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常系数非齐次线性微分方程

高等数学 · 常微分方程

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 总路线：齐次通解 $+$ 一个特解

y^{''} + p y^{'} + q y = f (x),

其中

p, q

是常数。

做法三步，一步也不能少：

① 解对应齐次方程（特征方程，上一节）得

Y

；

② 求一个特解

y^{*}

（本节的待定系数法）；

③ 相加：

y = Y + y^{*}

。

待定系数法只对两类右端有效，而考纲只要求这两类：

①

P_{m} (x) e^{α x}

；

②

e^{α x} (A cos β x + B sin β x)

。

纯多项式（

α = 0

）、纯指数（

m = 0

）、纯三角（

α = 0

）都是它们的特例。

核心思想一句话：右端是哪一类，特解就设成同一类，只是可能要乘上

x^{k}

。

2. 类型①： $f = P_{m} (x) e^{α x}$ ，设 $y^{*} = x^{k} Q_{m} (x) e^{α x}$

右端是「多项式乘指数」时，特解设成

y^{*} = x^{k} Q_{m} (x) e^{α x},

其中：

$Q_{m}$ 是与 $P_{m}$ 同次的待定多项式（系数全部待定，哪怕

P_{m}

缺项）；

$k = α$ 作为特征根的重数（

α

不是特征根时

k = 0

，单根时

k = 1

，二重根时

k = 2

）。

动笔三步：

读出 $α$ 与 $m$ $\to$ 把 $α$ 和特征根比，定 $k$ $\to$ 设 $y^{*}$ 、求导、代入、比系数。

α

恰是特征根的情形叫共振，那个

x^{k}

就是为它准备的。

3. 类型②： $f$ 带三角， $cos$ 与 $sin$ 必须同时设

右端为

f = e^{α x} (A cos β x + B sin β x)

时，特解设成

y^{*} = x^{k} e^{α x} (a cos β x + b sin β x),

其中

k = 1

当

α \pm β i

是特征根，否则

k = 0

。

最要紧的一条：即使右端只有 $cos$ ，特解里也要同时写 $cos$ 与 $sin$ 。

理由在求导：

cos

求导变

sin

，左边必然出现

sin

项；
只设

cos

的话没有东西和它配平，方程会逼出

a = 0

，特解退化成

0

。

算完若发现

b = 0

，那是结果，不是可以事先省掉的前提。

4. 右端分项，以及初值什么时候代

右端是两类之和（如

f = x + e^{x}

）时，用上一节的叠加原理：

分别求特解，再相加。

y_{1}^{*}

配

f_{1}

、

y_{2}^{*}

配

f_{2}

，则

y^{*} = y_{1}^{*} + y_{2}^{*}

。

每一项各自定自己的

k

——两项的共振情况可以不一样。

带初值条件时，必须先写出完整通解（含特解），再代初值。

先写

y = Y + y^{*}

，再代

y (x_{0})

与

y^{'} (x_{0})

，最后定出

C_{1}, C_{2}

。

对着只有

Y

的式子代初值，解出来的

C_{1}, C_{2}

是另一个问题的答案，
而卷面上看不出任何破绽。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

定 $k$ ：拿 $α$ 去和特征根比

第一步：先把特征根求出来（这一步不能省，

k

全靠它）。

第二步：类型①读出

α

；类型②读出

α, β

并组成

α + β i

。

第三步：它不是特征根则

k = 0

；是单根则

k = 1

；是二重根则

k = 2

。

第四步：把

x^{k}

写进待设的特解里。

例例.

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = f (x)

的特征根是

r = 1, 2

。下面三个右端各取什么

k

？

第一步，特征根已求出：

1

和

2

，都是单根。这一步不能省， $k$ 全靠它。

第二、三步，

①

f = x e^{3 x}

：

α = 3

，不是特征根

\Rightarrow

k = 0

，设

y^{*} = (a x + b) e^{3 x}

；

②

f = e^{x}

：

α = 1

，是单根

\Rightarrow

k = 1

，设

y^{*} = a x e^{x}

；

③

f = e^{x} cos x

：要拿

α + β i = 1 + i

去比，它不是特征根

\Rightarrow

k = 0

，设

y^{*} = e^{x} (a cos x + b sin x)

。

第四步，把

x^{k}

写进去。

k

定错时，代入后会解出矛盾的方程组（系数被迫全为零却配不上右端）——那是在提醒你回去重数一遍重数。

设、求导、代入、比系数

第一步：按类型写出

y^{*}

的一般形式，待定系数全部保留（多项式不要降次）。

第二步：求

y^{*}^{'}

与

y^{*}^{''}

，整理成「同类项」的样子。

第三步：代入方程左边，合并同类项（按

x

的幂次、或按

cos / sin

）。

第四步：与右端逐项比系数，解出待定系数；最后别忘加上

Y

。

例例. 求

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{x}

的通解。

第一步，由上一条，

α = 1

是单根，

k = 1

，设

y^{*} = a x e^{x}

（待定系数保留，别自作主张降次）。

第二步，求导：

y^{*'} = a (1 + x) e^{x}

，

y^{*''} = a (2 + x) e^{x}

。

第三步，代入左边合并：

a [(2 + x) - 3 (1 + x) + 2 x] e^{x} = - a e^{x} .

x

的系数正好抵消——这是

α

恰为特征根的必然结果。

第四步，与右端比：

- a = 1

，

a = - 1

，

y^{*} = - x e^{x}

。别忘加 $Y$ ：

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} - x e^{x} .

若第一步漏了那个

x

（设成

a e^{x}

），代入左边得

a (1 - 3 + 2) e^{x} = 0

，永远配不出

e^{x}

——这正是上一条说的「矛盾方程组」。

右端分项与初值

第一步：把右端按类型拆成

f_{1} + f_{2}

。

第二步：各自定

k

、各自求特解（两项的共振情况可能不同）。

第三步：特解相加，再与齐次通解相加，写出完整通解。

第四步：有初值时，对完整通解求导并代入，解出

C_{1}, C_{2}

。

例例. 求

y^{''} - y = 2 + e^{x}

满足

y (0) = 0

、

y^{'} (0) = 0

的解。

第一步，右端拆成

f_{1} = 2

、

f_{2} = e^{x}

。特征根

r = \pm 1

，

Y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}

。

第二步，各自定 $k$ ：

f_{1}

的

α = 0

不是特征根，设

y_{1}^{*} = a

，代入

- a = 2

得

a = - 2

；

f_{2}

的

α = 1

是单根，设

y_{2}^{*} = b x e^{x}

，代入得

2 b = 1

，

b = \frac{1}{2}

。

两项的共振情况不同，这就是必须拆开的理由。

第三步，通解

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} - 2 + \frac{1}{2} x e^{x} .

第四步，对完整通解求导再代初值：

C_{1} + C_{2} - 2 = 0

、

C_{1} - C_{2} + \frac{1}{2} = 0

，解得

C_{1} = \frac{3}{4}

、

C_{2} = \frac{5}{4}

。

初值必须代在加了特解之后的完整通解上——只拿

Y

去代是这一节最常见的整题丢分。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

共振时漏掉 $x^{k}$

α

是特征根时

e^{α x}

本身就是齐次解，代进左边恒为

0

，比系数会得出矛盾。

症状：待定系数解出来是「

0 = 1

」这种不可能的等式。

遇到这种矛盾不要怀疑算错，先回去检查 $α$ 是不是特征根。

只设 $cos$ 不设 $sin$

求导会在

cos

与

sin

之间来回换，少设一个就没法配平。

只要方程里有

y^{'}

那一项，漏掉

sin

必然做不出来。

算完发现它的系数是

0

，那是结果；事先省掉是错。

多项式次数降级

f = x

时要设

y^{*} = a x + b

，不是

y^{*} = a x

。

右端缺常数项，不代表特解里也没有常数项——代进去之后常数项会由

y^{'}

、

y

两项产生。

规矩是：

Q_{m}

与

P_{m}

同次，且系数全待定。

把特解当答案，或对着齐次通解代初值

两个相关的手误。前者：答案里只有

y^{*}

，没有两个常数。

后者：通解还没写全就代初值，解出的

C_{1}, C_{2}

对应的是另一个问题。

顺序是解题步骤的一部分：齐次

\to

特解

\to

相加

\to

代初值。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认类型与定 $k$

练 1

待定系数法适用的右端

f (x)

是（）。

A任意连续函数
B $P_{m} (x) e^{α x}$ 与 $e^{α x} (A cos β x + B sin β x)$ 两类
C只有多项式
D只有指数函数

练 2

求

y^{''} + y = x

的特解时（

0

不是特征根），应设

y^{*} =

________。

练 3

右端

f = e^{2 x}

时，类型①中的

α =

________。

练 4

若

α

不是特征方程的根，则特解中的

k

应取（）。

A $0$
B $1$
C $2$
D由 $m$ 决定

第二组 · 类型①

练 5

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = e^{2 x}

中（特征根

2, 3

），特解里的

k =

________。

练 6

承上题，

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = e^{2 x}

的一个特解

y^{*} =

________。

练 7

y^{''} - 2 y^{'} + y = e^{x}

（特征根

1

为二重根）的特解应设为（）。

A $a e^{x}$
B $a x e^{x}$
C $a x^{2} e^{x}$
D $a cos x + b sin x$

练 8

y^{''} - y = 2

的通解为

y =

________。

第三组 · 类型②与综合

练 9

y^{''} + y = cos 2 x

的一个特解

y^{*} =

________。

练 10

右端为

e^{α x} (A cos β x + B sin β x)

时，特解应当（）。

A只带 $cos$ 项
B只带 $sin$ 项
C不含三角函数
D $cos$ 与 $sin$ 都带

练 11

y^{''} + y = x + e^{x}

的通解为

y =

________。

练 12

题目给了初值条件时，应当（）。

A对齐次通解 $Y$ 代初值
B对完整通解 $Y + y^{*}$ 代初值
C对特解 $y^{*}$ 代初值
D初值条件在这里用不上

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

常系数非齐次线性微分方程

先打基础

1. 总路线：齐次通解 + 一个特解

2. 类型①：f=Pm​(x)eαx，设 y∗=xkQm​(x)eαx

3. 类型②：f 带三角，cos 与 sin 必须同时设

4. 右端分项，以及初值什么时候代

常用结构

定 k：拿 α 去和特征根比

设、求导、代入、比系数

右端分项与初值

基础易错

共振时漏掉 xk

只设 cos 不设 sin

多项式次数降级

把特解当答案，或对着齐次通解代初值

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 总路线：齐次通解 $+$ 一个特解

2. 类型①： $f = P_{m} (x) e^{α x}$ ，设 $y^{*} = x^{k} Q_{m} (x) e^{α x}$

3. 类型②： $f$ 带三角， $cos$ 与 $sin$ 必须同时设

定 $k$ ：拿 $α$ 去和特征根比

共振时漏掉 $x^{k}$

只设 $cos$ 不设 $sin$