三种情形，一张表

特征方程

r^{2} + p r + q = 0

的根有三种可能，通解也就三种：

r_{1} \neq = r_{2} 实 r_{1} = r_{2} = r C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x} (C_{1} + C_{2} x) e^{r x}

共轭复根

α \pm β i

那一行长一些，单独写：

e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x) .

三种情形有一个共同点：都给出两个线性无关的解，所以都配两个常数。

两处最容易丢东西：

重根那里的 $x$ 不能漏——只写

C_{1} e^{r x}

的话只有一个独立常数。

复根那里 $cos$ 与 $sin$ 必须同时写，

β

取正的那个即可
（两个共轭根给的是同一对实函数）。

3. $n$ 阶：每个根按重数贡献，个数要凑够 $n$

n

阶常系数齐次方程的特征方程是

n

次的，连重数带复数一共

n

个根。
每个根按下面的规则贡献解：

$k$ 重实根 $r$ 贡献

k

个：

e^{r x}, x e^{r x}, \dots, x^{k - 1} e^{r x} .

$k$ 重共轭复根 $α \pm β i$ 贡献

2 k

个：

e^{α x} cos β x, e^{α x} sin β x, x e^{α x} cos β x, \dots

把所有贡献排在一起，配上

n

个任意常数，就是通解。

检查办法只有一个：数个数。

n

阶就该有

n

个函数、

n

个常数。

4. 反问题：由通解反求方程

考题也爱反着问：给通解，求方程。做法是把那张表倒着读。

先认特征根：

e^{2 x} \to r = 2; x e^{2 x} \to r = 2 二重;

cos 3 x, sin 3 x \to r = \pm 3 i; e^{x} cos 2 x \to r = 1 \pm 2 i .

再乘回去：特征方程就是

\prod (r - r_{i}) = 0

，展开后把

r^{k}

换成

y^{(k)}

。

要留神两样：复根必须成对出现（有

cos

就有

sin

，根是一对共轭）；
重根要数清重数（

x

的最高次幂加一）。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

正向求通解：写、解、查表

第一步：确认是常系数线性齐次方程，且

y^{''}

的系数为

1

（不是就先除）。

第二步：写特征方程（

y^{''} \to r^{2}

、

y^{'} \to r

、

y \to 1

）。

第三步：求根，判断属于三种情形中的哪一种。

第四步：查表写通解，数一下常数个数是否等于阶数。

例例. 解

2 y^{''} - 4 y^{'} + 2 y = 0

。

第一步，

y^{''}

的系数不是

1

，先除以

2

：

y^{''} - 2 y^{'} + y = 0

。

第二步，写特征方程（

y^{''} \to r^{2}

、

y^{'} \to r

、

y \to 1

）：

r^{2} - 2 r + 1 = 0

。

第三步，

(r - 1)^{2} = 0

，

r_{1} = r_{2} = 1

——二重实根。

第四步，查表：

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x}

。数常数：

2

个

=

阶数 ✓

为什么要先除：根本身不受影响（整式同除一个非零常数，根不变），但表里的

α = - \frac{p}{2}

、

β = \frac{4 q - p ^{2}}{2}

都是按

y^{''} + p y^{'} + q y = 0

写的。系数不化成

1

就对不上号，复根那一档尤其容易错。

$n$ 阶：按根与重数拼基本解组

第一步：把特征方程因式分解，列出每个根及其重数。

第二步：

k

重实根给

e^{r x}, x e^{r x}, \dots, x^{k - 1} e^{r x}

。

第三步：

k

重复根

α \pm β i

给

2 k

个，

cos

与

sin

成对、
再按

x

的幂次往上排。

第四步：所有函数配上常数相加；数个数，必须等于

n

。

例例. 解

y^{(4)} - 2 y^{'''} + 2 y^{''} - 2 y^{'} + y = 0

，已知特征方程可分解为

(r - 1)^{2} (r^{2} + 1) = 0

。

第一步，列根与重数：

r = 1

是二重实根；

r = \pm i

（即

α = 0

、

β = 1

）是单重复根。

第二步，二重实根

r = 1

给

e^{x}

、

x e^{x}

——两个。

第三步，单重复根给

cos x

、

sin x

——两个。（若它是二重复根，还要再给

x cos x

、

x sin x

，共四个。）

第四步，配上常数相加：

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x} + C_{3} cos x + C_{4} sin x .

数个数：

4

个

=

四阶 ✓ 少一个，就说明某个根的重数算漏了——这是

n

阶题唯一的自查手段。

反问题：认根、乘回去

第一步：从通解里逐项认特征根，注意

x

的幂次（重数）与

cos / sin

（复根成对）。

第二步：把根写成

\prod (r - r_{i}) = 0

，复根成对时用

(r - α)^{2} + β^{2}

更快。

第三步：展开成

r

的多项式。

第四步：把

r^{k}

换成

y^{(k)}

，写出方程；代一个解验算。

例例. 已知通解是

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{- x} + C_{3} cos 2 x + C_{4} sin 2 x

，求这个微分方程。

第一步，认根：

e^{- x}

带着

x

的一次幂

\Rightarrow

r = - 1

是二重根；

cos 2 x, sin 2 x

\Rightarrow

r = 0 \pm 2 i

，成对。共四个根，四阶方程。

第二步，写成乘积，复根那对用

(r - α)^{2} + β^{2}

更快：

(r + 1)^{2} (r^{2} + 4) = 0.

第三步，展开：

r^{4} + 2 r^{3} + 5 r^{2} + 8 r + 4 = 0

。

第四步，把

r^{k}

换成

y^{(k)}

：

y^{(4)} + 2 y^{'''} + 5 y^{''} + 8 y^{'} + 4 y = 0.

代一个解验算：

y = e^{- x}

的各阶导数轮流是

\pm e^{- x}

，代入得

(1 - 2 + 5 - 8 + 4) e^{- x} = 0

✓

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

$y^{''}$ 的系数不是 $1$ 就直接写特征方程

2 y^{''} + 3 y^{'} - y = 0

的特征方程是

2 r^{2} + 3 r - 1 = 0

，不是

r^{2} + 3 r - 1 = 0

。

稳妥的办法是先把方程两边除以最高阶导数的系数，再按口诀替换。

这一条和一阶线性那里「先化标准形」是同一个习惯。

重根只写一个 $e^{r x}$

二重根必须补上

x e^{r x}

，否则只有一个独立常数。

症状：二阶方程的通解里只有一个

C

。

k

重根要一直补到

x^{k - 1} e^{r x}

——幂次最高是重数减一。

复根情形只写 $cos$ 或只写 $sin$

一对共轭复根

α \pm β i

给出的是两个实函数

e^{α x} cos β x, e^{α x} sin β x,

少写一个就少一个常数。

另外

β

取正值即可，

\pm

已经体现在「两个函数」上了。

特征方程的系数位置写反

y^{''} + p y^{'} + q y = 0

对应

r^{2} + p r + q = 0

：

y^{'}

的系数配

r

的一次项，

y

的系数配常数项。

写成

r^{2} + q r + p = 0

时，根完全变了，而卷面上看不出任何异样。

按导数的阶数对应 $r$ 的次数，一个一个核对再求根。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 写特征方程

练 1

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0

的特征方程是 ________。

练 2

写特征方程时，

y^{''}

应换成（）。

A $r^{2}$
B $r$
C $2 r$
D $1$

练 3

y^{''} - 4 y = 0

的特征根是

r =

________。

练 4

下列方程中可以直接用特征方程法求解的是（）。

A $y^{''} + x y^{'} + y = 0$
B $y^{''} + y^{2} = 0$
C $y^{''} + 2 y^{'} + y = 0$
D $x^{2} y^{''} + y = 0$

第二组 · 三种情形

练 5

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0

的通解为

y =

________。

练 6

y^{''} - 2 y^{'} + y = 0

的通解为

y =

________。

练 7

y^{''} + 4 y = 0

的通解为

y =

________。

练 8

若特征方程有二重根

r

，则通解为（）。

A $C_{1} e^{r x}$
B $C_{1} e^{r x} + C_{2} e^{- r x}$
C $C_{1} cos r x + C_{2} sin r x$
D $(C_{1} + C_{2} x) e^{r x}$

第三组 · $n$ 阶与反问题

练 9

y^{'''} - y^{''} = 0

的通解为

y =

________。

练 10

以

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x}

为通解的二阶常系数齐次线性方程是 ________。

练 11

若特征根为

1 \pm 2 i

，则通解为（）。

A $C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x}$
B $e^{x} (C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x)$
C $e^{2 x} (C_{1} cos x + C_{2} sin x)$
D $C_{1} cos 2 x + C_{2} sin 2 x$

练 12

三阶常系数齐次线性方程的通解中应含（）个独立任意常数。

A $2$
B $4$
C $3$
D $1$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

常系数齐次线性微分方程

先打基础

1. 特征方程：把 y′′ 换成 r2

2. 三种情形，一张表

3. n 阶：每个根按重数贡献，个数要凑够 n

4. 反问题：由通解反求方程

常用结构

正向求通解：写、解、查表

n 阶：按根与重数拼基本解组

反问题：认根、乘回去

基础易错

y′′ 的系数不是 1 就直接写特征方程

重根只写一个 erx

复根情形只写 cos 或只写 sin

特征方程的系数位置写反

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 特征方程：把 $y^{''}$ 换成 $r^{2}$

3. $n$ 阶：每个根按重数贡献，个数要凑够 $n$

$n$ 阶：按根与重数拼基本解组

$y^{''}$ 的系数不是 $1$ 就直接写特征方程

重根只写一个 $e^{r x}$

复根情形只写 $cos$ 或只写 $sin$